求函数极限 详细过程求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-10-06 11:10 标签： 导数定义求极限的例题

摘要：是高数的重中之重，每年必考！高数整个课程都是建立在极限的基础上的，所以高数的重要性不言而喻。小编总结了常见的求极限的方法，望考生们多加注意。

【注】极限存在的充要条件为左、右极限存在且相等

【极限常见类型及其求解方法】

对等价无穷小不熟悉的考生可看，

对洛必达法则不熟悉的考生可看，

对泰勒公式不熟悉的考生可看，

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常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。

上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进：

1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。

2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“ 心中不安”。

将上述两个想法作进一步地数学化：

对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态 ―― 如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。

设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的  次多项式

若问题一的解存在，其误差的表达式是什么?

问题一的求解就是确定多项式的系数。

上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

于是， 所求的多项式为：

若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成

这里是与之间的某个值。

先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

只要对函数  及 在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。

以与为端点的区间或记为

函数  在上有直至阶的非零导数，

此式称为函数按的幂次展开到 阶的泰勒公式；

或者称之为函数在点  处的  阶泰勒展开式。

这正是拉格朗日中值定理的形式。 因此，我们也称泰勒公式中的余项。

 为拉格朗日余项。

此式可用作误差界的估计。

表明： 误差是当 时较  高阶无穷小， 这一余项表达式称之为皮亚诺余项。

泰勒公式有较简单的形式 ―― 麦克劳林公式

【例1】求的麦克劳林公式。

我们有函数 的一些近似表达式。

在matlab中再分别作出这些图象，观察到它们确实在逐渐逼近指数函数。

【例2】求  的 阶麦克劳林公式。

它们的值依次取四个数值。

同样，我们也可给出曲线  的近似曲线如下，并用matlab作出它们的图象。

【例3】求的麦克劳林展开式的前四项，并给出皮亚诺余项。

利用泰勒展开式求函数的极限，可以说是求极限方法中的“终极武器”， 使用这一方法可求许多其它方法难以处理的极限。

【例4】利用泰勒展开式再求极限。

现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处

【例5】利用三阶泰勒公式求的近似值，

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