图1  单个电池单体的冷却系统（左端为流量入口，右端为压力出口）

在电动汽车/混合动力汽车（EV/HEV）中，高功率电池的热管理至关重要，工程师需要能设计出最佳电池冷却系统的工具，现在，采用Foster网络建立电池组热模型的方法备受推崇。

在EV/HEV中的研发过程中，工程师们已经提出了多种电池组数学模型——从复杂的电化学模型到系统级的电路模型。电化学模型是研究和优化单个电池性能的利器，但系统级工程师往往需要更多地采用电路模型。当涉及到温度对电池性能的影响时，电路模型可以分为两类：一类是用于低功率场合的电池组模型；另一类是在高功率场合采用热网络模型来预测温度，并将温度与电路模型耦合以分析温度对电池性能的影响。

本文提出了一种采用Foster网络建立电池组热模型的方法。在Foster网络模型中，也使用一定数量的热容和热阻，但它们与热网络模型中的热容和热阻的意义不同——它们用来表示电池热系统的传递函数。对于Foster网络，其阻容连接是固定的，与电池单体的物理排列无关。此外，这些单元的数值是通过匹配电池系统采用的Foster网络的阶跃响应而得到的，要么利用CFD计算，要么通过测试获得。

Foster网络法是一种实施起来更加直接、更加系统化的方法，它可以提供与CFD相同的计算结果。此外，如果电池系统的阶跃响应是从测试而非从同样假设下的CFD得到，则Foster网络会给出与测试相同的结果。不仅从Foster网络得到的结果非常准确，而且仿真时间可以与传统的热网络模型相媲美，不像CFD模型那样需要数小时。Foster网络热模型易于代替简单热网络模型，与电池电路模型耦合，无需花费大量计算时间便能提供更准确的结果。

Foster网络法已经在电子器件的冷却系统研发中应用了很长一段时间了，在电池的冷却系统研发中，我们还是首次尝试，不过在通用汽车公司的EV/HEV电池研究的应用中，Foster网络法同样表现优异。

电池热系统的线性时不变（LTI）形式

在Foster网络法中，热问题被当作一个系统—— 一个能够处理一组输入信号并产生另一组输出信号的实体。本文中，信号是时间的函数。任何电路，包括Foster网络，都可以看作是一个系统。不同节点的电流作为输入信号，电压作为输出信号。对于当前的热问题，输入是各个电池单体所消耗的功率，输出是用户指定点的温度。

LTI形式的系统具有非常好的特性。首先，该系统的特征可以通过脉冲响应完全表征，对于单输入和单输出的LTI系统，初始静止条件下的输出等于输入与脉冲响应的卷积。第二，如果两个LTI系统具有相同的脉冲或阶跃响应，则在相同输入激励下，这两个具有相同初始静止状态的系统输出相同，这样的特性允许我们采用Foster网络这个LTI系统来表达热系统，这样一来，热系统在一定条件下也变成了一个LTI系统，因此，无需求解描述电池热特性的偏微分方程，Foster网络就可以无任何精度损失地描述电池系统的热特性。Foster网络的性质取决于常微分方程组，可以通过任何电路仿真器方便快捷地求解。

在介绍这种方法时，简单起见，我们首先用一个电池单体介绍其应用，然后分别以6个电池单体组成的电池模块和通用汽车公司的16个单体组成的电池模块为例，说明这种方法在更复杂的系统中的应用。

电池单体的Foster网络模型

单个电池的冷却系统是一个单输入单输出的系统，图1是该系统在ANSYS/FLUENT中的CFD仿真结果。该冷却系统通过对流换热带走电池单体产生的热量，是一个标准的CFD共轭热传递系统。

对于这样的系统，电池单体随时间变化的散热功率作为输入，随时间变化的平均温度作为输出，系统在流速恒定、密度恒定、比热恒定、输运特性恒定以及线性边界条件下就成了一个LTI系统，是温度和热流边界条件线性、辐射边界条件非线性的一个例子。恒定密度与恒定属性对水冷却电池系统是优选的假设。对于空气冷却电池系统，在一定的温度变化范围内仍是一个很好的假设。基于与温度范围同样的原因，辐射可以忽略不计。此外，本文假定泵速恒定，不讨论不同泵速的情况。

这个LTI电池热系统的特征可通过脉冲响应完全表征——脉冲响应就是电池单体在零时刻施加热源后温度升高的过程，可通过CFD计算得到。图2给出了一个典型的脉冲响应。

式中：y表示输出，这里指温度；x表示输入，这里指散热功率；h表示脉冲响应。

卷积常用的简化表达式为：

上述方程的拉普拉斯变换将卷积计算转换为乘法计算，脉冲响应的拉普拉斯变换即是传递函数。

图3显示了一个任意输入下由FLUENT CFD计算得到的温升过程和脉冲响应卷积结果的比较，表明CFD计算与卷积得出了相同的结果，从而验证了脉冲响应完全表征了系统特征。使用卷积的好处是节省时间，电池单体采用CFD计算需要几分钟甚至几个小时，具体取决于网格的大小，而采用卷积的话，仅需不到1 min。不过，若采用Foster网络法，不但可以保持高精度的优点，而且比卷积运行得更快，还具有易于和电池的电路模型耦合的优点。

图10  3个电池单体的CFD计算结果和Foster网络计算结果的对比

上文曾提及，如果两个LTI系统具有相同的阶跃响应，两个LTI系统是等效的。Foster网络作为一个电网络，也一个LTI系统，因此，如果Foster网络的阶跃响应通过曲线拟合与电池热系统温升过程相同，则Foster网络等效于电池热系统。该拟合曲线可以通过改变其阻容值，使用非线性最小二乘法实现。图4是一个典型的Foster网络，其中电池的热系统拓扑结构固定，无论Foster网络所表示的实际热系统如何，只是阶数、阻容对数以及阻容值不同。

一旦曲线拟合完成，Foster网络等效于原电池热系统，就可以被用来无精度损失地预测电池在暂态输入下的暂态性能。将图4的Foster网络中A点的电流作为散热功率输入，A点的电压作为温度输出，图5显示了在正弦输入下的Foster网络结果与FLUENT CFD计算结果的比较，结果相同，证明Foster网络可以用来表示原电池热系统。

此时值得提及的是曲线拟合过程。虽然曲线拟合自加热的阶跃响应相当简单，但曲线拟合交叉加热阶跃响应需注意一些特殊问题，因为自加热与交叉加热的阶跃响应的曲线形状不同。图6和7分别为典型的电池热系统的自加热和交叉加热的阶跃响应。由图可知，自加热曲线在起始部分具有正斜率，而交叉加热曲线在起始点处通常斜率接近于零。

Foster网络的阶跃响应可表示为：

式中：m是阶数或阻容对的个数；Ri和τi需要对热系统的瞬态阶跃响应进行曲线拟合来确定。

由Foster网络得到的典型的阶跃响应无法给出交叉加热曲线所需的接近于零的斜率，因而我们无法从热系统中匹配交叉加热的阶跃响应。如果电阻R允许为负值，曲线就可以拟合得很好，但这在电路仿真中存在问题，不过这个问题可以通过采用正的R值减去阻容电路的那部分电压来解决。这样，尽管Foster网络本身没有负的R值，但是具有一部分负电压。

上述讨论也揭示了使用Foster网络表示LTI系统的局限性。虽然Foster网络可以对当前的热系统进行良好的曲线拟合，可采用比较简单的阶跃响应曲线，但却不能作为表示具有复杂的阶跃响应曲线的LTI系统的通用方法，这种情况下，卷积更加通用、有效。

电池模块的Foster网络

对于具有多个单体的电池模块，系统是线性的，通过叠加原理可以预测其热性能。一个电池单体的输出（温度）为所有电池单体输入（散热功率）作用的总和。

式中：yi表示输出，即第i个电池单体的体平均温度；xi表示输入，即第i个电池单体的耗散功率；*在这里表示卷积，见式（2）；矩阵中的hij表示在第j个输入引起的脉冲响应的第i个输出。

与电池单体系统类似，脉冲响应矩阵可以完全表征系统的特性。为了确定脉冲响应矩阵的hij值，需要一次打开一个电池单体。例如，打开电池单体j，如果其输入是单位脉冲，则从电池单体i的温升过程得到hij。

尽管热测试中使用电池单体作为热源，温度测量也使用相同的电池单体，但这并不是必须的，其他热源和温度测量点也可以采用。例如，可以增加母线发热作为另一个热源，并可以在某些点上测量电池的外壳温度。从这个意义上说，脉冲响应公式（4）的矩阵并不一定是方阵。

另外，我们注意到，如果人们只对稳态性能的温度感兴趣，即公式（4）中所有的x和y是常数，并且所有的hij 's只是脉冲响应曲线下所包围的面积，从而也是常数，然后卷积转换为相乘。这种简化条件下可以非常直观地得到hij的物理意义。h矩阵的第j列表示第j个单功率输入下的所有电池单体的温度模式。另一方面，第i行表示第i个电池不同的热源的贡献。值得一提的是，通过测量温度输出可以准确计算出耗散功率输入，然后使用功率的最小二乘近似解。如果hij的列是独立的，并且输出比输入的数量更多，这个计算也是可能实现的。输出比输入的数量更多这一要求，可以降低测量噪声对计算的影响。

如上所述，同卷积相比，Foster网络的运行速度更快。对于多输入/输出系统，每个阶跃响应需要进行曲线拟合以生成一个Foster网络，因此，对于图8的6个电池单体系统，Foster网络矩阵包含了36个元素，其中每个元素是一个Foster网络。不过在实践中，这个数目可以减少，因为一些交叉加热可以忽略不计。图9为该系统的Foster网络，虽然矩阵的大小在图中很难说明细节，但此图的要点是强调这是一个6×6的矩阵。此外，矩阵中的每个单元都是一个典型的Foster网络，但只有两对阻容。图10显示了在任意一组输入下的3个任意的电池单体，采用FLUENT CFD计算结果和采用Foster网络的计算结果相同，但完整的FLUENT CFD计算需要约半小时，而Foster网络的求解过程不到半分钟（同在Windows XP系统的笔记本电脑上运行）。

最后一个例子是通用汽车公司的16单体电池模块。在给定的耗散功率包络线下，在FLUENT中采用完整的CFD计算，在ANSYS SIMPLORER8.1中采用Foster网络进行仿真。图11是这个电池模块的CFD计算结果。图12所示为3个任意的电池单体的CFD结果和Foster网络结果的单体温升过程的对比。可以看出，Foster网络的结果可以与完整的CFD计算结果精确吻合。CFD模型需要采用超过200万的体单元，并且单个CPU的计算时间需要约2 h，而Foster网络不到1 min就能完成（同在Windows XP系统的笔记本电脑上运行）。

结果已经非常明显了，但需要重申的是，电池热系统到底需要做多少次CFD计算，答案取决于加热该电池系统使用了多少独立的热源。在图8所示的6个电池单体的情况下，假定每个电池单体独立加热（有独立电流通过），就需要6次CFD计算。这是一个非常普通的方法，通常不是必须的，因为每个模块内的电池单体通常是串联的，整个模块可以看做只有一个独立热源，只需一次CFD计算产生所有的阶跃响应。因此，对于通用汽车公司的16个电池单体组成的电池模块的例子，只要一次CFD计算就可以表征电池热系统。

注意，热源通常是时间和空间的函数，然而，当电池单体的毕渥数相对较小时，本文中所有的测试所使用的空间均匀分布的热源就可近似于实际的空间非均匀分布的热源。这样一个近似无需使用Foster网络法。如果期望是空间非均匀分布热源，则在生成阶跃响应曲线时需要确保使用这种热源。

Foster网络的一个非线性示例

Foster网络与CFD模型的结果相同，CFD模型代表的系统需是LTI形式，但真正的电池热系统却不是LTI形式，因为电池热系统的控制方程是强非线性的Navier-Stokes方程。将Foster网络的结果与完全非线性的FLUENT CFD的结果进行比较非常有意义。为了测试的需要，我们使用同一个6个电池单体的电池模块，做一个同时满足线性和时间不变性要求的CFD仿真，以生成Foster网络模型所需的阶跃响应曲线，然后基于这些曲线创建Foster网络模型，之后将计算结果与一个采用相同的流速但性质随密度和温度变化的理想气体的新CFD计算结果进行对比。图13所示为正弦耗散功率输入下的一个单体的比较，与图10或12相比，图13的结果已不再完美，因为非线性效应使得Foster网络模型与新的CFD模型已不再等效，单体性质具有密度和温度相关性了。不错，从图13可知，当电池单体温度增加约90 K时，由非线性所带来的最大误差约为2％。考虑到大多数电池的温升不超过90 K， 2％的最大误差完全可以接受，因此，Foster网络法的误差很小。

如果由非线性问题引起的Foster网络法计算结果可以接受，则采用Foster网络法可节省更多的时间。如图8和11所示的CFD模型，若采用Foster网络的方法可以加快大约一到两个数量级。因为采用完整的CFD模型解决非线性问题需要求解一套完整的Navier-Stokes方程而不只是能量方程。一个非线性CFD问题求解的方程数是7个，而不是1个，精度相同时，这种非线性模型所需的时间步长减少，并且每个时间步长所需的迭代次数是由非线性度决定的，因此，Foster网络模型预计比相应的完全非线性CFD模型的速度快三到四个数量级。一个简单的测试实例表明，完整CFD模型在单CPU上运行需要约8 h，而Foster网络模型只需要约10 s，提速因子约为30000。

EV/HEV电池组的冷却系统特性可以采用Foster网络矩阵进行描述。分析和比较的结果表明，Foster网络的方法可得到与CFD相同的计算结果，并且可以在不到半分钟内获得结果。不过实际研究中，还需要CFD或测试为电池系统产生阶跃响应，以对Foster网络模型进行校准。

Foster网络也被证实能够取代传统的热网络模型，与电池的电路模型进行耦合。Foster网络法在不降低性能的同时，比传统的热网络法更准确。初步研究还表明，由性质非定常引起的非线性情况下，当电池单体温度增加约90 K时，产生的最大误差约为2％，完全可以接受，且随着温升的减小，Foster网络法的误差预计会更小。