拉格朗日中值定理的内容方程的内容是什么？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-15 23:28 标签： euler lagrange方程

韋伯(1804 - 1891)發現兩帶電質點間的作用力與其相對速度與距離有關，是最早提出力的作用與速度有關的科學家，這個理論能有效的解釋靜電學中電磁吸引、感應電流等現象。若有一組帶電粒子 與 ，分別座落於 與 上，其速度分別為 與 ，則帶電質點2對1的韋伯力(Weber’s force)其值可表示成

其中為兩個帶電質點間的相對距離，相對速度可表示成

而韦伯电动力学中最重要的結果是其作用力的形式符合牛頓第三運動定律的strong form，也就是兩個質點間的作用力大小相等且方向相反，力在質點的連心線的沿長線上，而Weber’s force也可以符合古典力學中的Galilean Transformation。

韦伯电动力学的拉格朗日方程

根據韦伯电动力学，我們可以知道兩個帶電質點之間的位能可以下列形式表式：

其中與分別為質點1和2的帶電量，為兩個帶電質點間的距離。而平面上質點的動能可以表示成

將上列式子代入拉格朗日方程：

所以运动议程可以寫成以下的形式

從上式我們可以知到r方向的作用力即為韦伯力，另外，注意到θ方向是沒有作用力的，即兩個帶電質點間沒有扭力(torque)作用，因此韦伯电动力学中的作用力是在兩個質點連心線上，遵守牛頓第三運動定律的strong form，此結果和麦克斯韦尔-洛伦兹电动力学中的有很大的不同，接下來的部分將會對兩種不同形式的電動力學做討論。

韦伯电动力学与麦克斯韦尔电动力学的比较

在前面我們有提到，韦伯电动力学是遵守牛頓第三運動定律的，因此韦伯电动力学能夠自動的滿足線動量守恆，然而很明顯的是不遵守的，這意味著一組相互作用的電荷的線動量有可能增加或減少，即使它們不與外界的物體作用。由上面的證明也可知道韋伯力在角動量方面也是守恆的，而麦克斯韦尔电动力学中則否，這意味著相互作用的電荷之間的角動量有可能增加或減少，即便它們不與外界的物體作用。

另外，洛伦兹力也不屬於保守力，且討論高速質點運動時，磁感應的部分必需被修正。

理论力学的一个分支。以广义坐标描述质点系位置为主要手段的一门经典力学。

分析力学适合于研究宏观现象的力学体系。研究大量粒子的系统需用统计力学；量子效应不能忽略的过程需用量子力学研究。但分析力学知识在统计力学和量子力学中仍起着重要作用。

分析力学主要以牛顿运动定律为基础，研究“自由”的或“约束着”的质点系的力学问题。把太阳系中每一个星体（行星、卫星、彗星等）看作一个质点，太阳系就是一个自由质点系；星体间的相互作用是万有引力。工程上的力学问题大多数是约束着的质点系，由于约束方程类型的不同，就形成了不同的力学系统。例如，完整系统、非完整系统、定常系统、非定常系统等。不同的系统所遵循的运动微分方程不同。

1788年出版的J.L.拉格朗日著作《分析力学》是世界上最早的一本分析力学书。分析力学是建立在虚位移原理(1717，见虚功原理)和达朗伯原理(1743)的基础上。1760～1761年，拉格朗日用这两个原理和理想约束结合，得到了动力学普遍方程（又称达朗伯-拉格朗日方程），几乎所有的分析力学的动力学方程都是从这个方程直接或间接导出的。拉格朗日本人就是根据它导出了两个重要方程，分别称为第一类和第二类拉格朗日方程。前者用未定乘子乘约束方程的变分式，然后同直角坐标的动力学普遍方程相加而得。第二类拉格朗日方程是用广义坐标表示的完整系统的动力学方程，在工程技术上很重要，因此，常简称为拉格朗日方程。可以用N维q空间或N+1维(q，t)空间配合拉格朗日方程研究完整系统的动力学问题，形成了拉格朗日体系。

1834年，W.R.哈密顿推得用广义坐标 q和广义动量p联合表示的动力学方程，称为正则方程。可用2N 维相空间(q，p)或2N+1维态空间(q，p，t)配合正则方程研究完整系统，这形成了哈密顿体系。在多维空间中可用代表一个系统的点的路径积分的变分原理研究完整系统的力学问题。

非完整系统的研究，从1861年有人导出球在水平面上作无滑动的滚动方程开始，到1899年P.阿佩尔在《理性力学》中提出阿佩尔方程为止，基本上已完成了线性非完整约束的理论。

20世纪分析力学对非线性、不定常、变质量等力学系统作了进一步研究，对于运动的稳定性问题作了广泛的研究。

分析力学的研究主要有如下几个方面。

导出各类力学系统的运动微分方程

例如，完整系统的拉格朗日方程、非完整系统的阿佩尔方程等。

例如，哈密顿原理、高斯最小约束原理。

例如，平衡点附近的稳定性、周期性轨道是否存在等。

研究求解运动微分方程的方法

或同接近求解这一目标有关的一切理论，例如：

（1）研究变数变换理论，如正则变换，以利用变换把微分方程化为低阶，或变成形式较简单的方程；

（2）探求运动微分方程的一次积分式和有关理论，以利用它把微分方程降阶；

（3）研究运动微分方程可变数分离的条件；

（4）研究力学系统在(q)、(q，t)、(q，p)、(q，p，t)等多维空间中代表点运动轨迹的几何性质；

（5）寻找正则变换的不变式，例如，积分不变式、泊松括号等。

分析力学解题法和牛顿力学的经典解题法不同，牛顿法把物体系拆开成分离体，按反作用定律附以约束反力，然后列出运动方程。对于质点系的每一质点，依据牛顿第二定律列出沿三个坐标轴的运动方程，这样得到n个质点系共 3n个二阶微分方程，然后再求解。分析力学方法是考虑整个力学系统的能量函数，对于保守系统用动能T和势能V构成标量函数，例如，拉格朗日函数L＝T-V，哈密顿函数H＝T+V等，然后利用它导出运动方程。这样的方程不再包括不做功的约束力。对于具有n个质点和h个约束方程的质点系，运动微分方程的总阶数为2(3n-h)，比牛顿法的总阶数6n要小，容易求解。

分析力学中也可用变分原理（如哈密顿原理）导出运动微分方程。它的优点是可以推广到新领域（如电动力学）和应用变分学中的近似法来解题。从20世纪60年代开始，为了设计复杂的航天器和机器人的需要，发展了研究多刚体系统，并且跳出了传统使用动力学函数求导的方法来建立动力学方程，所建立的方程能方便地应用电子计算机进行计算。

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