如何解四阶幻方

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-07-04 19:40 标签： 四阶幻方的幻和怎么求

四阶幻方的解题方法(写得数之后可否写明为什么这么做) 

  • 四阶幻方，属双偶数，方法如下： 
1）以1-16依次作四行排列, 
2）打两条对角线，被对角线穿过的数字不动， 
3）其他数字，按对角线的交点为对称中心，对称对调，《完成》 
当然，幻方的形式并非唯一，其他形式也可以用试填的方法来完成，这就费时了，

大家听过大禹治水的故事吗？相传在那个年代，陕西的洛水常常泛滥成灾，每当河水泛滥之时，会有一直乌龟浮出水面，当时人们也不知道为什么，只是觉得很好奇，于是人们开始研究这个规律。经过一段时间的观察，发现后来发现乌龟背上的龟壳分为9块，横着有三行，竖着有三行，而且每一块里边都有一些小点，每块龟壳里面的点数刚好凑成1-9这9个数字，可是，谁也弄不清楚这些点数到底有什么含义。

直到有一年，河水还是泛滥成灾，乌龟又浮上了水面，这时有个小孩在岸边大喊大叫起来：“大家快来看啊，这些小点非常有趣，横着看加起来是15，竖着看，加起来也是15，斜着看加起来还是15！”这个数字之谜竟然被一个小孩子给想明白了。

后来大人们觉得大概河神想要每样祭品的数量是15份吧，于是赶紧抬来15头猪、15头牛和15只羊献给河神，果然，从此以后河水再也不泛滥了…

当然了，这只是一个传说，这个乌龟上的图案就是我们要学习的内容“幻方”，也叫“洛书”、“纵横图”、“魔阵”等等。

接下来我们就来揭开“幻方”的神秘面纱，一起来学习一下吧！

幻方是把1至n^2的自然数排列成正方形，使它的纵横均有n个数，而把每行、每列、两条对角线的数加起来，它们的和都是相等的，这个和叫做幻和。

幻方的特征是横、竖、斜相加的得数都相等，幻方的幻和会等于n（n^2+1）÷2。

幻方按照纵横各有数字的个数可分为三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方、六阶幻方…

按照纵横数字数量为奇数、偶数可分为奇阶幻方、偶阶幻方。

我们首先简单介绍一下三阶幻方：把1-9填入方格，使幻方成立。

它也是一个奇阶幻方，幻和是3×（3^2+1）÷2=15。

那么这里面的数字我们是怎么得来的呢？

第一种方法口诀是：九子斜排，上下对易，左右更替，四维挺出。

第一个步骤是九子斜排，意思呢就是按照图中的形状斜着排列1-9的9个数字；

第二个步骤是上下对易，也就是最顶端的数字和最底端的数字1和9对换；

第三个步骤是左右更替，即将最左端和最右端的两个数字7和3对换；

第四个步骤是四维挺出，如图所示把这四个数字向四个方向分别挺出。

这样，我们就快速完成了一个三阶幻方。

还有一种方法，也非常简单。口诀是：画格辅助，九子斜排，送子回家，清除辅助。

第一个步骤，先画出一些辅助的格子；

第二个步骤，然后将9个数字斜排填入格子中；

第三个步骤，把超出原来幻方各自的数字送回对面的空白格子内；

第四个步骤，把刚刚画的格子清除，就是我们所求的幻方。

唐老师碎碎念：第二种方法其实可以适用于任何的奇阶幻方。

把1-16填入下方空格

可能很多同学会有疑问了，既然三阶幻方有口诀，那么四阶幻方有口诀吗？

四阶幻方同样也有口诀：一字排开（从小到大），对角不动，上下交换，左右更替。

首先从左往右、从上往下按数字的大小顺序从小开始排列；

然后对角是不动的，上下和左右分别交换更替，即可求出这个幻方。

做完了以后可以检验一下，利用幻和公式求出幻和4×（4^2+1）÷2=34，然后横、竖、斜分别相加看结果是否相等。

构成六阶幻方可以利用四阶幻方辅助求解，首先把中间的16个数字11-26按照一字排开，对角不动，上下交换，左右更替的方法填入一个四阶幻方；

其余的数分别两两配对，比如1和36，2和35…

唐老师碎碎念：这种方法适用于所有的偶阶幻方，如八阶幻方、十阶幻方、十二阶幻方。

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第七讲 数表与幻方 教学目标 教学目标 幻方问题千变万化，幻方的填法虽然单一，但组合起来却也是千变万化. 1.三阶、四阶幻方与奇数阶幻方的填法； 2.三阶幻方的主要性质； 3.利用幻方的主要性质补填幻方图； 数表一类的问题与幻方问题往往有结合和相近的内容，但数表问题更考验学生对数字规律的发现和运用能力. 将1到9这9个数字填入3× 将1到9这9个数字填入3×3的正方形表格内，使表格中横、竖、对角线上三个数的和相等，你能有多少种填法？ 想 挑 战 吗？ 分析： 专题精讲 专题精讲 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的3×3的数阵称作三阶幻方，4×4的数阵称作四阶幻方，5×5的称作五阶幻方…… 如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 三阶幻方的中心位置上的数等于所有所填数的平均数，也等于横行、竖列、对角线上数和的三分之一. 解决数表类问题中，首先要找出数填写的规律，再从规律中找到数表的数量关系，从而找出解决问题的关键. （一）幻方 [小故事]（教师导入）同学们是否知道我国古代有关“洛书”的神话传说？传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思.一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了.这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”.“洛书”就是幻和为15的三阶幻方.如下图： 请你将2～10这九个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的三数之和相等. 分析：第一步：求幻和：2+3+4+…+9+10=54 第二步：求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，仔细观察可以发现：除了对角线外，第二行、第二列也分别经过中心数，那么，经过中心数的四条线段上的数字总和是幻和的4倍，即18×4=72，显然，在这个总和中，中心数用了四次，其余各数正好各用一次，所以中心数应是：（72-54）÷3=6 第三步：确定四个角上的数：用尝试法，不难推知，四个角只能是奇数. 第四步：用尝试法填一个基本解，以基本解为基础，可绕中心旋转与对调得到其它各解，共八解，如图： [巩固]3×3的正方形中，在每个格子里分别填入1～9的9个数字，要求每行每列对角线上的三个数的和相等，请给出至少一种填法 分析：除了运用例题中的方法，还有两种方法： （方法一）罗伯法：把1（或最小的数）放在第一行正中，按以下规律排列剩下的数： 每一个数放在前一个数的右上一格 如果这个数所要放的格已经超出了最顶行，那么就把它放在最底行，仍然要放在右一列 如果这个数所要放的格已经超出了最右列，那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行 如果这个数所要放的格已经填好了其它的数，或者同时超出了最顶行和最右列，那么就把它放在前一个数的下面，具体如下图： （方法二）对易法：先把1到9九个数字按顺序斜着排列，再把上下的数字1和9对调，左右的数字7和3对调，最后把4个不在边上也不在最中心的数字拉到角上，一个三阶幻方就形成了. [说明]南宋数学家杨辉曾概括幻方为：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出.” 这就是我们现在所学的对易法. [小知识] 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央.”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久，三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆.” 请你将1～25这二十五个自然数填入图中的空格内每行、每列、每条对角线上的五数之和相等. [亮点设计]（1）提问：三阶幻方的我们可以通过算的方法填出，五阶的呢？算算看，累死.七阶呢？更累死.同学们想不想在一分钟之内写出五阶幻方呢？看老师的： （2）示范：边写边说口诀：“一居上行正中央，后数依次右上连.上出框时往下填，右出框时往左填.排重便在下格填，右上排重一个样”.见第二个图.这是法国人罗伯特总结出的“罗伯法”，它对于构造连续自然数幻方是最简单易行的. （3）练习：写个七阶的看看（大家一起来练）注意强调细节.上出框与右出框的处理有时不容易把握，老师隆重推荐大家一种方法——“卷纸筒”，即把上下边重合在一线，则上出框后往右上填的位置正好在下边的对应点上.

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