1. 费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理

   费马引量的另一种表述：

   
   

   通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点).上图中C,D点，该两点的切线平行于X轴，因此，导数(税率)为零；

   另外，可以用罗尔定理反证如果一个连续函数的导数恒不等于0，则该方程不可能有两个根；

   
   

2. 
   

3. 拉格朗日中值定理应用推论

   推论：在一区间上导数恒等的两个函数只相差一个常数；

   1）不等式的证明：即 ：函数值的改变量小于自变量的改变量的M倍；

   如果导数在某个区间有界，则：
   

4. 
   

5. 洛必达法则(用导数求极限，洛必达法则是求未定式一种有方法，该方法可以递归使用，对极限为∞/∞的函数求极限时，洛必达法则也适用)

   使用洛必达法则之前，一定要先确定所求极限的函数是0/0或∞/∞型，否则不能使用洛必达法则；

6. 如果两个函数的乘积求极限，且为0*∞时，可以通过取倒数，将其转化成0/0或∞/∞型再用洛必达法则；

   幂指函数(未定形)：将函数写在这种形式后，再分析g(x)ln f(x)的类型，再利用洛必达法则求导后再求极限；
   

7. 泰勒公式(后面的项Rn(x)为误差)

   泰勒公式可以用若干项连加式来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。
   

   
   

   泰勒中值定理的另一种写法：
   

   带Peano余项的Taylor公式的优点：条件较弱，只需在x0有n阶导数；缺点：误差为无穷小的写法，不容易作定量分析；

   麦克劳林公式的另一种写法：
   

   拉格朗日型余项的优点：便于误差估计；缺点：条件较强，需要n+1阶导数；
   

   麦克劳林公式与泰勒公式的区别：麦克劳林公式是泰勒公式的特殊情况，泰勒公式是在任何点的展开形式,而麦克劳林公式是在0点,对函数进行泰勒展开；泰勒公式在x0处展开后，随着多项式n的项数越取越多，该函数会在x0处开始越来越接近原来的函数；

   1）f(x)=e^x的拉格朗日型麦克劳林公式为：(误差当n→∞时等于的证明需要用无穷级数的幂级数证明)

   2）f(x)=sin x的拉格朗日型麦克劳林公式为：

   
   

   ※对于一个未知函数，如果知道它在某点的函数值，以及各阶导数的函数值时，泰勒公式可以直接描述出该未函数；(如某种规律)

   其它函数的麦克劳林公式：

8. 麦克劳林公式和等价无穷小在求极限时替换的区别

   麦克劳林公式进行的是等理代换，因此这种代换也可以在加减项之间进行(如sinx-xcosx)，但等价无穷小替换只能在乘积因子这间进行，不能在加减项之间进行；
   

9. 函数的单调性与曲线的凹凸性

   当一个函数单调增加(减少)时，不能说该函数导数一定大于零；因为单调函数不一定可导，即使函数可导，个别点的导数也可以等于零；
   

   凹弧一般的定义:，其中
   

   函数f(x)具有一阶导数f`(x)和二阶导数f``(x)时，一阶导数决定了函数的单调性，二阶导数决定了函数的凹凸性；

   ※如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点；函数在拐点处的二阶导数为0；
   

10. 函数的极值与最大值最小值

    x0在某邻域的两个端点处，就算端点的值比邻域内其它值都大(或者都小)，该值都不能称为极值(因为极值只能是内点，不能是端点)；

    极值是局部概念，极大值不一定大于极小值(如下图中x1处为极大值，但小于x4处的极小值)；

    如果函数某个点x0左右单调性不同，该点x0就称为函数的极值点；

    
    

11. 函数的驻点：函数导数为0的点称为函数的驻点;
    函数的极值点：是在这点附近这一点所对应的函数值最大或者最小（注意是这个点附近）.
    存在极值点的情况有两类,一类是一阶导数为零的点（也就是我们所说的驻点）,另一类是一阶导数不存在的点.
    但是,这两类并不都是极值点,比如说y=x^3在x=0的时候起一阶导数为零,但不是极值点.
    所以,驻点可能是极值点,极值点可能是驻点.
    还有,可导函数f(x)的极值点【必定】是它的驻点.

12. 函数在某点可导性的判断

    说明：下面的函数当x=0时，除|x|外的其它项看成是g(x)，因该g(x)里将0代入后不等于0，因此该点不可导；同理x=1时，也不可导，但x=-1时可导；

    
    

13. 求函数f(x)在该区间内的极值点和相应的极值()

    
    

14. 求函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值

15. 函数 f(x)在(a,b)上的最大值与最小值

    在开区间上没有边界点，最值一定在区间(a,b)内的极值点处产生，如果函数在一区间内有唯一的极大值(极小值)，则该极大值(极小值)也是函数在该区间的最大值(最小值);

16. 1)不等式的证明：先将不等式的两端写成大项减小项的形式，然后证明该函数增函数且它在左端点处非负，则该函数必为正；

    2)证明方程有唯一的实根；依据：单调函数在单调区间最多有一零点(单调函数的曲线穿过x轴最多一次);

    证明过程：根据零点定理，找到一个该使函数值大于0的点和小于0的点证明方程最少有一个实根；再用利用函数的导数证明该函数的单调性，则可以证明该函数的实根唯一；

17. 求连续曲线的凹凸区间和拐点的步骤

    1）求出函数f(x)在区间内二阶导数等于零的点和二阶导数不存在的点：x1,x2,.....xn;这些点将函数的定义域分成若干个小区间；

    2）讨论二阶导数在这些小区间内的符号，以确定曲线的凹凸性；

    3）考察二阶导数在以上点两侧的符号(异号时为拐点，同号时则不是)，以确定该点是否出现拐点；

18. 定义：当曲线y=f(x)上的一动点P沿着曲线移向无穷点时，如果点P到某定直线L的距离趋向于零，那么直线L就称为曲线y=f(x)的一条渐近线；

    1）铅直渐近线(垂直于x轴的渐近线)

    2）水平渐近线(平行于x轴的渐近线)

    当斜渐近线的斜率k=0时，斜渐近线不存在，不为0时，则存在；当分子比分母高一次幂时，一定有斜渐近线；

19. 
    

20. 曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。曲率的倒数就是曲率半径。
    

    弧微分公式(ds为弧长的微分，dx为x轴的微分，y为曲线的函数表达式)

    
    

21. 实际工程问题中的近似计算

    
    

22. 
    

C.部分相同，部分不同
D.可能相同也可能不同

A.充分条件但非必要条件
B.必要条件但非充分条件
D.既非充分条件又非必要条件

B.同价但不等价的无穷小

A.有且仅有水平渐近线
B.有且仅有铅直渐近线
C.既有水平渐近线也有铅直渐近线
D.既无水平渐近线也无铅直渐近线.

1.区间一定是集合,但是集合不一定是区间。

2.邻域不是区间,区间也不是邻域。

3.函数就是映射,映射就是函数。

4.既是单射又是满射的映射是一一映射。

5.两个函数相等只需要定义域值域相等。

7.数列就是定义域取自然数的函数。

8.函数有界,则界是唯一的。

9.极限存在,则一定唯一。

10.无界函数与其定义域没有关系。

12.任何一个函数都有反函数。

13.任何两个函数都可以构造复合函数。

15.若一个数列极限存在,则该数列不一定有界。

16.数列要么收敛,要么发散。

17.等比数列的极限一定存在。

18.函数极限是数列极限的特殊情况。

20.定义函数极限的前提是该函数需要在定义处的邻域内有意义。

21.微分是函数增量与自变量增量的比值的极限。

22.导数和微分没有任何联系,完全是两个不同的概念。

23.求导数与求微分是一样的,所以两者可以相互转化。

24.若函数连续,则一定可以求导。

25.若函数可以求导,则函数一定连续。

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