求证： 证明lim(1+1/n)^n=en>∞) ln u(n)= e^(-1)

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-08-02 13:48 标签： 证明lim(1+1/n)^n=e

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展开全部（1）对任意ε>0，存在正整数N=[6/ε]+1，使对所有n>N，有|n^2/e^n|=n^2/e^n=n^2/(1+n+n^2/2!+n^3/3!+...)<n^2/(n^3/3!)=6/n<6/N=6/([6/ε]+1)<6/(6/ε)=ε所以lim(n->∞)(n^2)/(e^n)=0（2）对任意ε>0，存在正整数N=[(e^2)/ε]+1，使对所有n>N，有|e^n/n!|=e^n/n!<e^n/[√(2πn)*(n/e)^n]//这里运用了斯特林公式<e^n/[(n/e)^n]=[(e^2)/n]^n=e^{ln[(e^2)/n]^n}=e^[n(2-lnn)]=(1/e)^[n(lnn-2)]<(1/e)^(lnn-2)<(1/e)^(lnN-2)=e^2/N=e^2/{[(e^2)/ε]+1}<e^2/(e^2/ε)=ε所以lim(n->∞)(e^n)/(n!)=0
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