考研数学高等数学部分的四大定理证明在考研数学中非常重要,为了方便大家复习,今天小编为大家整理分享四大定理之一的积分中值定理的证明,供大家参考。
该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续,结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面,并把积分变量x换成中值。如何证明?可能有同学想到用微分中值定理,理由是微分相关定理的结论中含有中值。可以按照此思路往下分析,不过更易理解的思路是考虑连续相关定理(介值定理和零点存在定理),理由更充分些:上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不含导数,而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。
若我们选择了用连续相关定理去证,那么到底选择哪个定理呢?这里有个小的技巧——看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间,而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从,已经不言自明了。
若顺利选中了介值定理,那么往下如何推理呢?我们可以对比一下介值定理和积分中值定理的结论:介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值,而等号另一边为常数A。我们自然想到把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。等式两边同时除以区间长度,就能达到我们的要求。当然,变形后等号一侧含有积分的式子的长相还是挺有迷惑性的,要透过现象看本质,看清楚定积分的值是一个数,进而定积分除以区间长度后仍为一个数。这个数就相当于介值定理结论中的A。
接下来如何推理,这就考察各位对介值定理的熟悉程度了。该定理条件有二:1.函数在闭区间连续,2.实数A位于函数在闭区间上的最大值和最小值之间,结论是该实数能被取到(即A为闭区间上某点的函数值)。再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的条件成立。函数的连续性不难判断,仅需说明定积分除以区间长度这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。而要考察一个定积分的值的范围,不难想到比较定理(或估值定理)。
(实习小编:陈晓波)
微分中值定理 Fermat引理(费马引理) Rolle中值定理(罗尔中值定理) Lagrange中值定理(拉格朗日中值定理) Cauchy中值定理(柯西中值定理) 积分中值定理 积分第一中值定理 积分第二中值定理...
微分中值定理 费马引理:若极值处导数存在则导数为0 导数为0的点一般称为驻点(或稳定点,临界点) 拉格朗日中值定理(即微分中值定理): 微分中值定理的几何意义是,区间内必定存在一点的切线与端点的连线...中值定理的基础上,加上端点值相等的条件,则可推出必定存在一点导数为0的结论 微分中值定理的推广:柯西中值定理 条件(3)同时保证了函数F 的导数不等于0 和 端点函数值不相等(由罗尔定理推出)
高数第三章节——微分中值&洛必达&泰勒&单调性与凹凸性&作图&弧微分与曲率 1、微分中值定理 1.1 拉格朗日定理证明不等式 1.4柯西中值定理 2、洛必达法则 2.1
1、拉格朗日中值定理、积分中值定理 参考:拉格朗日中值定理和积分中值定理有哪些不同? 概览 微分中值定理: 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 积分中值定理 微分中值定理 罗尔定理: 如果 R...的切线与割线AB平行。 柯西中值定理 几何意义:用参数方程表示的曲线上至少有一点,在这一点处的切线平行于连接两个端点的弦。 微分中值定理和积分中值定理的区别 微分中值定理:反映了导数的局部性和函数的
函数) 七、利用cauchy不等式 八、几个常用引理 (注意这里 [公式] 不必连续) (积分第二中值定理) 九、片末彩蛋=w=...定积分不等式套路总结 摘要: 暴力求导 拆分积分区间 利用泰勒展开 将常数/可导函数变形为定积分 将dx变形为d(x-c) 利用几何意义 利用柯西不等式 几个常用引理 正文: 一、暴力求导 通分后
导数 5.不定积分的基本积分公式 6.定积分性质 7.渐近线 8.微分中值定理 定理1 罗尔定理 定理2 拉格朗日中值定理 定理3 柯西中值定理 定理4 泰勒定理 1.带拉格朗日余项的n阶泰勒公式... 拉格朗日中值定理 定理3 柯西中值定理 定理4 泰勒定理 PartB 1.二重积分的性质 i.等式性质 ii.不等式性质 iii.积分中值定理 2.对称性 i.普通对称性 ii.轮换对称性 3.级数的基本