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贡献者： addis预备知识　球谐函数，径向函数的归一化　　1复数形式的归一化平面波可以展开为式 13
的形式：
\begin{equation}
\left\lvert
\boldsymbol{\mathbf{k}}
\right\rangle
= \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i}
\boldsymbol{\mathbf{k}}
\boldsymbol\cdot
\boldsymbol{\mathbf{r}} } = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sum_{l=0}^{\infty}
\mathrm{i} ^l
j_l(kr) \sum_{m=-l}^l Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~,
\end{equation}
推导见下文。由 $Y_{l,m}^* = (-1)^m Y_{l,-m}$ 易证这里的复共轭可以加在任意一个球谐函数上。另外由 $Y_{l,m}(- \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) = (-1)^l Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} )$ 易得 $ \left\lvert
\boldsymbol{\mathbf{k}}
\right\rangle
^*
=
\left\lvert - \boldsymbol{\mathbf{k}}
\right\rangle $。
　　
可以证明，一组正交归一的球面波基底为（见 “径向函数的归一化”）
\begin{equation}
\left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle
= s_{l,m}(k, \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r}\sqrt{\frac{2}{\pi}}kr j_l(kr) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~.
\end{equation}
平面波式 1
可以表示为相同能量球谐波的线性组合
\begin{equation}
\left\lvert
\boldsymbol{\mathbf{k}}
\right\rangle
= \sum_{l,m}\frac{ \mathrm{i} ^l}{k} Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) \left\lvert s_{l,m}(k) \right\rangle
~.
\end{equation}其他形式　　
根据式 24 ，令 $\alpha$ 为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ,
\hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的夹角，式 1
也可以记为
\begin{equation}
\left\lvert
\boldsymbol{\mathbf{k}}
\right\rangle
= \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \sum_{l=0}^{\infty}
\mathrm{i} ^l (2l+1) j_l(kr) P_l(\cos\alpha)~,
\end{equation}
所以 $z$ 方向的平面波可以仅由 $Y_{l,0}$ 球谐函数展开
\begin{equation}
\left\lvert k \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\right\rangle
= \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i}
kz}
= \frac{1}{\pi} \sum_{l=0}^{\infty}
\mathrm{i} ^l \sqrt{l+\frac12}\ j_l(kr) Y_{l,0}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~.
\end{equation}1. 球谐展开函数的傅里叶变换预备知识　多元傅里叶变换　　
若三维函数具有球谐展开的形式
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{r}\sum_{l,m} u_{l,m}(r) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~,
\end{equation}
要做三维傅里叶变换
\begin{equation}
g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) =
\left\langle
\boldsymbol{\mathbf{k}}
\middle
f \right\rangle
=
\frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \int f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )
\mathrm{e} ^{- \mathrm{i}
\boldsymbol{\mathbf{k}}
\boldsymbol{\mathbf{r}} }
\,\mathrm{d}^{3}{r} ~.
\end{equation}
将式 3
代入上式得
\begin{equation}
g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \frac{1}{k} \sum_{l,m} g_{l,m}(k)
Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) ~,
\end{equation}
其中
\begin{equation}
g_{l,m}(k) = \sqrt{\frac{2}{\pi}}
\mathrm{i} ^{-l} \int_0^{+\infty} u_{l,m}(r) kr j_l(kr)
\,\mathrm{d}{r} ~,
\end{equation}
于是 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 可分解为平面波
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \int g_{l,m}(k)
\left\lvert
\boldsymbol{\mathbf{k}}
\right\rangle
\,\mathrm{d}^{3}{k} ~.
\end{equation}例 1　类氢原子基态的动量谱　　
类氢原子基态的波函数为（见式 2 ，使用原子单位）
\begin{equation}
\psi( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{Z^{3/2}}{\sqrt\pi}
\mathrm{e} ^{-Zr}~,
\end{equation}
显然只有 $l = 0, m = 0$ 球谐项。而 $Y_{0,0} = 1/\sqrt{4\pi}$，所以径向波函数为
\begin{equation}
R_{00}(r) = 2 Z^{3/2}
\mathrm{e} ^{-Zr}~,
\end{equation}
所以傅里叶变换为（注意 $j_0(x) = \sin x/x$）
\begin{equation}
g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) = \frac{\sqrt{2}}{k\pi} \int_0^\infty
\mathrm{e} ^{-r}
\sin\left(kr\right)
r
\,\mathrm{d}{r}
= \frac{2\sqrt{2}}{\pi(k^2+1)^2}~,
\end{equation}\begin{equation}
g( \boldsymbol{\mathbf{k}} ) =
\left(\frac{2}{Z} \right) ^{3/2} \frac{1}{\pi(k^2/Z^2 + 1)^2}~.
\end{equation}
我们也可以将沿 $z$ 轴正方向的三维平面波用球坐标表示（不使用球谐函数），再在球坐标中与波函数积分，结果相同。
2. 推导　　
理论上，式 1
可以通过计算式 14
得到，但这个积分较为复杂，可能需要借助 Mathematica 等工具2\begin{equation}
\begin{aligned}
&\quad f_{l,m}(r) = \int Y_{l,m}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i}
\boldsymbol{\mathbf{k}}
\boldsymbol\cdot
\boldsymbol{\mathbf{r}} }
\,\mathrm{d}{\Omega} \\
&= A_{l,m}\int_0^\pi \sin\theta \,\mathrm{d}{\theta}
\int_0^{2\pi}
\,\mathrm{d}{\phi}
\,\,P_l^m(\cos\theta)
\mathrm{e} ^{- \mathrm{i}
m \phi}\\
&\times
\exp\left[ \mathrm{i}
(k_x r \sin\theta\cos\phi + k_y r \sin\theta\sin\phi + k_z r \cos\theta)\right] ~.
\end{aligned}
\end{equation}
但从式 4
可以知道我们只需要证明 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 延 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 方向的情况，令 $\theta = \alpha$ 即可，也就是上式中 $k_x = 0, k_y = 0, k_z = k$。由对称性，$m \ne 0$ 时积分都是 0，所以
\begin{equation}
\begin{aligned}
\int Y_{l,0}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i}
\boldsymbol{\mathbf{k}}
\boldsymbol\cdot
\boldsymbol{\mathbf{r}} }
\,\mathrm{d}{\Omega}
&= 2\pi A_{l,m}\int_0^\pi P_l(\cos\theta)
\exp\left[ \mathrm{i}
(k r \cos\theta)\right]
\sin\theta \,\mathrm{d}{\theta} \\
&= 2\pi A_{l,m}\int_{-1}^1 P_l(x)
\exp\left[ \mathrm{i}
(k r x)\right]
\,\mathrm{d}{x} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
由式 9
得
\begin{equation}
\int Y_{l,0}^*( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i}
\boldsymbol{\mathbf{k}}
\boldsymbol\cdot
\boldsymbol{\mathbf{r}} }
\,\mathrm{d}{\Omega}
= 4\pi A_{l,m}
\mathrm{i} ^l j_l(\rho)
= \sqrt{4\pi (2l + 1)}\
\mathrm{i} ^l j_l(\rho)~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\mathrm{e} ^{ \mathrm{i}
\boldsymbol{\mathbf{k}}
\boldsymbol\cdot
\boldsymbol{\mathbf{r}} } = \sum_{l,m} \sqrt{4\pi (2l + 1)}\
\mathrm{i} ^l j_l(\rho) Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )
=\sum_{l,m} (2l + 1)
\mathrm{i} ^l j_l(\rho) P_l(\cos\alpha)~.
\end{equation}
证毕。
3. 推导 2　　
另一种方法是把平面波看作三维亥姆霍兹方程的解
未完成：引用三维直角坐标的亥姆霍兹方程\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2
\psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + k^2 \psi_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = 0~
\end{equation}
的解。这也是定态薛定谔方程势能为零的一个解。在球坐标系中解亥姆霍兹方程 得通解为
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \sum_{l,m} [A_{l,m} j_l(kr) + B_{l,m} y_l(kr)] Y_{l,m}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )~,
\end{equation}
由于第二类球贝塞尔函数 $y_l(kr)$ 在 $r\to 0$ 时有奇点，所以 $B_{l,m} = 0$。而第一类球贝塞尔函数 $j_l$ 在 $r\to \infty$ 时有渐进形式（式 18 ）
\begin{equation}
j_l(x) \to
\sin\left(x - l\pi /2\right) /x~,
\end{equation}
在 $r\to \infty$ 匹配相位即可得到 $A_{l,m}$。
未完成：具体如何匹配？
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面及参考文献。2. ^ 其实 Mathematica 也只能算给定的 $l, m$。致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元，我们一个星期内就能脱离亏损， 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。

球谐函数是球面拉普拉斯方程的解，因为二维拉普拉斯方程的解按照习惯称作"调和函数"(解析函数的实部或虚部)，故三维球面类似的也称作"球面调和函数"，或者"球谐函数"。球谐函数，实际上是一个偏微分方程本征值问题的本征函数(对应一个本征值有不止一个本征函数)。自变量为θ和Φ，θ∈(0，π)，Φ∈(0，2π)，分离变量后θ方向上为连带Legender方程加上边界有界条件，Φ方向上为简谐方程(不知道该怎么称呼他。。)加上周期边界条件，若方程有非零解，则本征值为λ=l(l+1)，(l=0，1，2，…)，本征函数为球谐函数，对应一个本征值有2l+1个本征函数，也即2l+1重简并。至于这些名为球谐函数的本征函数的物理意义嘛：参考自吴崇试先生2015秋的《数学物理方法》课件，侵删。