高数大一高等数学求极限方法总结限

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-12-23 06:02 标签： 常见极限公式22个

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展开全部1. 代入法， 分母极限不为零时使用。先考察分母的极限，分母极限是不为零的常数时即用此法。【例1】lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)解：lim[x-->√3](x^2-3)/(x^4+x^2+1)=(3-3)/(9+3+1)=0【例2】lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx解：lim[x-->0](lg（1+x）+e^x)/arccosx=(lg1+e^0)/arccos0=(0+1)/1=12. 倒数法，分母极限为零，分子极限为不等于零的常数时使用。【例3】 lim[x-->1]x/(1-x)解：∵lim[x-->1] (1-x)/x=0 ∴lim[x-->1] x/(1-x)= ∞以后凡遇分母极限为零，分子极限为不等于零的常数时，可直接将其极限写作∞。3. 消去零因子（分解因式）法，分母极限为零，分子极限也为零，且可分解因式时使用。【例4】 lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)解：lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)=lim[x-->1](x-1)^2/[x(x^2-1)=lim[x-->1](x-1)/x=0【例5】lim[x-->-2](x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)解：lim[x-->-2] (x^3+3x^2+2x)/(x^2-x-6)= lim[x-->-2]x(x+1)(x+2)/[(x+2)(x-3)]= lim[x-->-2]x(x+1) / (x-3)=-2/5【例6】lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)解：lim[x-->1](x^2-6x+8)/(x^2-5x+4)= lim[x-->1](x-2)(x-4)/[(x-1)(x-4)]= lim[x-->1](x-2) /[(x-1)=∞【例7】lim[h-->0][(x+k)^3-x^3]/h解：lim[h-->0][(x+h)^3-x^3]/h= lim[h-->0][(x+h) –x][(x+h)^2+x(x+h)+h^2]/h= lim[h-->0] [(x+h)^2+x(x+h)+h^2]=2x^2这实际上是为将来的求导数做准备。4. 消去零因子（有理化）法，分母极限为零，分子极限也为零，不可分解，但可有理化时使用。可利用平方差、立方差、立方和进行有理化。【例8】lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x解：lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x= lim[x-->0][√1+x^2]-1] [√1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝= lim[x-->0][ 1+x^2-1] /｛x[√1+x^2]+1]｝= lim[x-->0] x / [√1+x^2]+1]=0【例9】lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))解：lim[x-->-8][√(1-x)-3]/(2+x^(1/3))=lim[x-->-8][√(1-x)-3] [√(1-x)+3] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]÷{(2+x^(1/3))[4-2x^(1/3)+x^(2/3)] [√(1-x)+3]}=lim[x-->-8](-x-8) [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/{(x+8)[√(1-x)+3]}=lim[x-->-8] [4-2x^(1/3)+x^(2/3)]/[√(1-x)+3]=-25. 零因子替换法。利用第一个重要极限：lim[x-->0]sinx/x=1，分母极限为零，分子极限也为零，不可分解，不可有理化，但出现或可化为sinx/x时使用。常配合利用三角函数公式。【例10】lim[x-->0]sinax/sinbx解：lim[x-->0]sinax/sinbx= lim[x-->0]sinax/(ax)*lim[x-->0]bx/sinbx*lim[x-->0]ax/(bx)=1*1*a/b=a/b【例11】lim[x-->0]sinax/tanbx解：lim[x-->0]sinax/tanbx= lim[x-->0]sinax/ sinbx*lim[x-->0]cosbx=a/b6. 无穷转换法，分母、分子出现无穷大时使用，常常借用无穷大和无穷小的性质。【例12】lim[x-->∞]sinx/x解：∵x-->∞ ∴1/x是无穷小量∵|sinx|<=1, 是有界量 ∴sinx/x=sinx* 1/x是无穷小量从而：lim[x-->∞]sinx/x=0【例13】lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)解：lim[x-->∞](x^2-1)/(2x^2-x-1)= lim[x-->∞](1 -1/x^2)/(2-1/x-1/ x^2)=1/2【例14】lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)解：lim[n-->∞](1+2+……+n)/(2n^2-n-1)=lim[n-->∞][n( n+1)/2]/(2n^2-n-1)=lim[n-->∞][ (1+1/n)/2]/(2-1/n-1/n^2)=1/4【例15】lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50解：lim[x-->∞](2x-3)^20(3x+2)^30/(5x+1)^50= lim[x-->∞][(2x-3)/ (5x+1)]^20[(3x+2)/ (5x+1)]^30= lim[x-->∞][(2-3/x)/ (5+1/ x)]^20[(3+2/ x)/ (5+1/ x)]^30=(2/5)^20(3/5)^30=2^20*3^30/5^50已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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