数字电路的作用是用来表达一个现实的逻辑命题,实现逻辑功能。但是,从
逻辑功能中简单概括得出的逻辑函数,往往不是最简表达式,根据这样的非最简式来实现电路,系统会过于复杂,成本过高,同时,电路运行的安全性和可靠性也无法得到保障。
为了降低系统成本,提高工作可靠性,应在不改变逻辑功能的基础上,化简
逻辑表达式,降低其规模,并进行相应变形,用更合理的函数式表达逻辑命题,以期用最少、最合理的门电路器件实现逻辑功能。
另外,化简结果可能不唯一,但最后结果的长度都是一样的
最简与或表达式拆项后得到的表达式的每个与项中,三输入变量均以原变量或者反变量形式,出现且仅出现一次。所以说,这 4 个与项都是该逻辑函数的最小项。
n变量逻辑函数共有2”个最小项
所谓“标准与或式”,就是用最小项相加 , 得到的与或表达式,也称为最
小项标准式、“最小项之和”形式
一个具体逻辑函数的标准与或式中,到底存在哪个最小项,要看表达
该逻辑函数的最简与或式和标准与或式分别为:
F 的标准与或式由 4 个最小项组成,用 0 表示反变量,1 表示原变量,则能使输出成立的 4 种输入组合,恰好和 4 个最小项一一对应。也就是说, 一个最小项就 对应着真值表上的 一行, 对应着一组确定的输入条件组合。
真值表上,有 4 种输入组合能使输出为 1,就将这 4 种输入组合所对应的 4
个最小项相或,从而得到逻辑函数的标准与或式。由此可知, 逻辑函数的真值表和标准与或式是严格对应的,都准确地表达了一个逻辑命题的功能 , 这就是最小项、标准与或式的逻辑含义。
卡诺图上的一个方格就对应着逻辑函数的一个最小项
在一个最小项标准中,所有跟这一与项逻辑相邻的,只有四种可能:
逻辑相邻的意思,就意味着四输入变量中,两个与项相对应,只有一个变量,原变量、反变量不同,剩余三个变量是相同的
跟这一与项逻辑相邻的:
m0与m2是相邻的,所以整个卡诺图是左右相通的,就想个滚筒一样:
而一个五输入的卡诺图却是左右对称的:
跟某一项逻辑相邻的,有5种可能:
卡诺图能帮助我们更好地寻找逻辑相邻关系,但是到了五输入时,这一规则被打破了。也就是说,五变量以上的卡诺图就没有太多的使用意义
在卡诺图中,凡是相邻的最小项,它们在逻辑上也是相邻的,逻辑相邻,就是指二个最小项中除一个变量的形式不同为互反变量外,其它都是相同的,因此它们可以合并成一个与项,消去其中互反变量
首先先把相邻项圈起来,这个圈叫卡诺圈:
每一个卡诺圈表示可以进行一次 吸收定理1:
二个最小项合并,消去一个互反变量,保留公共变量(两项变一项,谁变干掉谁)
再来看看下面这张卡诺图:
刚刚的两个相邻项可以消去1个变量,这里的四个相邻项可以消去2个变量
有了上面的基础,这里应该就可以知道,八个相邻项可以消3个变量
换句话说就是: 谁不变,就把谁留下
注意!这样画圈是无法化简的!!!
应该转换成2个两项圈和2个四项圈:
坐标1表示原变量、0表示反变量,按坐标规定,将与或式中的各个与项逐一填入卡诺图
最小项标准式中,最小项编号最大是15 ,说明是四输入逻辑函数,由此得到卡诺图的结构:
根据最小项的排列规律填入最小项:
有了上面的基础,这里很容易就能判断出是四输入:
这道题也再次证明了化简结果是不唯一的,但化简得长度是唯一的
对于下面这一题,我们可以找出 F=0的情况,再填入1:
已知最简或与式,两次求反,再摩根定律展开一层,得到最简或非-或非式。
输入变量的取值不是任意的,而是有条件的,并不是所有的输入组合都可以出现
在实际应用中,某些现实条件限制了输入变量的取值,将具有限制关系的一组输入变量称为一组具有约束的变量
由具有约束关系的输入变量所决定的逻辑函数,就称为具有约束的逻辑函数
n输入的逻辑函数的2的n次方种输入取值组合下的输出取值都是明确的,这样的逻辑函数就是完全描述问题,其功能与每一个最小项均有关
具有约束的逻辑函数就是非完全描述问题,其功能只与能够出现的最小项有关
不可能出现的最小项,自然谈不上输出是0还是1
某些最小项出现时输出是1还是0均可,不影响逻辑电路的功能
约束项和任意项统称为无关项,逻辑函数的功能都跟他们无关
但并不是所有无关项都适合加入,有的无关项加入表达式后,反而会使表达式变得复杂。
例如,设计一个现实的逻辑电路,用一个指示灯来表示一架电梯的运行状态,从而能估计电梯日常使用频率。设计要求:当电梯在上升和下降时,指示灯点亮,表示电梯正在响应用户的使用要求;而当电梯悬停在某一层时,指示灯灭,表示电梯空闲。
不难发现:这是三条件、一结论的逻辑命题,设输入变量为 A 、 B 、 C ,分别表示电梯处于“上升”、“下降”和“悬停”,输出变量为 F ,表示指示灯点亮。在这个逻辑函数的八种输入取值组合中,能够使输出为 1 的组合只有两个,因此可以简单得到逻辑表达式:
同时,因为一些现实因素的限制,输入变量的某些取值组合永远不可能出现
电梯是不可能同时一边上升、一边下降的,也不可能一边上升、一边停止,
同样,也不可能既不上升、又不下降。也不停止。
以此类推,逻辑函数有五种输入组合是永远不可能出现,自然谈不上在这些输入组合下,输出取值为:
这就是该命题所包含的约束关系
此外,理论上还有一种情况,就是在输入变量的某些最小项出现(即对应的
输入组合出现)时,输出函数值是 1 还是 0 均可,不影响逻辑电路的功能,这样的最小项称为任意项
不论是约束项还是任意项,逻辑函数的功能都跟它们无关,因此, 约束项和任意项统称为无关项
既然约束项和任意项最终对输出造成的影响是类似的,一般不对它们做过于
绝对的区分,具有这种特点的逻辑函数统称为 具有无关项的逻辑函数,或者称为具有约束关系的逻辑函数,两者是一个概念
约束表达式限制了什么样的输入组合出现,把它们总结起来,就是约束关系的语言表达。
将一个现实的逻辑约束所限制的输入组合用表达式总结出来。
以时间为横轴,画出一个逻辑函数的输入、输出变量对应变化的波形,从而形成输入信号和输出信号的对应图形,即逻辑电路的波形图
1.将3个输入波形的所有变化点标记出来,这也就是输出波形可能的变化点。
2.以整体分析的方式画输出波形(似于真值表的列写过程,切忌从头到属地逐个片段画)
找出A和BC分别为1时的对应段,那么剩下的都是0:
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