注：该回答需要读者有一定的多元微积分基础。正文Laplace 算子描述了邻域平均函数值与函数值的差\nabla^2u(x)\propto \bar u(x)-u(x) \\ 所以我更愿意叫它平均值算子。总是用数学家的名字来命名数学概念会让人摸不着头脑，例如把 \text dx 叫成微分比叫成 Leibniz 映射更好。为了弄清楚这一点，我们从一维情形开始，这时算子就是二阶导数：\nabla^2u=u''(x) \\高阶导数可以用高阶差分来近似。如果没听说过，可以参考附录，那里给出了一个简短的说明。利用数学归纳法与 Lagrange 中值定理不难证明，在高阶导数存在且连续的条件下，高阶导数与高阶差分有如下关系\Delta^nu=u^{(n)}(\xi_n)\Delta x^n\quad\xi_n介于最小的x与最大的x之间 \\因此有\frac{\mathrm d^nu}{\mathrm dx^n}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta^nu}{\Delta x^n} \\为了看出二阶导数的几何意义，写出它的有限差分的近似表达式\begin{align*} \frac{\mathrm d^2u}{\mathrm dx^2}\approx\frac{\Delta^2u}{\Delta x^2} &=\frac{[u(x+\Delta x)-u(x)]-[u(x)-u(x-\Delta x)]}{\Delta x^2} \\ &=\frac{2}{\Delta x^2}\left[\frac{u(x+\Delta x)+u(x-\Delta x)}{2}-u(x)\right] \\ &=\frac{2}{\Delta x^2}[\bar u(x)-u(x)] \end{align*} \\很明显，中括号内就是u在x的邻域内的平均值与u(x)的差。 推广到多元函数情形，我们构造对应的表达式：函数 u 在球面 S_r(x) 上的平均值 \bar u(x) 与 u(x) 之差，其中引入因子1/r^2是为了类比1/\Delta x^2，\begin{align*} \delta&:=\frac{1}{r^2}\left[\frac{\oint_{S_r(x)} u(x+\vec r)\mathrm dS}{S}-u(x)\right] \\ &=\frac{1}{Sr^2}\oint_{S_r(x)}\left[u(x+\vec r)-u(x)\right]\mathrm dS \\ &\approx\frac{1}{Sr^2}\oint_{S_r(x)}\nabla u(x+\vec r)\cdot\vec r\mathrm dS \\ &=\frac{1}{Sr^2}\oint_{S_r(x)}\nabla u\cdot r\vec n\mathrm dS\\ \end{align*} \\S=|S_r(x)|是以x为球心，r为半径的高维球面S_r(x)的面积(不要被数学家发明的这些符号吓到，它们实际上说的是很简单的东西)。利用公式(参见附录)\oint_{\partial V}\nabla u\cdot\vec n\text dS=\int_V\nabla^2 u\text dV \\就可以得到\delta\approx\frac{1}{Sr}\int_{B_r(x)}\nabla^2u\mathrm dV \\取r\to 0的极限，积分就可以变为\int_V\nabla^2u\mathrm dV\to\nabla^2u(x)\times V \\而对于 n 维球 B_r(x) 来说，V=Sr/n就有\delta=\frac{1}{n}\nabla^2u \\因此我们最初构造的表达式与 Laplace 算子仅仅相差一正常数因子。知道了 Laplace 算子的意义，我们就能简单的理解那些含有 Laplace 算子的方程了。例如静电势的 Poisson 方程\nabla^2\phi=-\frac{\rho_e}{\epsilon_0} \\ 它描述了电荷密度与电势的关系。按上面的理解，Poisson 方程说的就是，如果某点处是正电荷，那么表示该处的电势会比周围平均电势要高；如果是负电荷，那么该处的电势会比周围要低。Laplace 方程如果空间中处处没有电荷，Poisson 方程就化为 Laplace 方程\nabla^2\phi=0 \\ 它也是复变函数中解析函数的实部和虚部需要满足的方程。Laplace 方程就描述了一件事：函数\phi 在空间中的每一点都是均匀的，也就是每一点的值等于其邻域内的平均值，这也是 Laplace 方程的解称为调和函数(Harmonic Function)的原因所在：这些函数完美地贯彻平均主义。数学家们通过一些技巧可以把函数的局域性质转化为函数的广延性质，换句话说，从微分表述变为积分表述。调和函数的局域平均性可以转换为一定范围内的平均性：在空间的一个区域 U 内如果 Laplace 方程处处成立，那么\phi(x)=\frac{1}{|S_r(x)|}\oint_{S_r(x)}u\mathrm dS=\frac{1}{|B_r(x)|}\int_{B_r(x)}u\mathrm dV \\ 其中 S_r(x)=\partial B_r(x) 是区域U内的任意以x为球心，r为半径的球 B_r(x) 的球面。简单说，就是我们可以把之前的无限小的邻域放大为有限大的球，调和函数无论是在球面上的平均还是整个球上的平均都等于球心处的函数值。调和函数的平均性质有很多著名的推论，这里就不一一介绍了。热传导方程\frac{\partial T}{\partial t}=\alpha\nabla^2T\quad(\alpha>0) \\ 其中T=T(x,y,z,t)是一个区域的温度函数，描述了每时每刻区域内中每一点的温度。因此热传导方程无非就是说，如果空间某一点的温度低于(高于)周围的平均温度，那么该点的温度就会以正比于该差值的速率上升(下降)。附录有限差分我们知道对于两个点x,x+\Delta x，可以定义函数u在这两个点的差\Delta u(x):=u(x+\Delta x)-u(x) \\这称为一阶差分，它也可以视为是x的函数。对于三个点x,x+\Delta x,x+2\Delta x，我们可以定义差分的差分\begin{align*} \Delta^2u(x)&:=\Delta(\Delta u(x)) \\ &=\Delta u(x+\Delta x)-\Delta u(x) \\ &=[u(x+2\Delta x)-u(x+\Delta x)]-[u(x+\Delta x)-u(x)] \end{align*} \\称之为二阶差分，我们归纳地定义高阶差分为\Delta^{n+1}u(x):=\Delta(\Delta^nu(x)) \\利用一元微积分的 Lagrange 中值定理和数学归纳法可以证明，如果函数 u=f(x) 在x_0点附近处有连续的n阶导数(或称C^n光滑)，那么\Delta^nu(x_0)=f^{(n)}(\xi_n)\Delta x^n\quad\xi_n\in(x_0,x_0+n\Delta x) \\因此在x_0处的n阶导数就能用有限差分来近似f^{(n)}(x_0)\approx\frac{\Delta^n u(x_0)}{\Delta x^n} \\微积分基本定理我们应该都知道所谓的 Newton-Leibniz 公式\int_a^bu'(x)\mathrm dx=u(b)-u(a) \\它把一个函数在一段区间上的积分转化为另一个函数在区间端点处的某个表达式。但它只适用于一维情形，倘若我们要计算一个高维积分，有没有类似的公式呢？答案是有，我们还是把它叫做微积分基本定理。它的表述是\int_Vu_{x_i}\mathrm dV=\int_{\partial V}un^i\mathrm dS \\我来解释一下每一个符号是什么意思，首先V是n维空间\mathbb R^n中的一个区域，u=f(x_1,x_2,...,x_n)是一个n元函数，u_{x_i}是这个函数对变量x_i的偏导数，\partial V是区域V的边界(边界不一定是闭合的，所以积分不一定要画一个圈)，n^i是\partial V的单位外法向量\vec n的第i个分量(单位外法向量是指垂直于\partial V，指向V外，且模为1的向量)。我们来建立一些对这一公式的感觉，例如，对于n=1，区域V若为区间(a,b)，偏导数u_{x_i}化为通常的导数u'(x)，体积微元\mathrm dV化为长度微元\mathrm dx，那么\partial V就是区间的边界，也就是a,b两个点(显然这并不是闭合的)，边界上的积分化为离散求和，单位外法向量只有一个分量，在左端点a处为-1，在右端点b处为1，于是\int_{(a,b)}u'(x)\mathrm dx=-1\times u(a)+1\times u(b)=u(b)-u(a) \\此即(1)我们可以用它来推导出一些我们更熟悉的公式，为此把u改写为uv，那么就有\int_V\left[u_{x_i}v+uv_{x_i}\right]\mathrm dV=\int_{\partial V}uvn^i\mathrm dS \\或者写为\int_Vuv_{x_i}\mathrm dV=\int_{\partial V}uvn^i\mathrm dS-\int_Vu_{x_i}v\mathrm dV \\这是我们熟悉的分部积分公式的推广。如果将v进一步用v_{x_i}来替代，那么就有\int_Vuv_{x_i^2}\mathrm dV=\int_{\partial V}uv_{x_i}n^i\mathrm dS-\int_Vu_{x_i}v_{x_i}\mathrm dV \\类似的应该有\int_Vvu_{x_i^2}\mathrm dV=\int_{\partial V}vu_{x_i}n^i\mathrm dS-\int_Vv_{x_i}u_{x_i}\mathrm dV \\上面两式相减可以得到\int_V\left(uv_{x_i^2}-vu_{x_i^2}\right)\mathrm dV=\int_{\partial V}(uv_{x_i}-vu_{x_i})n^i\mathrm dS \\如果对i=1,2,...,n对上式进行相加，就得到\int_V\left(u\nabla^2v-v\nabla^2u\right)\mathrm dV=\int_{\partial V}(u\nabla v-v\nabla u)\cdot\vec n\mathrm dS \\这是在求解 Poisson 方程和 Laplace 方程中用到的 Green 公式，取v\equiv-1就得到本文中需要的公式(\text{A})如果在(2)中将u^{x_i}改写为u^i_{x_i}，即把u=\vec u视为有n个分量的向量值函数，而u^i是其i分量，于是得到\int_Vu_{x_i}^i\mathrm dV=\int_{\partial V}u^in^i\mathrm dS \\对i=1,2,...,n求和，就变成了\int_V\nabla\cdot\vec u\mathrm dV=\int_{\partial V}\vec u\cdot\vec n\mathrm dS \\这就是关于散度的 Gauss 公式。