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1、级数定义正弦函数（蓝色）十分接近于它的 5 次泰勒级数（粉红色）。只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。使用泰勒级数，可以继续证明下列恒等式对于所有实数 x 都成立：这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。其他级数可见于：1这里的 是 n 次上下数， 是 

2、n 次伯努利数，（下面的）是 n 次欧拉数。在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释：它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列（alternating permutation）。在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。编辑与指数函数和复数的联系可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分：

3、这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，通过上述恒等式，如果考虑在复平面中 eix 所定义的单位圆，同上面一样，我们可以根据余弦和正弦来把这个圆参数化，复指数和三角函数之间联系就变得更加明显了。进一步的，这样就可以定义对复自变量 z 的三角函数：这里的 i2 = 1。还有对于纯实数 x，我们还知道，这种指数过程与周期行为有密切的联系。恒等式主条目：三角恒等式三角函数之间存在很多恒等式，其中最著名的是毕达哥拉斯恒等式，它说明对于任何角，正弦的平方加上余弦

4、的平方总是 1。这可从斜边为 1 的直角三角形应用勾股定理得出。用符号形式表示，毕达哥拉斯恒等式为：更常见的写法是在正弦和余弦符号之后加“2”次幂：在通常情况下括号可以省略。另一个关键的联系是和差公式，它根据两个角度自身的正弦和余弦而给出它们的和与差的正弦和余弦。它们可以用几何的方法使用托勒密的论证方法推导出来；还可以用代数方法使用欧拉公式得出。当两个角相同的时候，和公式简化为更简单的等式，称为二倍角公式（或倍角公式）。这些等式还可以用来推导积化和差恒等式，以前曾用它把两个数的积变换成两个数的和而像对数那样使运算更加快速。（利用制好的三角函数表）编辑微积分三角函数的积分和导数可参见导数表、积分

5、表和三角函数积分表。下面是六个基本三角函数的导数和积分的列表。编辑利用函数方程定义三角函数在数学分析中，可以利用基于和差公式这样的性质的函数方程来定义三角函数。例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个实函数满足这些条件。即存在唯一的一对实函数 sin 和 cos 使得对于所有实数 x 和 y，下列方程成立：并满足附加条件.从其他函数方程开始的推导也是可能的，这种推导可以扩展到复数。作为例子，这个推导可以用来定义伽罗瓦域中的三角学。反三角函数主条目：反三角函数由于三角函数属于周期函数，而不是单射函数，所以严格

6、来说并没有反函数。因此要定义其反函数必须先限制三角函数的定义域，使得三角函数成为双射函数。基本的反三角函数定义为：反三角函数定义值域对于反三角函数，符号 sin1 和 cos1 经常用于 arcsin 和 arccos。使用这种符号的时候，反函数可能跟三角函数的倒数混淆。使用“arc-”前缀的符号避免了这种混淆，尽管“arcsec”可能偶尔跟“arcsecond”混淆。正如正弦和余弦那样，反三角函数也可以根据无穷级数来定义。例如，这些函数也可以通过证明它们是其他函数的原函数来定义。例如反正弦函数，可以写为如下积分：可以在反三角函数条目中找到类似的公式。使用复对数，可以把这些

7、函数推广到复数辐角上：编辑性质和应用三角函数，正如其名称那样，在三角学中是十分重要的，主要是因为下列两个结果。编辑正弦定理正弦定理声称对于边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有：也可表示为：其中R是三角形的外接圆半径。利萨茹曲线，一种三角基的函数形成的图像。它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数

8、用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是三角测量中常见情况。编辑余弦定理余弦定理（也叫做余弦公式）是托勒密定理的推广：也可表示为：这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。如果这个角不是两条边的夹角，那么三角形可能不是唯一的（边-边-角）。要小心余弦定理的这种歧义情况。编辑正切定理还有一个正切定理:编辑周期函数谐波数目递增的方波的加法合成的动画。三角函数在物理中也是重要的。例如，正弦和余弦函数被用来描述简谐运动，它描述了很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦和余弦函

9、数是圆周运动的一维投影。三角函数在一般周期函数的研究中也很有用。这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候是很有用的。每一个信号都可以记为不同频率的正弦和余弦函数的（通常是无限的）和；这是傅立叶分析的基础想法，这里的三角级数可以用来解微分方程的各种边值问题。例如，方波可以写为傅立叶级数在右边的动画中，可以看到只用少数的项就已经形成了非常准确的估计。反三角函数补角:负数参数:倒数参数: 如果  如果  如果  如果 如果有一段正弦表: 如果 注意只要在使用了复数的平方根的时

arccot x对于  的实数值的简单导数如下:反三角函数的导数设 ，得到:因为要使根号内部恒为正，所以在条件加上设 ，得到:因为要使根号内部恒为正，所以在条件加上设 ，得到:设 ，得到:设 ，得到:因为要使根号内部恒为正，所以在条件加上，比较容易被忽略是产生的绝对值 的定义域是，其所产生的反函数皆为正，所以需要加上绝对值设 ，得到:因为要使根号内部恒为正，所以在条件加上，比较容易被

12、忽略是产生的绝对值 的定义域是，其所产生的反函数皆为负，所以需要加上绝对值表达为定积分积分其导数并固定在一点上的值给出反三角函数作为定积分的表达式:当 x 等于 1 时，在有极限的域上的积分是瑕积分，但仍是良好定义的。无穷级数如同正弦和余弦函数，反三角函数可以使用无穷级数计算如下:欧拉发现了反正切的更有效的级数:(注意对 n= 0 在和中的项是空积 1。)反三角函数的不定积分使用分部积分法和上面的简单导数很容易得出它们。基本关系毕达哥拉斯三角恒等式如下：由上面的平方关系加上三角函数的基本定义，可以导出下面的表格，即每个三角函数都可以用其他五个表

13、达。（严谨地说，所有根号前都应根据实际情况添加正负号）函数sincostancotseccsc角的和差恒等式它们也叫做“和差定理”或“和差公式”。最快的证明方式是欧拉公式。正弦余弦正切余切正割余割注意正负号的对应。倍角公式和半角公式这些公式可以使用和差恒等式或多倍角公式来证明。弦切割半角公式正余二倍角公式正余三倍角公式正余四倍角公式正余积化和差与和差化积恒等式数学家韦达在其三角学著作应用于三角形的数学定律给出积化和差与和差化积恒等式。积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。积化和差和差化积线性组合对于某些用途，知道同样周期但不同相位移动的正弦波的任何线性组合是有相同周期但不同相

14、位移动的正弦波是重要的。在正弦和余弦波的线性组合的情况下，我们有这里的更一般的说，对于任何相位移动，我们有这里而积分只有sin的函数其中其中（其中  是 余矢(Coversine)函数(参阅正矢(versine)函数)）其中其中其中其中积分只有cos的函数积分只有tan的函数积分只有sec的函数积分只有csc的函数积分只有cot的函数积分只有sin和cos的函数also: also: also: also: also: 积分只有sin和tan的函数积分只有cos和tan的函数积分只有sin和cot的函数积分只有cos和cot的函数积分只有tan和cot的函数含有a2  x2的积分在积分中，我们可以用以下的代换：这样，积分变为：注意以上的步骤需要a > 0和cos() > 0；我们可以选择a为a2的算术平方根，然后用反正弦函数把限制为/2 < < /2。对于定积分的计算，我们必须知道积分限是怎样变化。例如，当x从0增加到a/2时，sin()从0增加到1/2，所以从0增加到/6。因此，我们有：含有a2 + x2的积分在积分中，

三角函数公式(数学专业版) 三角函数公式(数学专业版) 三角函数公式(数学专业版) 精品文档 级数定义 正弦函数（蓝色）十分凑近于它的5次泰勒级数（粉红色）。 只使用几何和极限的性质，能够证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦（在微积分中，所有角度都以弧度来胸怀）。使用泰勒级数，能够持续证明下列恒等式关于所有实数x都建立： 这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严格办理和应用的起点（比方，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的可微性和连续性便能够独自从级数定义来确立。 其他级数可见于：[1] 这里的 是n次上／下数， . 精品文档 是n次伯努利数， （下面的）是n次欧拉数。 在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释：它们列举了奇数势的有限会合的交错排列 alternatingpermutation）。 在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释：它们列举偶数势的有限会合的交错排列。 从复解析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。 [编写]与指数函数和复数的联系 能够从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分： 这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。在这种方式下，三角函数在复解析的几何解释中变成了本质性的。比方，通 . 精品文档 过上述恒等式，如果考虑在复平面中eix所定义的单位圆，同上面同样，我们能够根据余弦和正弦来把这个圆参数化，复 指数和三角函数之间联系就变得更为显然了。 进一步的，这样就能够定义对复自变量z的三角函数： 这里的i2=-1。还有关于纯实数x， 我们还知道，这种指数过程与周期行为有密 切的联系。 恒等式 主条目：三角恒等式 三角函数之间存在好多恒等式，其中最著名的是毕达哥拉斯恒等式，它说明关于任何角，正弦的平方加上余弦的平方老是1。这可从斜边为1的直角三角形应用勾股定理得出。用符号形式表示，毕达哥拉斯恒等式为： 更常有的写法是在正弦和余弦符号之后加“2次”幂： 在平时情况下括号能够省略。 另一个重点的联系是和差公式，它根据两个角度自己的正弦和余弦而给 出它们的和与差的正弦和余弦。它们能够用几何的方法使用托勒密的论证方法推导出来；还能够用代数方法使用欧拉公式得出。 . 精品文档 当两个角相同的时候，和公式简化为更简单的等式，称为二倍角公式（或倍角公式）。 这些等式还能够用来推导积化和差恒等式，从前曾用它把两个数的积变换成两个数的和而像对数那样使运算更为迅速。（利用制好的三角函数表） [编写]微积分 三角函数的积分和导数可参见导数表、积分表和三角函数积分表。下面是六个基本三角函数的导数和积分的列表。 [编写]利用函数方程定义三角函数 在数学解析中，能够利用鉴于和差公式这样的性质的函数方程来定义三角函数。比方，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，能够 证明只有两个实函数知足这些条件。即存在唯一的一对实函数sin和cos使得关于所有实数x和y，下列方程建立： . 精品文档 并知足附加条件 . 从其他函数方程开始的推导也是可能的，这种推导能够扩展到复数。作为例子，这个推导能够用来定义伽罗瓦域中的三角学。 反三角函数 主条目：反三角函数 由于三角函数属于周期函数，而不是单射函数，所以严格来说并没有反函数。因此要定义其反函数必须先限制三角函数的定义域，使得三角函数成为双射函数。基本的反三角函数定义为： 反三角函数定义值域 . 精品文档 关于反三角函数，符号sin-1和cos-1经常用于arcsin和arccos。使用这种符号的时候，反函数可能跟三角函数的倒数混杂。使用“arc-”前缀的符号防备了这种混杂，只管“arcsec可”能偶尔跟“arcsecond”混杂。 正如正弦和余弦那样，反三角函数也能够根据无穷级数来定义。比方， 这些函数也能够经过证明它们是其他函数的原函数来定义。比方反正弦函数，能够写为如下积分： 能够在反三角函数条目中找到近似的公式。使用复对数，能够把这些函数推广到复数辐角上： [编写]性质和应用 三角函数，正如其名称那样，在三角学中是十分重要的，主假如因为下列两个结果。 [编写]正弦定理 正弦定理声称关于边长为a,b和c而相应角为A,B和C的三角形，有： 也可表示为： 其中R是三角形的外接圆半径。 . 精品文档 利萨茹曲线，一种三角基的函数形成的图像。 它能够经过把三角形分为两个直角三角形并使用上述正弦的定义来证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a是经过A,B和C三点的圆的直径的倒数。正弦 定理用于在一

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专升本高等数学知识点汇总

一、常见函数的定义域总结如下：

（1）一般形式的定义域：x∈R

（2） 分式形式的定义域：x≠0

（3） 根式的形式定义域：x≥0

（4） 对数形式的定义域：x＞0

当时，恒有，在所在的区间上是增加的。

当时，恒有，在所在的区间上是减少的。

定义：设函数的定义区间关于坐标原点对称（即若，则有）

(1) 偶函数――，恒有。

(2) 奇函数――，恒有。

1、常数函数：，定义域是，图形是一条平行于轴的直线。

2、幂函数：， (是常数)。它的定义域随着的不同而不同。图形过原点。

定义: ， (是常数且，).图形过（0,1）点。

定义: ， (是常数且，)。图形过（1,0）点。

(1) 反正弦函数: ，，。

(2) 反余弦函数: ，，。

(3) 反正切函数: ，，。

(4) 反余切函数: ，，。

代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。

（1）利用极限的四则运算法则求极限。

（2）利用等价无穷小量代换求极限。

（3）利用两个重要极限求极限。

（4）利用罗比达法则就极限。

二、函数极限的四则运算法则

（a)， (为常数)。

（4）设为多项式， 则

（5）设均为多项式， 且， 则

常用的等价无穷小量代换有：当时，，，，，，，。

对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当时，，其余类似。

它可以用下面更直观的结构式表示：

“”型和“”型不定式，存在有（或）。

设函数在点的某一邻域内有定义，当自变量在处取得增量（点仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量。如果当时，函数的增量与自变量的增量之比的极限

== 注意两个符号和在题目中可能换成其他的符号表示。

1、基本初等函数的导数公式

2、导数的四则运算公式

3、复合函数求导公式：设, ，且及都可导，则复合函数的导数为。

的点――函数的驻点。设为

（1）若时，；时，，则为的极大值点。

（2）若时，；时，，则为的极小值点。

（3）如果在的两侧的符号相同，那么不是极值点。

（1）当在的左、右两侧异号时，点为曲线的拐点，此时.

（2）当在的左、右两侧同号时，点不为曲线的拐点。

5、函数的最大值与最小值

极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。

1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。

2、基本积分公式（要求熟练记忆）

对不定微分，将被积表达式凑成

常用的凑微分的公式有：

1、（牛顿―莱布尼茨公式） 如果是连续函数在区间上的任意一个原函数，则有。

2、计算平面图形的面积

如果某平面图形是由两条连续曲线及两条直线和所围成的（其中是下面的曲线，是上面的曲线），则其面积可由下式求出：

设某立体是由连续曲线和直线及轴所围平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积可由下式求出：

偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。

3、复合函数的偏导数――利用函数结构图

如果、在点处存在连续的偏导数 ，， ，，且在对应于的点处，函数存在连续的偏导数，，则复合函数在点处存在对及的连续偏导数，且

对于方程所确定的隐函数，可以由下列公式求出对的导数：

对于由方程所确定的隐函数，可用下列公式求偏导数：

设函数在点的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且

（1）当时，函数在点处取得极值，且当

时有极大值，当时有极小值。

（2）当时，函数在点处无极值。

（3）当时，函数在点处是否有极值不能确定，要用其它方法另作讨论。

（1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点，以为法向量的平面方程为

称之为平面的点法式方程

（2）平面的一般式方程

称之为平面的一般式方程

表示平行于轴的平面方程

表示平行于坐标平面的平面方程

平面和互相垂直的充分必要条件是：

平面和平行的充分必要条件是：

平面和重合的充分必要条件是：

（1）直线的标准式方程 过点且平行于向量的直线方程

称之为直线的标准式方程（又称点向式方程、对称式方程）。

常某某为所给直线的方向向量

（2）直线的一般式方程

称之为直线的一般式方程

直线，平行的充分必要条件为；

直线，互相垂直的充分必要条件为

6、直线与平面间的关系

直线与平面垂直的充分必要条件为：

直线与平面平行的充分必要条件为：

直线落在平面上的充分必要条件为

将初等函数展开成幂级数

1、定理: 设在内具有任意阶导数,且

称上式为在点的泰勒级数。或称上式为将展开为的幂级数。

2、几个常用的标准展开式

（1）可分离变量的微分方程

若一阶微分方程通过变形后可写成 或 则称方程为可分离变量的微分方程.

2、、可分离变量微分方程的解

方程必存在隐式通解。其中：,.

（2）一阶线性微分方程

1、定义：方程 称为一阶线性微分方程.

(1) 非齐次方程――；

2、求解一阶线性微分方程

（1）先求齐次方程的通解：, 其中为任意常数。

（2）将齐次通解的换成。即

（3）代入非齐次方程, 得

2、二阶线性常系数微分方程

（1）可降阶的二阶微分方程

例3： 求方程的通解.分析：；

(1) 令，方程化为 ；

(2) 解此方程得通解 ；

(3) 再解方程 得原方程的通解

(3) 解此方程得通解 ；

(4) 再解方程 得原方程的通解

分析：(1) 令, 并视为的函数, 那么,

（2）常系数线性微分方程

（1）、二阶常系数齐次线性方程的解。

下面记,为特征方程的两个根.

（1）时, 则齐次方程通解为：

（2）时, 则齐次方程通解为

（3）时,有,则齐次方程通解为

（2）二阶常系数非齐次方程解法

方程的形式： 解法步骤：

(1) 写出方程的特征方程 ；

(2) 求出特征方程的两个根；

(3) 原方程的通解如下表所示:

(4) 再求出非齐次方程的一个特解 ；

(5)那么原方程的通解为 。

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