PAGE PAGE 107 第五章 线性代数 行列式和矩阵是《线性代数》这门课程中两个最重要的概念。它们不仅是讨论线性方程组及其求解的有力工具,而且在工程技术,生产管理等方面都有着广泛的应用。 1.1行列式的概念 行列式是《线性代数》这门课程中最重要的概念之一。它与线性方程组及其求解的问题有着密切的关系。 1.1.1二阶行列式 行列式是在解二、三元线性方程组时引出的。
二元线性方程组的一般式为 (1·1·1) 我们可以用加减消元法推导出解的公式 (当) (1·1·2) 先设想把解公式中的分母记成 即 = 上式左边排成两行两列(形成正方形状)的符号称为二阶的行列式.右边的式子称为它的展开式。其中横排称为行,纵排称为列,从左上角至右下角的对角线称为主对角线,从左下角至右上角的对角线称为次对角线,行列交叉处的数叫元素。
类似于上面的符号,也可以用二阶的行列式符号表示解公式中的分子。 即 = = 例如 二阶的行列式=-3×12-2×5=-46,=+ 如果用,,分别表示解公式(1·1·2)中的分母和分子的各行列式 即 =,=,= 则方程组(1·1·1)当0时有唯一解且解可表示为 (1·1·3)
容易发现,解(1·1·3)中的行列式由方程组(1·1·1)中未知数的系数按原来的顺序排成,称为方程组的系数行列式;行列式由方程组(1·1·1)中右边的常数项替换系数行列式中的第一列而得到;行列式由方程组(1·1·1)中右边的常数项替换系数行列式中的第二列而得到。 例1.1.1 用行列式求方程组的解 (注:若不是一般式则应先化为一般式) 解 原方程组化为一般式 =11,=
=9-2=7,==-3 -3=-6. 注意:例1.1.1中的方程组若不是一般式则需先化为一般式 1.1.2三阶行列式 现在来解三元的线性方程组。 三元线性方程组的一般式为 (1·1·4) 和二元线性方程组类似,可用加减消元法推导出三元线性方程组解的公式为 (1·1·5) 其中0 类似于二阶行列式的定义,我们也可以用=来表示如下的式子 即==
上式左边排成三行三列(形成正方形状)的符号称为三阶的行列式,右边的式子称为它的展开式。容易发现三阶的行列式的展开式的规律可用如下的弧线表示 =(1·1·6) 例如 按展开式(1·1·6)求得行列式的值的方法叫作对角线展开法。 容易发现,三阶的行列式展开式有如下的规律: (1)首项为主对角线所有元素的积,且带正号。 (2)共有3﹗项。带正负号的项各占一半。
(3)每项均是取自不同行不同列的元素之积。 同样可以引入符号=,=,= 分别表示解的公式(1·1·5)中第一、第二、第三个分式的分子中的式子。这样,三元线性方程组的(1·1·4) 当0时的解即可表示为 (1·1·7) 其中行列式称为方程组的系数行列式;,,分别由三元线性方程组的常数项替换系数行列式中的第一列、第二列、第三列而得到。 例1·1·.2 解线性方程组 解 ==138,
==138 = =-276 , ==-414 方程组的解为 1.1.3 阶行列式 从三阶行列式的展开式得 = = = (1.1.8) 上式可以看作三阶行列式的按第一行元素的展开式。其中三个二阶行列式分别是原来三阶行列式中划去元素所在行所在列的元素,剩余下来的元素保持原有相对位置所组成的行列式,称为的余子式,记作。而称为元素的代数余子式。
一般的,行列式中划去元素所在行所在列的元素,剩余下来的元素保持原有相对位置所组成的行列式,称为的余子式,记作。而称为元素的代数余子式。 有了代数余子式的概念,式(1.1.8)即可写为 = (1.1.9) 若规定一阶的行列式,则二阶行列式可定义为 = (1.1.10) 类似地仿照(1.1.9)、(1.1.10)的表示,可定义阶行列式及其展开式 定义1·1·1 由个元素排成行列的形式,记为
即 =称为阶行列式,其中称为行列式中的第行第列的元素(,=1,2…) 假设-1