极限概念是与求一些量的精确度有关的，它研究的是在自变量的某个变化过程中，函数的变化趋势，下面我们先来看一个例子。
例1 求由曲线y=x ,x=1及x轴所围成的图形（该图形叫做曲边三角形，图1-11所示）的面积。
由图1-11不难发现，n愈大，S 愈接近S。
显然，当n无限地增大时，S 就无限地接近或者说趋向于S。
另一方面分析S 的表达可知，当n无限变大时，S 无限地趋向于1/3，
于是可以断言该曲边三角形的面积S为1/3. 实际上，这里讨论的是当自变量n在无限变大时， 函数S 的变化趋势，
这种通过研究函数变化趋势解决问题的方法叫做极限方法。 一般地，极限概念指的是在自变量的某一变化过程中函数的变化趋势， 下面，我们将就函数在自变量的不同变化过程中的变化趋势问题分别加以讨论，
0
我们先来讨论当x无限接近于x 时，函数y=f(x)无限接近于常数A的情形。
0
例如当x无限接近于1时， 函数
就无限接近于4， 下面讨论这种现象如何被精确地描述。 显然,x接近于1以及f(x)接近于4，它们的接近程度可以分别以│x-1│、│f(x)-4│的大小来表达，所谓“当x无限接近于1时，f(x)无限接近于数4”，
可以理解为：对于想象中的无论多么小的正数ε，总可以找到那么一个正数δ，只要0<│x-1│<δ,就有│f(x)-4│<ε。这就从本质上反映了f(x)是无限接近4的情况。
注：从上面的例子中可以看到x≠1，也就是说不考虑x=1，所以要有0<│x-1│。
一般地，当x无限接近x 时，函数f(x)无限接近常数A，可以精确地描述如下：
0
我们愿意再提醒读者，函数f(x)在x 处的极限就是研究当x→x 时f(x)的变化趋势，
这种变化趋势与f(x)在x 处是否有定义无关，
0
这正是上述定义中要求0<│x-x │<δ的原因，事实上，即使函数f(x)在x 处没有定义，
它在x 处也可以有极限，如上述的例子
0
另一方面，函数f(x)在x 处虽然有定义但并不意味着它在该点有极限（图1-13（b));
0
上述定义常称为以“ε-δ”语言描述的极限定义。
当分母不为0时，极限的求法
推导过程可参见1946年版《大学教本微积分学》，周梦鏖译，龙门联合书局出版
因此， lim sinx=0, 极限定义中对于x如何趋向于x 没有限制，
即x可以任意地趋向于x ，
0
有时我们只考虑x从x 的左侧或从x 的右端趋向于x ，
这就产生了左极限和右极限的概念。
定义，若x小于x 而趋向于x (记为x→x )时f(x)去向于数A，
则称A为x→x 时f(x)的左极限，或简称f(x)在x 处的左极限为A，记为
0
则称A为当x→x 时f(x)的右极限，或简称f(x)在x 处的右极限为A，记为
0
左极限和右极限统称单侧极限。显然，函数f(x)当x→x 时极限存在的充分必要条件是：
0
f(x)在x 处的左右极限都存在并且相等，即
0
在x=0和x=1处的极限。
(以上两个极限均可用极限定义加以验证）, 即f(x)在x=0处的左、右极限不相等， 所以它在x=1处的极限存在且为1（以上极限可用极限定义加以验证）。
自变量x除了x→x 的变化过程之外，还有其绝对值无限增大（记为x→∞）的变化过程。
0
下面我们将讨论这种情形。
二 x→∞时函数f(x)的极限
我们先来看一个例子，当│x│无限增大时，显然函数f(x)=1/x无限接近于0. 一般地，当│x│无限增大时f(x)趋于A可描述如下：定义，若对于任意给定的正数ε，总存在一个正数N，当│x│>N,恒有│f(x)-A│<ε, 则称常数A为函数f(x)当x趋向于无穷大时的极限，记为
定义的几何意义是：不论直线y=A-ε和y=A+ε所夹的条形域那么窄， 只要x离原点充分远（即│x│>N）, 函数f(x)的图形都在该条形域内（图1-14）。
本节将通过介绍极限的运算法则，两个重要极限，无穷小量和函数极限的有关性质，初步地给出一些求极限的方法，本节中凡不标明自变量变化过程的极限号lim, 均表示变化过程适用于x→x ,x→∞等各种情形。
若函数a=a(x)在x的某种趋向下以零为极限，则称函数a=a(x)为x的这种趋向下的无穷小量，简称为无穷小量。
应当注意，绝对值很小的常数以及负无穷大量都不是无穷小量， 但是零是无穷小量，因为它的极限为零。
0
其中a=a(x)为x→x (或x→∞)时的无穷小。
0
反之，若上式成立，则y=f(x)在x→x (或x→∞)时的极限为A。
0
证，我们以x→x 为例。则由极限的定义有：对于任意给定的ε>0，总有δ>0，
0
0
若记a(x)=f(x)-A, 则由无穷小量的定义可知a(x)是当x→x 时的无穷小量，因此有
0
0
0
0
对于x→∞的情形，可类似的证明。
定理2，有限个无穷小量（当x→x 或x→∞时）的代数和，仍然是无穷小量。证明从略。
0
定理3，有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。证，以x→x 为例，
0
对于任意给定的正数ε，取ε =ε/c，必存在一个δ >0，
因此，对于任意给定的正数ε，只要取 δ=min│δ ,δ │,
这表明当x→x 时， a(x)f(x)是无穷小量（当x→∞时，可类似地证明）。
0
推论1，有限个无穷小量（自变量同一趋向下）之积为无穷小量。
推论2，常数与无穷小量之积为无穷小量。
其中cosx为有界函数，1/x为当x→∞时的无穷小量，所以由定理3可知
因此，由无穷小量与无穷大量的关系可知：
这种求极限的方法的要点是，先将分子，分母因式分解，然后消去分子、分母公共的无穷小量因子。有一类函数，当自变量趋于无穷大时，其分母分子都趋于无穷大，这类极限称为“∞/∞”型的极限，对于它们也不能直接应用商的运算法则。
当m>n时，方括号中第一个分式的极限为零，第二个分式的极限为a /b ，
于是原式的极限为零。当m<n时，方括号中第一个分式的极限为无穷大，
第二个分式的极限为a /b , 于是原式的极限为无穷大。
此例的结果可以作为公式使用，但要注意只适用于x→∞或x→+∞，
推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版
三 两个重要极限1.第一个重要极限
我们先来叙述一个定理，然后再证明,
证，取一个半径为R的圆，x表示以弧度计的圆心角AOB，设0<x<π/2
(图1-16) 因为扇形AOB的面积大于△AOB的面积而小于△AOC的面积(AC为该圆在A点的切线),所以有
上面的证明是在0<x<π/2的假设下进行的，对于x取负值的情形也是对的，证明从略
这个极限十分重要，常称之为重要极限，运用它可以推证或计算许多其它的极限。
这个结果可以作为公式使用。
我们不加证明地指出，本节中有关函数的极限定理对于数列而言全部成立。
因此可知，u 的前n项不小于u 的相应项，
而且u 比u 的展开式还多一个正项
因此{u }是单调递增数列。此外，由u 的展开式可得
推导过程可参见1937年版《大学丛书微积分学》，孙光元，孙权平著
变数x能取得a,b间之一切数值者，叫做连续变数或简称变数，定义设ε为一任意选定其值甚小之正数，如能求得另一正数δ=δ(ε),当0<│x-a│<δ时，使恒有，0<│f(x)-b│<ε，
那么我们便说x越近于a时，函数f(x)趋近于极限b, 以记号表之如下：
注意1，不等式0<│x-a│是表示x不能等于a的意思，虽则，x=a时，│f(x)-b│<ε能成立之例甚多，然按极限的意思来说，函数f(x)在x=a时的情形如何，可以置之不问，注意2，ε和δ的函数关系，可置之不论，然无论ε如何选定，必有δ存在，ε越小，δ亦越小，函数的极限就是当x趋近于a时，f(x)趋近于b, b就是f(x)在x=a处的极限，
同时，0<│x-a│<δ，0<│f(x)-b│<ε，函数δ=δ(ε)不影响极限，选取一个合适的函数δ=δ(ε)，可以很容易的求出极限值。
设ε为任意选定其值甚小之正数，当x之值合于不等式，0<│x-1│<δ，
设y=1+2x, 省略上式中的常数项，得y≈z=2x, 所以，可设δ=ε/2，
以定义，故知x→1时，1+2x越近于极限3，在此例x=1时，1+2x=3,
当x不等于1时，我们知道，
故，x→1时，1+x趋近于2，
所以，x→1时，1+x趋近于2，
设ε为任意选定其值甚小之正数，我们很容易求得一正整数n,使
≤x≤ 间隔内变动，1/x就在2nπ与2(n+1)π之间变动，
sin(1/x)就在-1与1之间变动，倘n→∽,，x便越近于0，但sin(1/x)并不越近于一极限，
设A为任意选定其值甚大之正数，如能求得另一正数δ,当0<│x-a│<δ时，使恒有，
那么我们便说，x→a时，函数f(x)趋于无穷大，以记号表之如下，
在几何方面，这意思就是说，直线x=a为曲线y=f(x)的渐近线，
当x之值充分与a接近时，可使
│c│(│c│-│γ│)
以O为圆心，1为半径，做一圆弧AB, 做一圆弧AB, 如图17所示
若把 (1+ ) 以二项式展开，便得
根据4的定理，当n→∞时，a 应向一极限值(≤3)收敛，
若把 (1+ ) 以二项式展开，便得
若把 (1+ ) 以二项式展开，便得
若把 (2+ ) 以二项式展开，便得
若把 (2+ ) 以二项式展开，便得
当x→+∞时，e 趋近于+∞，其理置为显然，
惟e 趋于+∞之情形如何，尚须讨论罢了，由e 的级数得，
右边的第一行的和，当x→+∞时，趋近于极限1/n!，而第二行的各项各趋近于+∞，故
这就表示x→+∞时，函数e 的增大，较x (n为一正整数)为快，n为其它正数时其理亦真，
当x→-∞时，e 趋近于零，且x e (n为一正整数)以趋近于零，令x=-x`，则
推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版
反之，设f(x)≠0，
其中cosx为有界函数，1/x为当x→∞时的无穷小量，所以由定理3可知
推导过程可参见1946年版《大学教本微积分学》，周梦鏖译，龙门联合书局出版,Granville等著
在应用中，通常发生之情势，往往如此，如吾人有一变数v及一已知之v之函数z, 此自变数v所取之值均可使v→l, 于是吾人即可检定因变数z之值，而就特殊形言，即可确定z是否趋近一极限，如其处有一常数a,足使lim z=a,则所述之关系即可写为
写为，“在v趋近l时，z之极限为a”
在计算函数之极限值时，以下诸定理可予应用，其证明则于第20节中述之，假定u,v及w均为变数x之函数，并假定，
简言之，即一代数和，或一积，或一商之极限分别等于其各别之极限之, 同一代数和，或积，或商，唯对于最后所举之一端，则须分母之极限不为零方可，如c为一常数(与x无关系)而B不为零，则由上述可知
[解法]所与之函数为x 与4x之和，吾人可先求此二函数之极限值，由（2）
于是，由（1），得其答案为4+8=12
17.连续函数与不连续函数
在上节例题1中，曾证明
于此可见其答案即函数在x=2时之值，亦即谓，函数值极限值, 在x趋近2作为一极限时，即等于x=2时该函数之值也，此函数对于x=2,于是即谓之为连续函数, 其一般定义如下。
[定义]一函数f(x)，如其极限值, 于x趋近于a作为一极限时即为x=a时配该函数之值，则此函数即谓之为关于x=a之连续函数，以记号表之，如
则f(x)对于x=a为连续函数, 如此一条件未能满足，则该函数即称为关于x=a之不连续函数, 于此须加注意者，即以下时常出现之两种情况。
[情况1]现举一例，以说明函数对于变数一特殊之值为连续函数时之一简单情况，试一研究函数,
如x=1,则f(x)=f(1)=3, 再则，如x趋近于1为一极限，则函数f(x)即趋近3为一极限（第16节）, 于是，此函数对于x=1遂为连续函数。
[情况2]连续函数之定义曾假定函数于x=a时为业经确定者。然情况若非如此，则于x=a时，对于函数，有时亦可能配与一值，足使连续性条件仍可满足也。此二情况，现以下一定理包容之。
[定理]设f(x)于x=a时为不能确定之函数，而
若假定B即为x=a时f(x)之值，则f(x)于x=a时即为一连续函数。譬如，函数
于x=2时不能确定（因其时即需用零作除数）。但对于x之每一其他之值，
此函数于x=2时虽属不能确定，但如吾人于x=2时，任意配与一值4，则该函数对于一值，仍变为连续者矣。一函数f(x)，如在一区间内，对于所有x之值均为连续的，即可谓，此函数在此一区间为连续函数。（注）
注.本书讨论大体上均为连续之函数，即对于x之一切值（除若干孤值为可能之例外）均连续值函数，故吾人之结果大体上亦仅对于使题中函数确为连续函数时之x各值，方得认为正确无误也。
在微积分学中，吾人常须计算一变数v，于v趋近一位于函数连续区间内之一值a为极限时，其函数之极限值，此极限值即v=a时该函数之值。
当分母为0时，极限的求法，推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版.
如一变数v之数值最后变为，并始终大于任一事先假定，不论如何庞大之正数时，吾人即可云v变为无限大(infinite)。如v仅取正值，即变为正无限大；如仅取负值，则变为负无限大。此三种情况中所极为有用。下一例题足以说明其法。
[解法]分子与分母二者中所呈现x之最高幂为x , 即以之除分子与分母，于是吾人即得
由（4），知分子或分母中包含x各项之极限均为零。于是，由第16节之（1）与（3），即可得其答案焉。因此，在任何相似之情况中，其第一步骤遂如下述。用分子与分母二者中出现之变数的最高幂除分子与分母二者。如u与v均为x之函数，再如
此一记法仍为第16节中（3）之例外情况而设，其时B=0而A不为零也，并一阅第20节。
[用x 除分子与分母二者]
由（4）知，分子与分母中含x各项之极限均为零。于是，由第16节之（1）与（3），吾人即可得其答案矣。
[证明]其极限值不能由h=0之代换而得，因其时吾人所得者（第12节）乃不定性（inde-terminate form) 0/0 也。于是吾人即得用适当方策变换原式，即如下所示将分子有理化焉。
一变数v，如趋近零为一极限，则称之为一无穷小(in-finitesimal)，此点可写作（第14节）。
意即v之数值最后即变为，并始终小于任一事先指定，不论如何微小之正数也。如lim v=l,则lim(v-l)=0; 亦即谓，一变数与其极限间之差为一无穷小。反之，如一变数与一常数之差为一无穷小，则此变数即趋近该常数为一极限。
20.关于无穷小与极限之定理。
在以下讨论中，所有变数均认为同一自变数之函数。并于此一变数趋近一固定之值a时，趋近其各自之极限。常数ε为事先指定之正数，其若何微小悉听吾人之意愿，但不得为零。吾人先证关于无穷小之四项定理。
1.n个无穷小之代数和仍为一无穷小，n则为一固定之数。因此和之数值，关各无穷小之数值变为且继续小于ε/n时，即变为，且继续小于ε也。
2.一常数c与一无穷小之积仍为一无穷小。
因此积之数值，于此无穷小之数值小于ε/│c│时，即小于ε也。
3.n个无穷小之积仍为一无穷小，n为一固定之数。因此积之数值，于各无穷小之数值变为，并继续小于ε之n次根时，即变为且继续小于ε也。
4.如lim v=l，而l不为零，则以v除一无穷小i之商亦为一无穷小，因吾人仅能选取一正数c，其在数值上为小于l者，以使v之数值最后变为且继续大于c, 而同时可使i之数值变为，且继续小于cε，于是此商之数值遂即变为，且继续小于ε也。
[第16节定理之证明]设
（1）u-A=i,v-B=j,w-C=k, 于是i,j,k均为x之函数，而于x→a时各各趋近于零；亦即谓，彼等均为无穷小（第19节），由方程式（1）可得，
（4）uv-AB=Aj+Bi+ij, 依上述定理1-3，可知其右端为一无穷小，而于是
此项证明极易推广及于uvw之积。最后，吾人可写，
依定理1与2，（6）之分子为一无穷小。由（3）与（4），
于是，由定理4，（6）之右端为一无穷小，而
第16节所述诸点于是遂得证明矣。
加法器乘法器，稳压电源电路图
第八部分 极限的计算电路
当分母不为0时，极限的求法
推导过程可参见1946年版《大学教本微积分学》，周梦鏖译，龙门联合书局出版
当分母为0时，极限的求法，如下所示
推导过程可参见1992年版《高等数学》，盛祥耀主编，高等教育出版社出版
当分母为0时，极限的求法，如下所示，
这不算证明，现在用定义证明，这里
用直流电源电压表示x,t,s的数值，用乘法器，除法器，减法器，表示上面等式，用电压表测量等式两端电压相等时，s的输出是正整数时，这时t的输出电压值就是极限值4.
调节x,s,t的电压输出，使乘法器A，乘法器A输出的电压相等，用电压表测量s是正整数时，t的输出值就是函数f(x)在x→1时的极限，调节电位器使x,s,t输出的电压值不断变化，
最后得到计算结果2，就是极限值
推导过程可参见《微积分学导论》，1958年版，曹一华，江体乾编译，
推导过程可参见《无穷小分析基础》,苏联，И.И普里瓦诺夫，C.A加里别伦著，
如果y的一切值，按其绝对值来说，不超过某一个有限正数M, 即y的一切值满足不等式，
则量y就叫做有界的量。比方，y=tgx在宗量由x=-45°到x=45°的区间内是个有界变量，因为在这种情况下│tgx│≤1. 但是除了有界变量外，也有不能满足上述定义的量存在，比方说，我们拿tgx在宗量值由0°到90°的区间内来说，不论我们选取怎样大的正数N, 只要x在第一象限内，总有tgx>N，这种变量叫做无界变量
我们知道，变量的变化方式是不一定相同的。虽然如此，但在变量各种各样的变化方式中值得注意的是这样的一个方式。用通常语言来说就是变量愈来愈靠近于或无限地趋近于某一个确定书值，这个确定数值就叫做变量的极限，而这种样子的变化就叫做变量趋向于其极限，为了使变量趋于极限的含意不致引起任何误解，必须给它下一个精确的数学定义。我们利用“变量变化过程”这个术语来表示变量趋于其极限时中间所经过的途径，也就是表示变量在变化途径中取得任一值时，则在未取得该值“之前”或在已取得该值“之后”这个途径中的每一个值，变量都能一一取得。
设y是变量，且设已知其变化过程。定义，如果对任何一个随我们意思所取的正数ε，在变量y的变化过程中能找到这样一个确定值b, 使对所有其余的诸值，变量y与b之差的绝对值恒小于ε，则数值b就叫做变量y在它的已给变化过程中的极限，即在y的变化过程中，从某数开始，对y的一切值不等式│y-b│<ε都能成立，如果用符号来写的话，那么我们就写成
从这个定义看来，极重要的仅是这么一点：
即总是要使y与b之差在变量继续变化时，按其绝对值来说永远小于ε，也不管ε是怎样取的，然而y趋向于其极限的方式却是可以形形色色各不相同，比方，变量能趋向于其极限而永远保持大于其极限，或者能趋向于其极限而永远保持小于其极限，或者能时而大于其极限又时而小于其极限。下面我们举几个例子来看。
例1，设y=1/n, 并设给定的变化过程是：n顺次取全部正整数中每一个数：n=1,2,3,…,n…,
显然，这就规定了y值的次序，也就是规定了y的变化过程。我们如果商定把变量y的极限写成：
注：我们用符号∞表示无穷大，它的简单意思就是表示变量的绝对值无限制的增大。大于任何大的数，本章2.6要详细的说明它。于是就看出
事实上，不论正数ε预先怎样选取，我们总能找到这样一个整数n使
为此，只要n>1/ε就足够了，对于一切更大的n值，显然，│1/n-0│<ε都是成立的。
因为n增大，则分数1/n就缩小。由此可见，根据极限概念的定义
在这个例子中，变量趋向于其极限总是保持大于其极限的，因为1/n是个正数。
此处，变量总是保持小于其极限的，因为-1/n是负数而其极限是零。
早在例1中就已经知道了。但是值得注意的是：在这里，变量y的值时正时负，既当n为偶数时为正，而当n为奇数时为负，可见变量趋于极限时，时而大于其极限又时而小于其极限。
这是因为当n→∞时，2 也趋于∞，于是，本例题又复与例1情况相似，
本例题恰恰就是我国古代哲学家在极限方面的思想。据春秋时代的哲学家庄周所著：当时雄辩家惠施与墨瞿概括中说过这样的话“一尺之极，日取其牛，万世不竭”。
意思就是说一尺长的木杖，第一天截去它一半，剩下一半；第二天又截所剩下的一半，第三天再截第二天所剩下的一半，如此截取下去，虽经万世也截取不完。
如果以尺为单位，则每天所截取的尺数顺次为：
它逐渐趋向于零，但永远不等于零，而以零为其极限。根据上面的描述可以重新定义极限，
设时间为虚数，所求极限的函数为实数。
这是因为当n→∞时，2 也趋于∞，如果以尺为单位，则每天所截取的尺数顺次为：
它逐渐趋向于零，但永远不等于零，而以零为其极限。
设一天时间为1i,两天时间为2i,…,n天时间为ni。
那么，像上面那样每天截一半木杖，经过n天，木杖还剩1/2 长度。
所以，上面的函数的极限为, 在虚数范围内
上式中,i表示虚数i,a表示实数,
在以上举过的例子内，似乎变量在其变化过程中变化时，始终不能达到其极限值的，这种印象是不完全对的。变量有时这样变化，当趋向于其极限时，在其变化过程中有等于其极限的值存在。
这是因为当n→∞时，2 也趋于∞，
设i代表天数，一个木杖，一天增加2倍长度，n天长度就是2,
所以函数y=2 在n→∞时的极限考虑虚数就是i*2 , 即
但是变量sin(nπ/2)在变化过程中，当n为任何偶数时它都等于零，因而变量
当n是偶数时也跟着等于零了。
由此可知，变量在其变化过程中确有无限多次取得其极限的。由上面的截木杖理论求极限，推导, 假设n等于天数虚数i表示时间，
但是变量tan(nπ/2)在变化过程中，当n为任何偶数时它都等于零，因而变量
当n是偶数时也跟着等于零了。
由此可知，变量在其变化过程中确有无限多次取得其极限的。由上面的截木杖理论求极限，推导, 假设n等于天数虚数i表示时间，
总结上面代虚数的极限，当实属范围内，
极限等于0或∞时，引入虚数后极限结果是原函数再乘以单位虚数,
这个函数的极限当n趋于无穷大时，等于零,
引入虚数后，极限就等于原函数和单位虚数的乘积, 即，
这种极限的求法和上面的极限的求法不相同，不能在同一个公式里面应用
值得特别指出的是：本例题恰恰就是我国古代哲学家在极限方面的思想。
据春秋时代的哲学家庄周所著：当时雄辩家惠施与墨瞿概括中说过这样的话“矩不方，规不可以为圆”。
意思是说，矩画出来的直线也可构成圆，规画出的圆也可以构成直线“
矩是古人在水利工程测量时使用的三角尺，和现在的三角尺相同。由木头制造。
规是古人在水利工程施工时测量的工具，和现在的圆规相同，由木头制造。
由上面的描述可得，设直线的函数是y=x, 圆的函数是y=2πx, 用n天把直线y=x截成n段，直线就变成一个点，再把n个点围成一圈就构成一个圆y=2πx,
设时间为虚数i，在虚数范围内
上式中,i表示虚数i,n表示实数
但b α 及b α 都是常量乘以无穷小所以还是无穷小，
量α α 是两个无穷小相乘（2-4定理2的系）也是无穷小。
如再用α 表示无穷小α /b，我们就来证明
是个无穷小量。 为此，对于差数
另一方面，α 既然是个无穷小，故从某瞬时起将有│α│<1/2,且
也就是α 及α 都是无穷小量，
根据无穷小的定义，不管对怎样的正数ε， 总能找出一个瞬时， 从那时起
故从它们中间最迟的一个开始，则│α │<│α │都将小于ε，
这是非常容易看出的，因为按照条件，在任意这里许可的变化过程中量x是无穷大，而无穷大的倒数是无穷小，所以趋向于零。
值得特别指出的是：本例题恰恰就是我国古代哲学家在极限方面的思想。据春秋时代的哲学家庄周所著：当时雄辩家惠施与墨瞿概括中说过这样的话“矩不方，规不可以为圆”。
意思是说，矩画出来的直线也可构成圆，规画出的圆也可以构成直线
矩是古人在水利工程测量时使用的三角尺，和现在的三角尺相同。由木头制造。
规是古人在水利工程施工时测量的工具，和现在的圆规相同，由木头制造。
由上面的描述可得, 设直线的函数是y=x, 圆的函数是y=2πx, 用n天把直线y=x截成n段，直线就变成一个点，再把n个点围成一圈就构成一个圆y=2πx,
设时间为虚数i在虚数范围内
上式中,i表示虚数i,n表示实数,
用n天把圆y=2πx截成n段，圆就变成一个点，再把n个点连成一条线就构成一个直线y=x,
设时间为虚数I, 在虚数范围内,
上式中,i表示虚数i,n表示实数
例2.同样可以看得出，
2-10.某些表达式的极限
依假设a>1,并设a-1=h,容易看出h是正数；于是我们有a=1+h, 将等式两边作成n次乘方(n是正整数)，得
因为h是正的，所以在牛顿二项式的展开式中各项都是正的。
注：二项式定理我国宋朝数学家秦九韶在1247年即已发明，比牛顿早约三四百年，
故此定理应改称为秦九韶的二项式定理。
如果在此二项式的展开式中保留第一二项，弃去其余的所有项，那么等式右边的项数就减小了，于是
量1+nh在n→∞时是无穷大，因而
但量b 是无穷大（依照1）而量1/b 为无穷大的倒数，是无穷小，因而
在已证明的基础上我们有，比方：
3.几何级数，计算无穷项几何级数
的《总和》, 此处首先要定义的就是《总和》这一名词。
事实上，当我们运用加法去求总和时，都是指将有限个项数相加的意思，但是我们完全不知道，如何求无穷个项数相加的《总和》，因为用通常的方法，无论怎么加我们也不能将无穷个项数全部加尽。为了避免这个困难，我们就用下述的方法去做。
开始求级数的n项之和，并以S 表示这个和，然后求
假若这个极限存在（就是假设S 趋向于常数），就叫它做无穷级数的总和。
-
a 对于a>1就会大于1，设差数
但总保持是正的，从这个等式在确定a时有：
因为h 是正数，即h >0，故得两个不等式
例3，设C 是游离物质的克分子量，又设每秒钟此物质有p%起反应，
0
求经过t秒后多少克分子起反应。因每秒起反应的物质为p%，所以经一秒后起反应的为：
二秒后未起反应的物质等于
0
上述讨论中，我们只是孤立的看经过每一秒钟的反应情况。然而实际上反应是连续进行的。因此，为了更符合实际，常把反应时间分得更短。
如果用1/n秒作为单位时间，那么在t个单位时间内未起反应的物质将是
0
或设p/100=k，则上式即为
0
因此，未起反应的物质c，当n无限增大时, 即表示反应依照时间的连续延长而连续进行着，我们可根据定理2，将上式求出一个极限，即
代入上式，则得未起反应的物质
0
所成的对数就叫做自然对数。自然对数的符号用《ln N》来表示, 这样，就可以把它与以10为底的对数《log N》区别开来。在分析数学中广泛的应用自然对数，因为用自然对数时，某些公式写起来就更为简单醒目, 我们对同是一个数N来求以10为底的对数（常用对数）与自然对数间的关系。
假设ln N=y,那么N=e , 对等式两边取以10为底的对数则得：
按照公式（2.13），知道数N的自然对数时，就能求出其以10为底的对数，为了求出自然对数，可按已给定的以10为底的对数，改写公式(2.13)成：
为了便于计算起见，再引入《变换的模》的倒数,
比方，按照公式(2.15)可以求得
从此，我们发现了一个实用的恒等式：
3-4.正弦与其弧之比的极限
定理，如果弧趋向于零，则正弦与其弧之比的极限等于1，即
这里弧是用弧度量度的。
证明，选取半径为1的圆（图3-11）：作角∠AOB，其弧度用x来表示，并且看出∠AOC=2x, 过圆周上两点A和C作两条切线，相较于D，
这时弦AC小于弧ABC而弧却又小于折线ADC（弧长永远小于折线），即
