泰勒展开式的佩亚诺余项里的x的次数，是由展开后现有x的最高次方还是展开到几阶就是几次？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-28 02:47 标签： 麦克劳林公式佩亚诺

根号下（1+x）泰勒公式展开为
方法一：根据泰勒公式的表达式
然后对根号（1+x）按泰勒公式进行展开。
方法二：利用常见的函数带佩亚诺余项的泰勒公式
将a=1/2代入，可得其泰勒公式展开式。
1、麦克劳林公式（泰勒公式的特殊形式x0=0的情况）
2、泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式：
（1）佩亚诺（Peano）余项：
这里只需要n阶导数存在。
其中θ∈（0,1），p为任意正实数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项）
（3）拉格朗日（Lagrange）余项：
（4）柯西（Cauchy）余项：
其中以上诸多余项事实上很多是等价的。
参考资料：搜狗百科-泰勒公式

温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考

首先，你需要知道泰勒公式的表达式，如图1所示：
其次，在实际中，应用较多的是泰勒公式的特殊形式（x0=0的情况），即麦克劳林公式，如图2所示：
无论是泰勒公式，还是麦克劳林公式，最后一项Rn(x)代表余项，Rn(x)表达式的取值可以为佩亚诺余项（如图3），也可以为拉格朗日余项（如图4）。
然后，你就可以对sqrt（x+1）按泰勒公式进行展开了（也就是将其按麦克劳林公式进行展开）。
注：计算完成后，你可以按照如图5给出的（常见的函数带佩亚诺余项的泰勒公式）进行验证（a=1/2）。
最后，关于余项Rn(x)表达式的取法，看你的具体应用，一般取佩亚诺余项形式。佩亚诺余项表达式中o[(x-x0)n]表示是(x-x0)n的高阶无穷小（近似为数值0）。
补充说明：未知数x的取值也可以为表达式。例如：x=1/t。当x取值为表达式时，可以先求出未知数为x时的泰勒公式，然后将x=1/t带入所求的泰勒公式即可。
针对补充说明，举个实例吧！如下：
解：按照f(x)的定义，x为分母，取值不能为0，故在利用麦克劳林公式进行泰勒展开时，是错误的。我们可以令t=1/x，然后求解出f(t)的泰勒展开式，最后将t=1/x带入f(t)，求解得到（带佩亚诺余项）：

如果函数在处有阶导数，那么存在的一个邻域，对于该邻域内的任一，有

公式（1-1）称为函数在处（或按的幂展开）的带有佩亚诺余项的阶泰勒公式,的表达式（1-2）称为佩亚诺余项.

如果函数在的某个邻域内有阶导数，那么对任一,有

公式（2-1）称为函数在处（或按的幂展开）的带有拉格朗日余项的阶泰勒公式,的表达式（2-2）称为拉格朗日余项.

当时，公式（2-1）变为拉格朗日中值定理公式：

带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：

带有拉格朗日余项的麦克劳林公式：

常用的带有佩亚诺余项的麦克劳林公式：

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