arcsinx是正弦函数sin的反函数吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-09-30 06:33 标签： sin和arcsin

第1节 反三角函数·概述

把反正弦函数ｙ=ａrc sinx,反余弦函数ｙ=arc c ｏs ｘ，反正切函数y=ａrc t ａn ｘ,反余切函数ｙ=arc ｃｏtx 统称为反三角函数。

它们都就是三角函数得反函数。严格地说,准确地说,它们就是三角函数在某个单调区间上得反函数。

以反正弦函数为例,其她反三角函数同理可推。

先从反正弦函数得原函数正弦函数说起。

正弦函数y=si ｎｘ在定义域R 上没有反函数。因为它在定义域R 上不单调，就是分段单调。从逆向映射来瞧,正弦函数y=s ｉnx 得每一个函数值y ，对应着无数个自变量ｘ得值。当我们从y ＝sinx 中解出x 后,x 与y 不能构成函数关系,所以不存在反函数。

但就是,当我们取正弦函数y=s ｉnx 得一个单调区间,如[-π/2,π／2］。这时,每一个函数值y,对应着唯一得一个自变量x 得值。当我们从y=sinx 中解出 x 后,x 与y 构成函数关系,所以存在反函数。记为y=arc sinx 。把原函数ｙ=sin ｘ,x ∈［-π／2,π/2]得值域[-1,1],叫做反函数y=a ｒc sinx 得定义域。并把原函数y ＝ｓi ｎx ，x ∈[-π/２,π/2]得定义域［-π/2,π/2］，叫做反函数ｙ=ａｒc ｓinx 得值域。

●请参考我得三角函数salon

第2节 反三角函数·理解与转化

以反正弦函数为例,其她反三角函数同理可推。

初学反三角函数者往往被它那长长得字符串所迷惑，很不习惯。

一方面,ａｒc ｓinx 这七个字母就是一个整体,缺一不可。

另一方面,符号ａr ｃ sinx 可以用下面得三句话来理解:

①它就是一个角。即一个实数。ａｒｃ sinx ∈R 、

③这个角得正弦值等于ｘ。sin(arc ｓin ｘ）=x 、

反三角函数问题往往要转化为三角函数问题,因为后者拥有数十个公式资源，使您解决问题时如虎添翼。

有互化公式(充要条件)如图。

●请参考我得三角函数 第3节 反正弦函数得图象与性质

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1、学习必备欢迎下载第 4 节 反三角函数（ 2 课时）第1课时 教材分析 ：反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。另外， 函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点， 同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。 课题引入 ：在辅助角公式中，我们知道a sin x bcosxa 2b2 sin x ，其中 cosa, sinb，这a 2b2a 2b2样表述相当烦琐， 我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角呢？这就是我们今天要引入的问题反三角函数。教学过程 ：师：首先我们回顾一下，什么样的函数才有

2、反函数？答：一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真）。师：我们知道正弦函数ysin x 在定义域 R 上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没有反函数。但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：ysin x, x,，这个函数是单调函数，因而有反函数。22师：现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换x, y

3、1与函数 ysin x, x2, 互为反函数，因此两2个函数图象关于直线yx 对称。2 反正弦函数的性质（由函数图象可得）定义域为1，1 ，值域为,2；2 yarcsin x 在定义域1，1上单调递增； yarcsin x 是奇函数，即对任意x1,1 ，有 arcsinxarcsin x3 反正弦函数的恒等式由“一一对应”的性质知：对任意值x1,1 ，在,上都有唯一对应的角22学习必备欢迎下载arcsin x ，使得它的正弦值为 x ，即得恒等式 sin arcsin x x, x1,1 ；由“一一对应” 的性质知： 对任意角 x,，在1，1 上都有唯一对应的值sin x ，22使得它的反正弦

3）类似。2说明：对于特殊值的反正弦函数值的处理，利用恒等式1 理解是一种本人以为较为机械的方法；但不知是否适合于初学者，有待讨论。可能直接让他们感受概念会来得更为简单些吧，实际上教材 P98 的思路有点类似于本文的处理方式。 例 2 ：用反

  • y=arcsinx反正弦函数，图像详细见下图：

    正弦函数y=sin x在[-π/2，π/2]上的反函数，叫做反正弦函数。记作arcsinx，表示一个正弦值为x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]区间内。定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]。

    （1） arcsinx是 （主值区）上的一个角（弧度数） 。

    （2） 这个角（弧度数）的正弦值等于x，即sin（arcsinx）=x.

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