三角函数中的积化和差公式怎么证明？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-09-28 02:36 标签： 三角函数万能公式

发布于：好学教育 编辑：好学教育 阅读量： 0 次

　　 1三角函数的和差化积公式

　　 2三角函数积化和差公式

　　 3三角函数积化和差推导过程

　　 用(a+b)/2、(a-b)/2分别代替上面四式中的a,b 就可得到和差化积的四个式子。 如：(1)式可变为：

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从加法公式，我们得出以下的三角函数公式

很显然，这第三个公式和第四公式个是相同的(使用可以看到它 )。

上述公式是重要的，每当需要上升到乘积的正弦和余弦变成一个和。这是一个非常有用的整合。

例子.表达乘积作为三角函数的一个和

注意,上述公式可用于将一个求和转换成一个乘积公式

例子.表达  作为一个积。

答：许多方法可以用来解决这个问题。让我们用上面的公式。我们有

因为 , 方程 给予 和方程 给出了 .因此，方程的解是

使用上述公式，我们得到


三角函数公式及证明 基本定义 1.任意角的三角函数值： 在此单位圆中，弧AB的长度等于； B点的横坐标，纵坐标 ； （由 三角形OBC面积<弧形OAB的面积<三角形OMA的面积 可得： （）） 2.正切： 基本定理 1.勾股定理： 1.正弦定理：=== 2R （R为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a=b+c-2bc 3.诱导公试: 奇变偶不变，符号看相线 =2R === =pr = (海伦公式，证明见下文) (其中, r为三角形内切圆半径) 定理结论的证明 勾股定理的证明： 本证明选自《几何原本》(欧几里得)第 = 1 \* ROMAN I卷 命题47. 正弦定理的证明： 做三角形外接圆进行证明；需利用结论同弧所对的圆周角相等，及直径所对圆周角为直角； 同弧所对圆周角相等的证明： 本证明选自《几何原本》(欧几里得)第 = 3 \* ROMAN III卷 命题20. 直径所对圆周角为直角的证明： 本证明选自《几何原本》(欧几里得)第 = 3 \* ROMAN III卷 命题31. 余弦定理的证明： 本证明选自《几何原本》(欧几里得)第 = 3 \* ROMAN II卷 命题12,13. 诱导公式的证明： 同理可证 本证明选自人教版高中数学教材. 5.正余弦和差公式的证明: 可得的结论 本证明选自人教版高中数学教材. 海伦公式的证明: 三角函数基础 诱导公式（）。 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。 （一） （二） （三） （四） （五） （六） （七） （八） （九） 只需抓住以下三个特点，即可由左边写出右边： 诱导公式右边都是角的三角函数； 判断函数名是否改变。判断依据：括号内与相加减的角，若为的偶数倍，则函数名不变；若为的奇数倍，则正变余，余变正（只能弦、切、割内部变换。如，只能正弦变余弦，余弦变正弦，不能由弦变切或割）； 判断正、负号。判断依据：将看作锐角时，左边的函数值该取什么符号（正号或负号），就在右边的函数名前加上同样的符号。 正弦定理和余弦定理都是描述边角关系的非常重要的定理。 如图所示：任意中，,,所对的边分别为，则 正弦定理：（为外接圆半径） 余弦定理： 推论： 正弦定理与余弦定理是等价的，具体参见文献：《对正弦定理、余弦定理一节的两点建议》 求任意面积的两种方法： 1． 由右图容易看出此结论。 2．利用海伦公式。 海伦公式：设任意三边长分别为，半周长 ，则有 辅助角公式 ，其中，的象限由的符号确定。 弧度制 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。1弧度记作：. 当圆心角为圆周时，所对的弧长，故 即 一个圆周的角度——角度制； 一个圆周的角度——弧度制。 使用弧度制的好处是，用弧度制表示的角度与实数一一对应。 角的弧度数的绝对值： 2. 弧长： 扇形面积： 3. 任意角的三角函数及其符号规律 任意角的三角函数：设是一个任意大小的角，角的终边上非原点的任意一点的坐标是，与原点的距离是，则可定义角的三角函数： 正弦： 余弦： 正切： 余切： 正割： 余割： 2. 三角函数符号规律。口诀：“函弦切余” 说明：（1）符号规律见右图，第一象限角的各三角函数值均取正， 第二象限只有正弦函数（及其倒数余割）取正，第三象限只有正、 余切函数取正，第四象限只有余弦函数（及其倒数正割）取正。归 纳起来，由第一象限至第四象限，取正的函数分别为“函弦切余”。 （2）由三角函数的定义及个象限内点的坐标的符号即可确定各三角函数在各象限的符号。 三角函数重要公式 和差的三角函数 积化和差公式 证明： ① ② ①+②，得 ①-②得： 另两式证明方法相同。 倍角、半角的三角函数 将上面两式左右两边分别相除，得： （证明：） 和差化积公式 证明：

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