数及其运算是中小学数学课程的核心内容.在小学里同学们已经学会了自然数、正分数及其运算.本章是在小学内容的基础上，借助对具有相反意义的量的讨论，引入负数、有理数、无理数、数轴、相反数、绝对值等一系列概念.本章的知识和思想方法是后续学习的重要基础，为使同学们真正理解和掌握有理数的基础知识，培养运算能力，增强数感和符号意识，有必要对有理数这一章的核心概念作进一步解读.

1.对正数和负数的认识

生活中经常遇到零上与零下、向左与向右、前进与后退、上升与下降、收入与支出等许多具有相反意义的量，为了在数学上正确表示这些相反意义的量，我们引入正数和负数.

引入负数是实际的需要，也是数学内部知识发展的需要.同学们可以从学习过程中体会根据实际和数学发展需要引入新数的好处.

用正数和负数表示现实生活中具有相反意义的量，体现了数学运用的广泛性，更重要的是引入负数可以使小学讨论的问题大大简化，例如我们把“少5个”理解成“多-5个”，就可以将小学讨论盈亏问题时“盈盈”“盈亏”“亏亏”3种情况统一成一种情况.

2.对正数和负数概念的理解

正数：像+1.6、+20、+130、+80%等带“+”号的数叫做正数，正数加上“+”号表示强调，也可以省略不写.

负数：像-12、-326、-60、-0.8、-68%等带有“-”号的数叫做负数.而负数的“-”号不能省略.

零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点.

对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“-”号的数是负数.例如-a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数.当a是正数时，-a是负数；当a是0时，-a是0；当a是负数时，-a是正数.正数与负数能表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言的.

1.对有理数概念的理解

我们把能够写成分数形式■（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数，整数、有限小数和循环小数都能化为分数的形式，它们是有理数.整数包括三类：正整数、零和负整数.分数包括两类：正分数和负分数.

引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大为整数.整数也可以分为奇数和偶数两类：能被2整除的数是偶数，如…-6，-4，-2，0，2，4，6…；不能被2整除的数是奇数，如…-5，-3，-1，1，3，5….

有理数可以按两个标准进行分类：（1）按整数和分数的关系分类；（2）按正数、负数和零的关系分类.

2.对无理数概念的理解

无限不循环小数叫做无理数，无理数不能写成分数■的形式.

（1）无理数应满足的条件：①是小数；②是无限小数；③是不循环小数.

（2）本章无理数的表现类型：①π型，如0.6π、3π等；②小数型，如0.101 001 000 1…，2.383 883 888 388 88…；③描述型，如面积为2的正方形的边长a等.

3.有理数与无理数的主要区别

有理数包括有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数.所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数的形式.

数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.

数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为-1，-2，-3，….如图1所示.

概念的理解：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小都是根据实际需要而定的.

数轴是数形结合思想的产物.用数轴上的点可以直观地表示有理数，为我们理解相反数和绝对值提供了直观工具，同时为学习有理数的运算法则作了准备.我们借助图形能直观地确认有理数和无理数都可以在数轴上表示，数轴上的点都表示一个有理数或一个无理数，从而使我们了解数轴上的点与有理数和无理数是一一对应关系，并为有理数的相反数和绝对值的学习做了铺垫.

1.对绝对值的认识和理解

绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，记作a.

绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

绝对值的概念是借助距离的概念加以描述的.在数轴上，一个点由方向和距离（长度）确定；相应地，一个数是由符号和绝对值确定.这里“方向”和“符号”对应，“距离”和“绝对值”对应，又一次体现了数形的结合、转化.所以，绝对值的概念既可以促进对数轴概念的理解，也可以进行数的大小比较，同时也是数的运算的基础.

注意：（1）绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号；（2）绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质——非负性.也就是说，任何一个有理数或一个无理数的绝对值都是非负数，即a≥0.

2.对相反数的认识和理解

相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数.规定零的相反数是零.

从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧（零除外，零和它的相反数都在原点），且与原点的距离相等.如图1，4与-4互为相反数.

相反数是成对出现的，不能单独存在，如+3与-3互为相反数，说明+3的相反数是-3，-3的相反数是+3，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+2与-3这样的两个数不是互为相反数.

引入相反数，一方面可以加深对相反意义的量的认识，另一方面可以为学习绝对值和有理数的运算做准备.

若数a≥0，则称a为非负数.

非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.例如：若m、n满足m-3+（n+2）2=0，则m-3=0，n+2=0，即m=3，n=

与其相对应的还有非正数，若数a≤0，则称a为非正数.

乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.

倒数的求法：求一个数的倒数，直接可以把这个数作为分母、作为分子，写成分数；求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒；求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数.

只有零没有倒数，其他任何数都有倒数.正数的倒数为正数，负数的倒数为负数，求一个数的倒数不改变它的符号.

利用数轴比较大小：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，故有：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数.例如：图1中表示2的点在表示-3的点的右边，则2>-3；也可由2是正数，-3是负数判断出2>-3.

任意数大小的比较法则：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.例如：比较两个负数-3.6和-2.8的大小的步骤是：首先分别求出两个负数的绝对值-3.6=3.6，-2.8=2.8；再比较两个绝对值的大小3.6>2.8；最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确判断：-3.6

以上是“有理数”这一单元中的一些重要的核心概念，它们是奠定整个中学数学的核心基础.希望同学们要认真学习、正确理解、灵活运用，为自己今后的发展奠定厚实的基础.

学习数学需要归纳和总结，这样才能巩固和深化知识.下面请陈老师帮我们归纳“有理数”这部分知识.

“有理数”这一章主要内容是有理数的有关概念及其运算.全章从实例出发引入负数和有理数的有关概念，在此基础上学习本章的重点——有理数的运算，是进一步学习式、方程等数与代数知识的基础.

一、透彻理解本章的主要概念、法则

在正数前面加上“-”号表示的数叫负数；或定义成比0小的数叫负数.

注意：不能笼统地说带有负号的数叫负数.例如，当a为0时，-a表示0；当a本身是负数时，-a表示正数.

规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴.利用数轴可直观地理解相反数、绝对值，以及有理数的加法法则与乘法法则.这是数学上常用的数形结合思想.

注意：任意一个有理数可以用数轴上的一个点表示，但数轴上的点却未必都表示有理数.

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

注意：①有理数由性质符号和绝对值两部分构成.性质符号和绝对值确定后，这个有理数也就完全确定.因此，我们在后面进行有理数的加、减、乘、除和乘方运算时，都是分为两步：先确定符号，再确定绝对值.

②由于距离最小为0，所以绝对值不可能为负数.

③正数的绝对值是它本身.但反过来，绝对值等于它本身的数却未必是正数，还可能是0；同样，如果一个数的绝对值是它的相反数，这个数可能是负数，也可能是0.

只有符号不同的两个数叫互为相反数.一般地，a的相反数记为-a.特别地，0的相反数是0.引入相反数，使得加减这一对逆运算的统一成为可能.

注意：①“只有符号不同”意味着绝对值相同；②若a与b互为相反数，则a+b=0；反过来也对.

乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数.

注意：互为倒数的两个数符号相同；写一个整数n的倒数时，直接写成1/n；写一个分数的倒数时，直接把它的分子分母调换位置；小数需要先化成分数再写它的倒数.

理解算理：在探究有理数法则时，要善于利用实际意义理解运算的结果，还要善于利用数轴来理解相关运算的结果.

理解法则：分两类，一是直接运算法则，二是转化为逆运算的法则.

有理数加法、乘法、除法运算都可以直接计算，分两步进行，在确定符号的基础上，进行绝对值运算.相关法则也分两部分，一是符号法则，二是绝对值运算法则.

有理数加法与减法互化要利用相反数，有理数乘法与除法互化要利用倒数.

（一）如何比较两个有理数的大小

符号不同的数直接确定大小：正数大于0，0大于负数，正数大于负数.符号相同的数用绝对值比较：两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的反而小.用数轴来比较：在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.用求差法来比较：若差为正数，则被减数比减数大；若差为0，则被减数等于减数；若差为负数，则被减数小于减数.

（二）如何运用运算律简化有理数运算

1．有理数加减混合运算的顺序

把加减法统一成加法→把加法算式写成省略括号和加号的代数和的形式→运用交换律和结合律简化运算.

在最后一步中注意把正数、负数分别相加；把同分母的分数相加；把互为相反数的两个数相加；把相加得整数的数相加；把各数减去一个相同的基数再相加……可以有效简化运算.

2．有理数乘法运算的顺序

先确定积的符号，再把绝对值相乘：几个不等于0的有理数相乘时，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.

在实际运算时，利用交换律和结合律，把互为倒数的两个数相乘；把可以约分的分数先约分，再相乘；把乘积为整数的几个因数相乘.以上方法都可以简化乘法运算.

3．有理数除法运算法则的选用

当被除数与除数能整除时，先确定符号，再把绝对值相除；当被除数与除数不能整除时，先把除法转化为乘法，然后利用有理数的乘法法则来计算.

4．有理数的乘方运算的顺序

把乘方运算转化为乘法运算是常见思路，但未必是最简单的思路.如果利用“正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数”先确定幂的符号，再求幂的绝对值，会使运算简单且不易出错.

三、善于发现和归纳规律，解决新问题

依次计算不难发现，当n依次取1，2，3，4，5，6，…时，对应的a_n=（-1）n+1的值依次为0，2，0，2，0，2，…，可以发现0与2交替出现，故a₁+a₂+a₃+…+a₂8的值不用一一计算，就可以直接得出结果为28.解决这类问题，需要先算出前面部分的数，然后仔细寻找数与数之间规律，寻找规律是解决这类题的关键.