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少儿编程网 16:12:19【】 人已围观 来源：少儿编程 -用户投稿

简介最小的实数是不存在。实数包含所有有理数和无理数，有理数包括负数、正数和0，所以既没有最大，也没有最小。绝对至最小的当然是0，因为它的绝对值是0。实数实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上点相对应的数。实数可以直观地看作有限

先设想一个酒徒在山寺狂饮，醉死山沟的情景：

“山巅一寺一壶酒（3.14159），儿乐（26），我三壶不够吃（535897），酒杀尔（932）！杀不死（384），乐而乐（626）。死了算罢了（43383），儿弃沟（279）。”[前30位]

接着，设想“死者”的父亲得知儿“死”后的心情：

“吾疼儿（502），白白死已够凄矣（8841971），留给山沟沟（69399）。”[15位]

再设想“死者”父亲到山沟里寻找儿子的情景：

“山拐我腰痛（37510），我怕你冻久（58209），凄事久思思（74944）。”[15位]

然后，是父亲在山沟里把儿子找到，并把他救活，儿子迷途知返的情景：

“吾救儿（592），山洞拐（307），不宜留（816）。四邻乐（406），儿不乐（286），儿疼爸久久（20899）。爸乐儿不懂（86280）。‘三思吧（348）！’儿悟（25）。三思而依依（34211），妻等乐其久（70679）。”[最后40位]

没错，上面就是π的前100位了!

今天，在这个特殊的日子，让我们从π出发，考虑实数的分类 !

有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称 。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。

由于任何一个整数或分数都可以化为十进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

有理数集是整数集的扩张。在有理数集内，加法、减法、乘法、除法（除数不为零）4种运算通行无阻。

无理数是所有不是有理数字的实数。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。

形如（，n为正整数）的整系数（为整数，）代数方程的根x叫做“代数数”。

代数数可以定义为“有理系数多项式的复根”或“整系数多项式的复根”。

第一个定义可以具体描述为：

设z为复数。如果存在正整数n，以及n+ 1个有理数，并且，使得：则称z是一个代数数。

这个定义中，由于可以推出，其中整数分别等于，M是n+ 1个有理数分母的最小公倍数。所以“存在有理系数多项式使得z是其复根”可以推出“存在整系数多项式使得z是其复根”。

另一方面，由于整数集合是有理数集合的子集，所以“存在整系数多项式使得z是其复根”也可以推出“存在有理系数多项式使得z是其复根”。

这说明两个定义是等价的。

代数数在有理数下的“+”、“-”、“x”、“÷”运算中是封闭的，因此构成一个域，称为代数数域。

不能作为有理代数方程的根的无理数，即不是代数数的数称为超越数。因为欧拉说过：“它们超越代数方法所及的范围之外。”而得名。

代数数集包含了有理数集。然而，代数数集并不包含全部实数。

代数数集是一个可数集，即所有代数数能与全体自然数建立一一对应，而实数集是不可数的无穷集，因此，一定存在不是代数数的实数。

现已证明 π和e这些无理数不是代数数，但不是所有的无理数都不是代数数。

由此可见，就实数集而言，实数既可按有理数和无理数分为两类，又可按实代数数和实超越数分为两类。实代数数集是有理数集的自然扩充。

瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特于1761年证明π是个无理数，即不可表达成两个整数之比。1882年，林德曼（Ferdinand von Lindemann）更证明了π是超越数，即π不可能是任何整系数多项式的根。

圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性，因所有尺规作图只能得出代数数，而超越数不是代数数。

化圆为方问题是指已知单位长度1，要作出 的长度。 这等价于从1开始作出 。然而，能够用尺规作出的数z都有对应的最小多项式。也就是说，存在有理系数的多项式m，使得

然而，1882年，林德曼等人证明了对于圆周率 来说，这样的多项式不存在。所有规矩数都是代数数，而 不是，这说明用尺规作图是无法化圆为方的。

的超越性用到了称为林德曼－魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼－魏尔斯特拉斯定理说明，如果若干个代数数在有理数域 上线性独立，那么 也在上线性独立。

反设是代数数，那么 也是代数数。考虑代数数0和 ，由于 是无理数，所以它们在上线性独立。然而 和 分别是1和-1，并非在 上线性独立，矛盾。

这说明 不是代数数，而是超越数。

2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率。

国际圆周率日可以追溯至1988年3月14日，旧金山科学博物馆的物理学家Larry Shaw，他组织博物馆的员工和参与者围绕博物馆纪念碑做3又1/7圈（22/7，π的近似值之一）的圆周运动，并一起吃水果派。之后，旧金山科学博物馆继承了这个传统，在每年的这一天都举办庆祝活动。

2009年，美国众议院正式通过一项无约束力决议，将每年的3月14日设定为“圆周率日”。决议认为，“鉴于数学和自然科学是教育当中有趣而不可或缺的一部分，而学习有关π的知识是一教孩子几何、吸引他们学习自然科学和数学的迷人方式……π约等于3.14，因此3月14日是纪念圆周率日最合适的日子。”

在谷歌公司2005年的一次公开募股中，共集资四十多亿美元，A股发行数量是14,159,265股，这当然是由π小数点后的位数得来。（顺便一提，谷歌公司2004年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，与数学常数e有关）

排版软件TeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近π的值：3.1，3.14，……当前的最新版本号是3.1415926。

每年3月14日为圆周率日。“终极圆周率日”则是1592年3月14日6时54分（因为其英式记法为“3/14/15926.54”，恰好是圆周率的十位近似值）和3141年5月9日2时6分5秒（从前往后，3.）。

7月22日为圆周率近似日（英国式日期记作22/7，看成圆周率的近似分数）。

有数学家认为应把“真正的圆周率”定义为2π，并将其记为τ（发音：tau）。

以上就是小编给各位带来的圆周率日的分享。最后，请欣赏一段将数学与音乐完美结合的《圆周率之歌》小视频~

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Zmn-0473 李振华：也谈康托的对角线证明

【编者按。下面是李振华的文章。是对《Zmn-0470》《Zmn-0445》等文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

我认为这个证明是对的，但很多人都反对这个证明，这也是可以理解的。为什么那么多人反对康托的证明，因为这破坏了人们心中只有一个无限的观念。这就好比说，人们信仰唯一真神，但康托说存在多个神，这是对传统的彻底颠覆。不过，后来康托自己也意识到了这个问题，没有绝对只有相对是不行的，于是康托又提出了绝对无限的观念，把绝对无限等同于神。

康托证明了，小数的个数多于小数的位数，幂集合的基数大于原集合的基数，无论小数，集合是有限的还是无限的都成立。

理发师悖论，罗素悖论等等都是实数不可数的等价形式。

如果我们不问逻辑，而是认为有用就是对的，那么对角线证明就是对的。因为对角线方法可以在不知道无理数，超越数的情况下证明无理数，超越数的存在，而且还给出了这些数的构造方法。

理发师悖论，罗素悖论中的矛盾，与假定实数可数所产生的矛盾是同一个矛盾。理发师对所有人讲“只给不给自己刮脸的人”刮脸，存在由所有不属于自己的集合所组成的集合，康托在实数不可数的证明中所构造出来的实数是原列表中的某个实数(实数可数）是相同形式的矛盾。理发师对除自己之外的人讲“只给不给自己刮脸的人”刮脸，不存在由所有不属于自己的集合所组成的集合，康托在实数不可数的证明中所构造出来的实数不在原列表之中（实数不可数）是相同形式的无矛盾语句。

所有反对对角线证明的论点，都是可以被驳倒的。

欧阳耿先生用罗素悖论来反对康托的证明，这说明他对这两者都没有理解。康托的反证之所以能成立，恰恰是因为如果假设成立(实数可数）就会产生罗素悖论中的那种矛盾。

谈谈李鸿仪先生反对康托的两个观点。

第一个观点是说，康托构造了一个不在列表中的实数，只是多了一个实数，可数加1依旧可数。有人立即指出这种实数有9^可数无限个。把这个实数放入原来的列表中，又可以产生新的实数。因此，不在列表中的实数远远超过了李鸿仪先生的想象。我们再来看看我们是如何证明自然数的个数是无限的。假设有限，则自然数集合={1,2,3,...,n}，n+1是自然数又不在原来的集合中，矛盾！所以自然数有无限多。按照李鸿仪先生的逻辑，有限+1依旧有限，这样还不能证明自然数有无限多，事实上命题已经被证明了，素数有无限多，实数不可数也是同样的道理。

第二个观点是说，康托构造的实数b=0.b1b2b3....bn....(假设康托操作到第n位），列表中可以有f(m)的前n位=b的前n位,m>n。这个说法的问题在哪里？只对操作有限次成立，对操作无限次是不成立的。当康托完成他的操作时，对应的m是无穷大，f(无穷大）也不会在列表之中，无穷大不是自然数。

还有个论点是说，考虑1-10,2-00,3-11,4-01,按照康托的方法，对前2个取反，b=01，b不等于前三个中的任意一个，但等于第四个，已“列”出。对于n位有限小数，也有类似的结论。于是李鸿仪先生外推到无限的情形，认为个数和位数都是无限多时，也都是可列的。

在这里，有一个问题必须先说清楚。小数的位数必须是自然数那么多，才能表达所有的实数，如果小数的位数多于自然数的个数，它的表达范围就超过实数，如超实数的位数就大于自然数的个数，如果小数的位数小于自然数的个数，它的表达范围就小于实数。无限小数的位数有自然数那么多，这是公认的观点。如果小数的位数是可数无限，那么小数的个数是不可数无限。如果小数的个数可数无限，那么小数的位数是多少？答案是无解，因为可数无限是最小的无限。退一步讲，如果我们认为有解，由于这个无限比可数无限小，那么当小数的位数是这个无限时，有2^这个无限=可数无限，小数的个数只是可数无限，无法表达所有的实数。

我们把无限的情形总结如下：

1、如果位数是可数无限，那么个数是不可数无限，无用自然数进行编号。

2、如果个数是可数无限，那么位数不存在，或是小于可数无限的无限，无法表达所有的实数。

无论哪种情况我们都没有发现实数是可数的。

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