解三角形的题！

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-07-25 03:34 标签： 解三角形题型归纳总结

【摘要】 三角形有三条边三个角共六个元素，知道其中三个可以求另外三个. 本文对正弦定理和余弦定理的适用范围进行了重新审视，以所知三个元素的边的个数正确选择使用正、余弦定理灵活解三角形，进一步理清解三角形的解题思路.

【关键词】 三角形；正弦定理；余弦定理；思路

三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫作三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形.解三角形常常借助于正弦定理和余弦定理.高考常见的题型，主要是已知三角形的某些元素，求三角形的其他边或角（或角的三角函数值），甚至一些更灵活的应用如求三角形面积或判断三角形形状等.看似简单，但如果对三角形的相关知识没有一个系统的认识，没有掌握其解题思路，要把题解出来，也要费一番周折.

1. 三角形蕴含的信息

一个三角形，三条边三个角，三个内角和为180°（内角和定理），三角形分直角三角形、锐角三角形和钝角三角形（后两者统称为斜三角形），这是非常明显的信息.三角形还蕴含一些潜在的信息，如大边对大角、小边对小角、任意两边之和大于第三边、角的正弦值为正数等，如果解题时没有考虑这些信息，就可能导致解题出错.

2. 巧用定理解三角形

2.1 重新审视正弦定理和余弦定理的适用范围

解三角形需要运用正弦定理和余弦定理灵活解题.如果已知三角形或能判定三角形是直角三角形，用勾股定理解三角形是非常方便的，而勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.所以，实际上，我们把正弦定理和余弦定理结合起来应用，就能很好地解决三角形的问题.

人教版《数学》等现行的大多数教科书对正弦定理的适用范围是这样写的：“已知任意两角和一边，已知两边和其中一边的对角”，对余弦定理的适用范围是这样写的：“已知两边及夹角，已知三条边”.笔者觉得这样的区分既唆又不能全面、统一概括正弦定理和余弦定理的适用范围.

要使同学们掌握区分选用正弦定理或余弦定理来解题，笔者以已知边的个数来区分选用正弦定理或余弦定理来解三角形：

① 已知一条边，用正弦定理解三角形；

② 已知两条边求角，用正弦定理解三角形，求得的角可能有一解、两解或无解；

已知两条边求边，用余弦定理解三角形；

③ 已知三条边（或三边关系式），用余弦定理解三角形.

以已知边区分选择使用定理解三角形，而不考虑角，既方便同学们理解，又易于同学们记忆，比现行教学书的概括要全面而简单实用.据此，许多高考题都可以很快就判断出用正弦定理还是余弦定理解题.

（2005上海春）a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，若∠A = 105°，∠B = 45°，b = 2，则c = .（已知一条边，用正弦定理解题）

（2009广东文）已知ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a = c = + 且∠A = 75°，则b = （ ）.（已知两条边求边，用余弦定理解题，利用cos A = ，解得b = 4）

2.2 正弦定理多解的原因

要注意的是，已知两条边求角，用正弦定理解三角形，求得的角可能有一解、两解或无解，其原因是什么呢？

作∠A = 60°，在∠A的一边上截取AC，使AC = b = 2，过C作∠A的另一边的垂线CD，垂足为D，则CD是点C到边AB的最短距离.

所以，当a = CD或a ≥ AC时，三角形一解；

解有关判断三角形形状的问题，具体思路是化归统一的思想，“统一成纯边或纯角”的问题，即把所给的关系式转换成只含角或只含边的式子后，再进行分析判断，通过角判断时，可以通过sin（A - B） = 0或cos（A - B） = 1，判断三角形为等腰三角形；通过sin（A + B） = 1或cos（A + B） = 0，判断三角形为直角三角形；通过cos C > 0或cos C a2 +

A. 直角三角形 B. 锐角三角形

C. 钝角三角形 D. 不确定

对于一些更复杂的三角形综合题，可能是正弦定理、余弦定理和三角函数等的综合运用，只要掌握了解三角形的解题思路，解题就会游刃有余.

中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书《数学5》[M].广东：人民教育出版社，2006.

如果遇到一个很困难的问题，将它们分解为一系列的步骤，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”。

(1) ①化简变形；②用余弦定理转化为边的关系；③变形证明。

(2) ①用余弦定理表示角；②用基本不等式求范围；③确定角的取值范围。

①定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。

②定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。

④再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。

轻易放弃试题，难题不会做，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。

解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题失分，避免“对而不全”如解概率题，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论

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