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1、高等数学函数的极值及其求法4函数的极值及其求法函数的极值及其求法 由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成曲线在升、降转折点处形成“峰峰”、“谷谷”，函，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。值得我们作一般性的讨论。高等数学函数的极值及其求法4一、函数极值的定义一、函数极值的定义oxyab)(x

x高等数学函数的极值及其求法4.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf

3、义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.高等数学函数的极值及其求法4二、函数极值的求法二、函数极值的求法 设设)(xf在点在点0 x处具有导数处具有导数, ,且且在在0 x处取得极值处取得极值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 注意注意:.,)(是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定点点的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导

4、函函数数xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x高等数学函数的极值及其求法4注注这个结论又称为这个结论又称为Fermat定理定理如果一个可导函数在所论区间上没有驻点如果一个可导函数在所论区间上没有驻点 则此函数没有极值，此时导数不改变符号则此函数没有极值，此时导数不改变符号不可导点也可能是极值点不可导点也可能是极值点可疑极值点：可疑极值点：驻点、不可导点驻点、不可导点 可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步可疑极值点是否是真正的极值点，还须进一步判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、判明。由单调性判定法则知，若可疑极值点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符

6、2(2(第一充分条件第一充分条件) )xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)高等数学函数的极值及其求法4xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值(不是极值点情形不是极值点情形)高等数学函数的极值及其求法4例例1 1解解.593)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( )

换元法原理阐释以及运用换元法的注意事项

下面原理部分主要讲不定积分换元法的内容，定积分的换元法只是在前者的基础上加上换掉积分上下限而已，因此定积分部分主要讲积分上下限换元的要点。另外，本回答不提供具体运算技巧，而是通过对原理的阐释，消除部分同学对换元法这一运算方法的顾虑，并且指出运用时需要注意的事项，避免因原理掌握不足而犯错

（一）第一类换元法（不定积分）

第一类换元法的原理应该是很好理解的，我们知道

从上式可以看到 ，而前面有

，这里体现了不定积分与微分两种运算的互逆性以及微分形式不变性，因此第一类换元法也叫做“凑微分”法（这里的“互逆”不是完全意义上的互逆，但“先微分后积分”与“先积分后微分”相比，前者只不过是结果中比后者多了一个常数C而已）

不过这是原理上的，实际上我们做题只会见到这种形式 ，为了便于后面解释，我把 写成 ，即 这种形式，也就是说要使用第一类换元法需要我们自己做恒等变形成 ，才能得到 ，即

这里你可能会觉得，既然是拆成两个函数，为什么不叫“拆微分”法，反而是“凑微分法”呢？这是因为实际操作中很少像上面这么巧的情况，确实需要我们去凑

把上面的例子稍微修改一下，变成 ，此时是不是需要我们把原来的2凑出来呢？

如果能把下面这个不定积分用第一类换元法求出来，就可以算是理解第一类换元法了

（二）第二类换元法（不定积分）

第二类换元法的原理可能不太好理解，简单来说，是把 看成 ，然后把 拆出来，变成

最后把反函数 代入 得到 ,而这其实就是

（1）以原先自变量x的角度来看：

，设 可导，若其存在可导的反函数 ，则

（两次反函数运算，变回自身）

（2）从x换元成t后的自变量t的角度来看，就有下列流程：

这一步总会有人要纠结，为什么积分里面的 可以拆成 ，最简单的解释就是：上面第一类换元法说明了 成立，现在 自然也成立，即第二类换元法的“拆微分”可以看做是逆用第一类换元法，完全可以不用把它理解成是在积分里面进行微分运算，仅仅当作恒等变换即可。

那问题来了，为什么积分变量和自变量明明都是 ，却可以把积分变量视为一个函数 呢？事实上，只要反函数 存在，内层函数 和自变量 之间的关系就不是绝对的，可以通过“反函数+复合函数”进行互换，因为 ，可以看到此时 成了复合函数 的中间变量

的关系后，还有一种涉及“微分运算”的理解方法： 可以看做 ,即对 进行先微分后积分的两次互逆运算，而根据微分形式不变性，有

③用反函数将x换元回来得到F(x)

可能这里又有人产生疑惑了，我们全程是以 为变量求不定积分，而不定积分求出来的是一个函数族，怎么就能肯定换元回来后的 就是我们要求的 ？

虽然最后结果 有个 ，但这个 是我们最后添上去的，与已知条件 没关系

（这里要注意的是：有时这样算出来的 在整个 上竟然是间断的，后面“注意事项”有一个例子，这是因为对 等价变换或者换元时不完美导致的，比如缩小了 的定义域，因此最后需要进行处理，如果换元严格按照条件来，是不会出现这种情况的）

从上面第二类换元法的原理可以看出，第二类换元法其实和第一类换元法是相反的操作思路，一个是凑、换（这一步熟练了可以不用，全程只用x作为自变量），一个是换、拆，所以这个问题下有位答主说得很中肯，即第一类是凑微分，第二类是拆微分

另外，细心的读者可以看出，上面这些等式要成立，如果从原自变量x的角度来看，有一个很重要的条件 需要满足，因为要先乘 ，再乘其倒数 ，因此需要 ，这也是同济高数书上在讲这个方法（定理2）的时候所明确的。由于一般 作为初等函数是连续的，因此这个条件意味着 或 恒成立，也就是 严格单调，原函数单调是前面学过的“反函数存在定理”的条件，所以保证了其反函数 存在，另外， 这个条件，也是前面学过的“反函数求导法则”的条件，因此在 可导的条件下，也保证了反函数 可导

在涉及反函数求导时，有了这个条件就相当省事，所以在高数书上的参数方程求导、柯西中值定理（可视为参数方程版的拉格朗日中值定理）以及洛必达法则等都出现过。不过这个条件可能会给细心的同学带来一点困扰，比如计算不定积分 时，用 换元， 原定义域本身满足反正弦函数 的定义域，但为了满足 ，必须让 ，也就是 ，这样缩小了自变量 的范围，导致取不到 的端点 ，是否对求出来的结果有影响？

其实这种少了端点的换元是没什么问题的，这是因为“闭区间可导”仅要求闭区间端右端点处的左导数存在，以及左端点处的右导数存在，也就是说函数闭区间端点处的导数值由其左导数数值或者右导数数值定义，而求出来的原函数 定义域同样仅仅只有 这个区间，且左端点右导数 ，右端点左导数 ，所以结果没问题

篇幅所限，详细的内容可以见我下面一篇文章

最近评论区的知友发给我数分上关于第二类换元法的定理，我发现 这个条件确实是比较严格了，如果按照数分上的定理，不会有上面这个端点处 的bug，不过我估计需要这个回答的应该大部分是不学数分的，所以上面这些说明就不删改了，下面的图是数分的

补充：下面是数学吧对这个条件的讨论

（三）定积分换元法涉及的换限问题

从上面可以看出，第一类换元法其实并没有真正意义上的“换元”，可以做到全程都是用x表示，只是为了方便可以将f(G(x))写成f(u)，但实际上由牛顿—莱布尼茨公式（简称N-L公式）可知

因此第一类换元法在替换上下限的时候其实没什么需要顾忌的地方，只要注意写成f(u)之后要记得把上下限a，b对应换成G(a)，G(b)，而且这里不用考虑上下限的大小关系，因为定积分有两个“补充规定”

第一类换元法换上下限时无需顾忌，但是第二类换元法的换限，到底要不要考虑换元函数单调性的问题，就可能会让人产生疑惑了

上面我们提到换元时，需要 可导且 的条件，这两个条件代表了 必须是可导且单调的，这样也才可以很好地保证了反函数 是存在、可导且单调的

对于定积分，是有积分上下限的，那么我们在换元时，是否需要在 的严格单调区间上找到上限 和下限 对应的的 和 ，才能换元并换限呢？

请看“予一人”大佬在另一个问题的回答下给出的例子（中间有个式子有点可以忽略的小错误："3次方"写成"2次方"了）

这就是同济高数p246说的："当φ(t)的值域超过[a,b]，但φ(t)满足其余条件时，只要f(x)在Rφ上连续，则定理的结论依然成立”

这里我简单说明一下原因：定积分的求解主要是依赖于N-L公式，所以会用到原函数，但原函数只是一个用来代入计算的工具而已，我们并不是为了求解对变量x而言的一个原函数，因此

完全可以看成是 ,而这里的 是另一个定积分 使用第一类换元法之后得到的结果，也就是

上是连续的，就可积并且能使用N-L公式

上是连续的，也能使用N-L公式

而 ，因此，如果 , ，则

这里唯一要解决的就是 ,

以上面的 为例，被积函数 以及换元函数

都在 上连续，因此，只要 ， 就满足所需条件，也就是只要 和 即可，不管是在 哪个区间找的 ， ，都会使得结果成立，所以不需要非得在计算不定积分时要求的 上找 ， ，不过为了省事，还是直接在单调区间找对应的值就行了

另外，这一问题下，有一位答主给出了第二类换元法的“真正”的条件和严谨的证明

二、运用换元法的注意事项

1.在对等式做恒等变换的时候，要注意是否缩小了f(x)的定义域，这样得到的结果可能会有瑕疵

这里变换时默认 ，导致算出来的F(x)在x=0处不连续，不是真正意义上的原函数

但算出来的 带有 ，因此必定间断

这是因为变换时，除以 ，默认 导致的

2.虽然说不定积分不怎么需要考虑区间的问题，但换元后要注意去根号是否需要带绝对值，比如换元 是有正负区间的，这里就不举具体例子了

最近点赞数量明显增加，补充一下，这里面就有对应的具体例子

3.定积分也不能算出来就直接换元代入N-L公式，还是要多注意算出来的“原函数”，比如上面的 要是带个上下限，说不定就掉坑里了