摘要：在单元整体视角下设计每个课时的教学，都应以学生已有的知识经验为基础，瞻前顾后、纵横联系，将该课时的新知识嵌入已有的知识体系，同时为后续的相关知识埋下伏笔，从而形成良好的认知结构。“数列”单元的教学要重点突出逻辑推理（重点是类比推理）和数学运算两大核心素养的培养，而“瞻前顾后”地设计“等比数列的前n项和”的教学，可以集中体现出“数列”单元是培育这两大核心素养的重要载体。

关键词：中观教学设计 单元视角 瞻前顾后 等比数列的前n项和

在中观教学设计的各个操作环节中，用整体思维理解单元教学内容是关系到教学设计优劣的关键。在分析单元教学内容时，教师需要钻研教材，针对具体的数学内容，明晰该知识是什么，该知识是用什么数学思想与方法得到的，该知识的上位知识、下位知识和并列知识分别是什么。在单元整体视角下设计每个课时的教学，都应以学生已有的知识经验为基础，瞻前顾后、纵横联系，将该课時的新知识嵌入已有的知识体系，同时为后续的相关知识埋下伏笔，从而形成良好的认知结构。特别地，要整体把握教学内容，注重核心素养发展的连续性，并突出课时在单元中的地位和价值，关注核心素养发展的阶段性。本文以沪教版高中数学教材“等比数列的前n项和”内容为例，阐述单元视角下“瞻前顾后”的课时设计。

一、“数列”单元的整体分析

“数列”单元的研究思路与函数单元类似，即“数列的定义-表示（通项公式、递推公式）-性质-特殊的数列（等差数列、等比数列）-联系与应用”。对于数列这种离散函数，沪教版教材还研究了数列求和与数列极限。

“运算”是数列单元的一条逻辑主线，是研究数列的基本手段。通过减（除）法运算发现差（比）相等，于是有“等差（比）数列”。它们的通项公式、基本性质、前n项和公式等规律性、不变性，都是在运算中出现的。而数列极限研究的重点是，利用三个常用数列极限和极限的运算法则，计算各种数列的极限。

在思想方法层面，等差（比）数列的通项公式及前n项和公式中含有5个量a1、d（q）、n、an、Sn，由其中的3个量可以求其余的2个量，自然地渗透了方程的思想方法。将通项公式及前n项和公式看成关于n的函数，可应用函数的观点和研究函数的方法解决有关数列单调性和最值的问题，渗透了函数的思想方法。在运用等比数列的前n项和公式时，要注意按公比q=1和q≠1分类讨论;在已知Sn求an时，应先分n=1和n≥2两种情况计算，再验证能否统一。这些都是分类讨论思想的体现。将各种数列转化为两个基本数列（等差数列、等比数列）进行研究时，自然地加强了化归思想方法的运用。

二、“等比数列的前n项和”课时的“瞻前顾后”分析

（一）“瞻前”1：为什么要研究数列求和？

数列概念的理解并不困难，为什么要研究数列通项的性质和数列的部分和（前n项和），才是数列中的真正问题。数列与级数是两个共生的概念，从数学的角度看，级数才是数学家关注的重点，也是对数学产生重要影响的概念。由于级数的收敛性取决于通项的性质，所以研究数列通项的性质是自然的;而研究级数的收敛性，往往就是判断数列前n项和的极限是否存在。

（二）“顾后”1：如何理解教材中无穷等比数列各项的和？

无穷等比数列各项的和，已经不同于初等数学中有限项的和，而是前n项和的极限值。用高等数学的观点看，幂级数是数学分析中的重要概念，而无穷等比数列各项的和作为一种特殊的幂级数，其研究方法和结论对幂级数的研究有重要的参考价值。

（三）“瞻前”2：为什么不能类比等差数列前n项和公式的推导方法来研究等比数列求和？

从形式上看，等差数列前n项和公式的推导方法（倒序相加法）不能简单地类比到等比数列中来。但是从目标来说，等差数列、等比数列求和都是通过消去相同的项，使得和式中的项数减少：等差数列求和的倒序相加法Sn+Sn，实际上是通过“配对”将不同数的和转化为相同数的和，从而减少项数;等比数列求和的错位相减法（教材选择的方法。等比数列求和还有迭代递推、利用合分比定理、裂项相消等方法，它们都合乎消项的逻辑，但是不太利于类比等差数列求和的思路）Sn-qSn，则是通过“错位”消去两式中的公共项，从而减少项数。因此，两类数列求和看似形式不同，但本质上都是通过运算技巧达到消项的目标。

（四）“顾后”2：如何理解等比数列求和的思想方法对后续学习的价值？

从思想内涵看，数列求和的本质就是消项。数列是离散的函数，而连续函数的定积分，根据牛顿—莱布尼茨公式，可以求出原函数后作差。故从运算技巧上看，数列求和的根本方法是裂项相消（差分求和）。等差（比）数列的求和都可以利用适当的裂项技巧来实现相消。多年来的高考数学压轴题中较难的数列不等式a1+a2+…+an

综上，“数列”单元的教学要重点突出逻辑推理（重点是类比推理）和数学运算两大核心素养的培养，而“瞻前顾后”地设计“等比数列的前n项和”的教学，可以集中体现出“数列”单元是培育这两大核心素养的重要载体。

三、“等比数列的前n项和”课时的具体设计

“等比数列的前n项和”是“等差数列的前n项和”“等比数列及其通项公式”内容的延续，也是“无穷等比数列各项的和”等内容的必要准备。公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、方程等思想方法，在之前的学习中都有一些铺垫，也都将有助于数列的后续研究。本节课的教学重点是等比数列前n项和公式的推导和运用。

学生已经学习了等差数列的前n项和公式，对数列求和已有了一定的认识。在等比数列及其通项公式的学习中，学生已经体会到等比数列与等差数列的相似性，会自然地进行知识的迁移，类比等差数列来思考等比数列的问题。然而，等比数列前n项和公式的推导方法和推导等差数列的前n项和公式所采用的“倒序相加法”有很大的区别，学生难以通过运算形式上的类比获得。本节课的教学难点是等比数列前n项和公式的推导方法。

基于對教学内容和学生学情的分析，拟订本节课的教学目标：掌握等比数列的前n项和公式;学会推导等比数列的前n项和公式;理解错位相减法的内涵，体会转化与化归的思想;在类比等差数列研究等比数列求和的过程中，提升逻辑推理素养和推理论证能力。

1.创设情境，提出问题。

问题1：国际象棋起源于印度，棋盘上共有8行8列，64个格子。相传古印度国王为奖赏国际象棋的发明者，问他有什么要求。发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，以此类推，每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放完64个格子为止。”这位发明者要了多少颗麦粒？

（预设学生回答：求以1为首项、2为公比的

等比数列的前64项的和。）师

今天我们一起来研究等比数列的前n项和。

[设计意图：创设问题情境，提出求特殊等比数列前64项和的问题。]

课后作业：校本作业“等比数列的前n项和（1）”（内容分两部分，分别是基本的公式运用和转化为等比（差）数列后的公式运用。具体题目省略）。

[设计意图：思考题引导学生深化对等比数列前n项和公式结构的认识，课后作业帮助学生全面巩固本节课的基本知识和技能。]

类比函数研究数列，类比等差数列研究等比数列，类比实数的运算研究数列极限的运算等，蕴含着丰富的类比推理的思维方式。求数列的通项、前n项和都涉及算法的选择问题，而代数运算的方法和思路取决于运算对象的性质，如不同的数列结构决定了不同的求和方法，这些都蕴含着数学运算的核心素养。

等比数列前n项和公式的推导过程，是本节课教学的重中之重。根据课堂生成，引导学生合乎逻辑地思考问题、推导公式是本节课设计的基调。学生简单地形式类比等差数列求和的倒序相加法，会得到错误的思路。教师引导学生分析：等差数列求和的实质是消去中间项，手段是两式相加的运算，条件是等差数列的性质;类比考虑等比数列中应采取何种运算，利用什么性质，最终实现消去中间项的目标。因此，在这一环节，特别要妥善处理预设与生成的关系。有些学生会因为预习过有关内容，所以直接用错位相减法来处理，教师可以追问“你是怎么想到的？”，引导学生类比等差数列求和来思考等比数列求和，根据已有的知识和方法来思考新的问题。

高中数学理科是10本书，文科是9本书，数学公式非常多，如果基础知识不扎实，平时做题查阅公式就要浪费很多时间。下面给大家带来一些关于高中数学公式知识点，希望对大家有所帮助。

高中理科数学公式知识点总结

2、椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差.

3、椭圆面积公式：s=πab

4、椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率t,但这两个公式都是通过椭圆周率t推导演变而来。

1、等差数列的通项公式为：

在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项.

且任意两项am,an的关系为：

它可以看作等差数列广义的通项公式.

3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：

和=(首项+末项)-项数÷2

项数=(末项-首项)÷公差+1

首项=2和÷项数-末项

末项=2和÷项数-首项

项数=(末项-首项)/公差+1

另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.

②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.

在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.

1、抛物线：y=ax-+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。

a>0时，抛物线开口向上;a<0时抛物线开口向下;c=0时抛物线经过原点;b=0时抛物线对称轴为y轴。

2、顶点式y=a(x+h)-+k就是y等于a乘以(x+h)的平方+k，-h是顶点坐标的x，k是顶点坐标的y，一般用于求最大值与最小值。

3、抛物线标准方程:y^2=2px它表示抛物线的焦点在x的正半轴上,焦点坐标为(p/2,0)。

有用，不过想学好数学靠背公式能学好那是不可能的!关键在于你是否会学，比如多做题，做什么样的题呢?那还用说，高考题，买上2套高考例题，把同类型的题总结出来，然后反复看!至于怎么总结，我觉得只要你不是傻子都会，总结在乎于让自己懂得这些东西，怎么去使用，而不是完任务!那没用!

高中数学常用公式记忆口诀

内容子交并补集，还有幂指对函数。性质奇偶与增减，观察图象最明显。

复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。底数非1的正数，1两边增减变故。

函数定义域好求。分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数;

正切函数角不直，余切函数角不平;其余函数实数集，多种情况求交集。

两个互为反函数，单调性质都相同;图象互为轴对称，y=x是对称轴;

求解非常有规律，反解换元定义域;反函数的定义域，原来函数的值域。

幂函数性质易记，指数化既约分数;函数性质看指数，奇母奇子奇函数，

奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数;图象第一象限内，函数增减看正负。

三角函数是函数，象限符号坐标注。函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。正六边形顶点处，从上到下弦切割;

中心记上数字1，连结顶点三角形;向下三角平方和，倒数关系是对角，

顶点任意一函数，等于后面两根除。诱导公式就是好，负化正后大化小，

变成税角好查表，化简证明少不了。二的一半整数倍，奇数化余偶不变，

将其后者视锐角，符号原来函数判。两角和的余弦值，化为单角好求值，

余弦积减正弦积，换角变形众公式。和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。公式顺用和逆用，变形运用加巧用;

1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范;

三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围;

利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集;

解不等式的途径，利用函数的性质。对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的，实数性质威力大。求差与0比大小，作商和1争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。非负常用基本式，正面难则反证法。

还有重要不等式，以及数学归纳法。图形函数来帮助，画图建模构造法。

等差等比两数列，通项公式n项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。

数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，

取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：

一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：

首先验证再假定，从k向着k加1，推论过程须详尽，归纳原理来肯定。

虚数单位i一出，数集扩大到复数。一个复数一对数，横纵坐标实虚部。

对应复平面上点，原点与它连成箭。箭杆与x轴正向，所成便是辐角度。

箭杆的长即是模，常将数形来结合。代数几何三角式，相互转化试一试。

代数运算的实质，有i多项式运算。i的正整数次慕，四个数值周期现。

一些重要的结论，熟记巧用得结果。虚实互化本领大，复数相等来转化。

利用方程思想解，注意整体代换术。几何运算图上看，加法平行四边形，

减法三角法则判;乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。

三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。

辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，

两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。

六、《排列、组合、二项式定理》

加法乘法两原理，贯穿始终的法则。与序无关是组合，要求有序是排列。

两个公式两性质，两种思想和方法。归纳出排列组合，应用问题须转化。

排列组合在一起，先选后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考虑。

不重不漏多思考，捆绑插空是技巧。排列组合恒等式，定义证明建模试。

关于二项式定理，中国杨辉三角形。两条性质两公式，函数赋值变换式。

点线面三位一体，柱锥为代表。距离都从点出发，角度皆为线线成。

垂直平行是重点，证明须弄清概念。线线线面和面面、三对之间循环现。

方程思想整体求，化归意识动割补。计算之前须证明，画好移出的图形。

立体几何辅助线，常用垂线和平面。射影概念很重要，对于解题最关键。

异面直线二面角，体积射影公式活。公理性质三垂线，解决问题一大片。

有向线段直线圆，椭圆双曲抛物线，参数方程极坐标，数形结合称典范。

笛卡尔的观点对，点和有序实数对，两者—一来对应，开创几何新途径。

两种思想相辉映，化归思想打前阵;都说待定系数法，实为方程组思想。

三种类型集大成，画出曲线求方程，给了方程作曲线，曲线位置关系判。

四件工具是法宝，坐标思想参数好;平面几何不能丢，旋转变换复数求。

解析几何是几何，得意忘形学不活。图形直观数入微，数学本是数形学。

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