高数 为什么这里分段点处可以直接用求导公式而不用定义式？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-09-12 02:51 标签： 分段函数在分段点处的极限

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6、正弦割，三切，四余弦割即第一象限全是正的，第二象限正弦、正割是正的，第三象限正切是正的，第四象限余弦、余割是正的）二、一元二次函数、方程和不等式2b 4ac0一元二次函数y ax2 bxc(a0)i|u/x/x2一兀一次方程ax2 bx c0有二互异实根xib 寸 b2 4ac22a元次不等式（a 0）ax2bx c0(Xi x2ax2bx cv

        考。多元函数的微积分1.多元函数的概念，二元函数的极限、连续的概念及其基本性质.2.多元函数的一阶、二阶偏导数.3.多元函数的全微分.4.多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式.5.二重积分的概念与性质.6.直角坐标系下与极坐标系下二重积分的计算。

　　普通高校专升本统考科目《高等数学》主要考查考生的数学知识水平和应用能力.按本说明的要求，考生应掌握微积分、线性代数和概率论的基本概念、基本理论和基本方法.考生应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法进行推理、证明和计算;能运用所学知识分析并解决简单的实际问题.

　　(一)函数、极限与连续

　　1.函数的概念、性质及其应用.

　　2.反函数、分段函数、复合函数与隐函数.

　　3.基本初等函数的性质与图形，初等函数的概念.

　　4.数列极限、函数极限的概念及性质，极限的四则运算法则.

　　5.无穷小量与无穷大量的概念，无穷小量的性质，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量的比较与等价替换.

　　7.函数连续性的概念，函数的间断点及其类型.

　　8.初等函数的连续性及其应用.

　　9.闭区间上连续函数的性质.

　　1.导数的概念及其几何意义，左导数与右导数的定义，函数的可导性与连续性的关系.

　　2.曲线上一点处的切线方程与法线方程.

　　3.导数的基本公式，函数的四则运算的求导法则，复合函数的求导法则，分段函数和隐函数的导数.

　　4.高阶导数的概念，简单函数的高阶导数.

　　5.微分的概念，可微与可导的关系，基本初等函数的微分公式，函数的四则运算的微分法则，复合函数的微分法则.

　　1.罗尔(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理及其应用.

　　2.洛必达(L’Hospital)法则及其在未定式极限计算中的应用.

　　3.函数的单调性的判定.

　　4.函数的极值和最值及其求法.

　　5.曲线的凹凸性与拐点的概念及判定.

　　1.不定积分的概念与性质，原函数存在定理.

　　2.不定积分的基本公式.

　　3.第一类换元法与第二类换元法.

　　5.简单有理函数的积分.

　　1.定积分的概念与性质.

　　2.变上限积分函数及其导数，微积分基本定理.

　　3.定积分的换元积分法与分部积分法.

　　4.无穷区间上的广义积分.

　　5.定积分的应用：平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转

　　一周所得旋转体的体积的计算.

　　(六)多元函数的微积分

　　1.多元函数的概念，二元函数的极限、连续的概念及其基本性质.

　　2.多元函数的一阶、二阶偏导数.

　　3.多元函数的全微分.

　　4.多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式.

　　5.二重积分的概念与性质.8

　　6.直角坐标系下与极坐标系下二重积分的计算.

　　1.行列式的概念与性质.

　　2.行列式按行(列)展开定理.

　　1.矩阵的概念，几种特殊的矩阵.

　　2.矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，方阵的幂与方阵的行列式.

　　3.矩阵可逆的概念和性质，矩阵可逆的判定，逆矩阵的求解，伴随矩阵的概念.

　　4.矩阵的秩的概念及其计算.

　　5.简单矩阵方程的求解.

　　6.矩阵初等变换与初等矩阵的概念和性质，矩阵的等价.

　　1.n 维向量、向量组的线性组合与线性表示的概念，向量组线性相关性的概念和性质，向量组线性相关性的判定.

　　2.向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系.

　　3.齐次线性方程组有非零解的判定，非齐次线性方程组有解的判定.

　　4.线性方程组的解法以及解的结构.

　　(十)随机事件及其概率

　　1.样本空间与随机事件的概念.

　　2.不可能事件与必然事件，事件之间的关系和运算.

　　3.概率的统计定义和基本性质，概率的加法公式.

　　4.古典概型的定义与事件的概率.

　　5.条件概率的定义，概率的乘法公式、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式.

　　6.事件的独立性.

　　(十一)随机变量及其数字特征

　　1.随机变量以及随机变量分布函数的概念和性质，简单随机变量的分布函数.

　　2.离散型随机变量及其概率分布.

　　3.连续型随机变量及其概率分布.

　　4.一维随机变量的数字特征(数学期望、方差)的定义、性质及其求法.

　　Ⅲ.考试形式与试卷结构

　　考试形式：闭卷、笔试.

　　考试分数：满分 150 分.

　　考试时间：120 分钟.

　　试卷内容比例：微积分约占 60%，线性代数约占 20%，概率论约占 20%.

　　试卷题型及分值分布：选择题共 12 题，每小题 4 分，共 48 分;填空题共 6 题，每小题 4 分，共 24 分;计算题、证明题、应用题共 7 题，共 78 分.

1、函数运算的求导法则

可导函数的和、差、积、商仍然是可导函数，并且有

其中a,b为常数.和极限计算的四则运算法则一样，注意可导的前提条件！

反函数的导数等于直接函数的导数的倒数！

【注】注意以上求导公式：反函数不要改变变量符号，直接函数与反函数关于各自的变量求导数.即函数y=f(x)关于x求导数；其反函数为x=f-1(y)关于y求导数，然后借助于y=f(x)将导数关于y的表达式结果转换为x的函数表达式，得到函数y=f-1(x)的导数表达式.

3、复合函数的求导法则

复合函数求导的链式法则：复合函数的导数，等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量(最终变量)的导数.

“自顶而下”或“自左到右”分解复合的过程(绘制变量关系图)：

“沿线相乘”写导数表达式：

4、基本初等函数的求导公式及应用

依据以上三个求导的运算法则，基于几个基本初等函数的导数(它们的导函数直接利用导数的定义可以计算得到)

可以求得基本初等函数的求导公式(见教材或课件).基本初等函数的求导公式是计算导数的基础。一般不需要记忆，可以直接推导得到，或者熟能生巧.

【注1】初等函数在定义区间内都可导，并且其导函数仍为初等函数.

【注2】在应用求导运算法则求导数之前，先对导数进行必要的化简或改写！

【注3】对于由函数四则运算构成的函数求导，一般先四则运算，再对需要的求导项应用复合函数求导法则求导.

对于复杂的连乘、除函数和具有幂指结构的函数(包括具有指数函数，或者幂函数结构的复合函数)的函数的导数计算，一般借助于以自然常数为底的指数函数的复合结构和对数函数的运算法则，基于复合函数求导的链式法则求导.用到的函数改写公式如

(1)求导变量不是函数包含的变量，如果函数变量与求导变量无关则导数为，否则导数等于函数关于自己变量的导数乘以自己变量的导数关于求导变量的导数. 即

该公式两种情况都适用，因为t与x无关，则导数dt/dx为0.

(2)注意函数求导符号的区别：仔细体会以下描述，注意公式、结论中出现的表达式的标准结构！

(3)注意抽象函数的导数的复合结构与原来函数的复合结构一样，如

的复合结构和导数分别为

从中也可以看到，二阶导数求导只要将一阶导数结果中的

即可. 从而也可以得到函数

的二阶导数，由求导运算的加法法则，并代入上面计算得到的结果，得

(1)高阶导数就是对导函数继续求导，因此，求高阶导数必须先要计算出前一阶导函数表达式！对于导函数的可导性的讨论与导数的计算，和函数可导性及导数的计算思路与步骤完全一致！

【注1】分段函数一点处高阶可导性的讨论参见课件最后一个练习！详细参考解答参见对应的例题与练习详细参考解答推文！

(2)对于高阶导数的计算一般考虑间接法计算，对于不能通过改写表达式将函数转换为已知了高阶导数求导通项公式函数的和差结构的，采用直接计算法，基于数学归纳法得到通项公式，或者直接计算得到需要的高阶导数.

(3)对于符合特定结构的函数，通过改写函数表达式，可以考虑使用莱布尼兹高阶导数计算公式.对于具体点的高阶导数的计算也可以采用后一章的泰勒公式法.莱布尼兹求导公式可以对照二项展开公式对照记忆，只要将二项展开公式中的函数相加改成函数相乘，将次数改成求导阶数即可，其中阶导数等于函数本身，即

【注2】容易推导得到，最好能够记住的几个常见的高阶导数通项公式！

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