弧长的定义 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。
弧长的计算公式 弧长公式:n 是圆心角度数，r 是半径，a 是圆心角弧度。
公式 l = n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180 在半径是 R 的圆中，因为 360°的圆心角所对的弧长就等于
拓展 扇形面积公式：S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π(圆周
如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线 将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径
为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个 圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中：圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π 为圆周率≈3.14 R 为圆锥体底面圆的半径 L 为圆锥的母线长 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 (注意：不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n 圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长
侧面展开图的圆心角求法：n=360r/R=πRr 或 2πr=nπr/180 n=360r/R 。如果题目中有切线，经常用的辅助线是链接圆心和切 点的半径，得到直角，再用相关知识解题。 扇形的面积
扇形的面积 扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角(顶角)、 圆半径相关，圆心角为 n°，半径为 r 的扇形面积为 n/360*πr^2。 如果其顶角采用弧度单位，则可简化为 1/2×弧度×半径平方。 扇形还与三角形有相似之处，上述简化的面积公式亦可看成： 1/2×弧长×半径，与三角形面积：1/
弧长的公式、扇形面积公式
一. 教学内容： 弧长及扇形的面积 圆锥的侧面积
二. 教学要求 1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。
三. 重点及难点 重点：
1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点： 1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。
［知识要点］ 知识点 1、弧长公式
因为 360°的圆心角所对的弧长就是圆周长 C＝2 R，所以 1°的圆心角所对的弧长是
，于是可得半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式：
说明：(1)在弧长公式中，n 表示 1°的圆心角的倍数，n 和 180 都不带单位“度”，
例如，圆的半径 R＝10，计算 20°的圆心角所对的弧长 l 时，不要错写成
(2)在弧长公式中，已知 l，n，R 中的任意两个量，都可以求出第三个量。
知识点 2、扇形的面积 如图所示，阴影部分的面积就是半径为 R，圆心角为 n°的扇形面积，显然扇形的面积
是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是 360°的扇形面积等于圆面积 ，所以圆心角
为 1°的扇形面积是 ，由此得圆心角为 n°的扇形面积的计算公式是
知识点 3、弓形的面积 (1)弓形的定义：由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长＝弦长＋弧长
(3)弓形的面积 如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把 扇形 OAmB 的面积和△AOB 的面积计算出来，就可以得到弓形 AmB 的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图 1 所示， 当弓形所含的弧是优弧时，如图 2 所示， 当弓形所含的弧是半圆时，如图 3 所示， 例：如图所示，⊙O 的半径为 2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是 ( ) (结果用 表示)
由圆周角定理可知∠ABC＝ ∠AOC，所以
∠AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC 是直角三角形，所以
注意：(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。
弧长的公式扇形面积公式
一.教学内容： 弧长及扇形的面积
圆锥的侧面积 二.教学要求
1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。 2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。 三.重点及难点 重点：
1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。 2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。 难点：
1、弧长公式、扇形面积公式的推导。 2、圆锥的侧面积、全面积的计算。 ［知识要点］
知识点 1、弧长公式 因为 360°的圆心角所对的弧长就是圆周长 C＝2 R，所以 1°的圆心角所对的弧长是
，于是可得半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长 l 的计算公式：
说明：(1)在弧长公式中，n 表示 1°的圆心角的倍数，n 和 180 都不带单位“度”，
例如，圆的半径 R＝10，计算 20°的圆心角所对的弧长 l 时，不要错写成
(2)在弧长公式中，已知 l，n，R 中的任意两个量，都可以求出第三个量。
知识点 2、扇形的面积
如图所示，阴影部分的面积就是半径为 R，圆心角为 n°的扇形面积，显然扇形的面积
是它所在圆的面积的一部分，因为圆心角是 360°的扇形面积等于圆面积 ，所以圆心角
为 1°的扇形面积是 ，由此得圆心角为 n°的扇形面积的计算公式是
，所以又得到扇形面积的另
知识点 3、弓形的面积 (1)弓形的定义：由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。 (2)弓形的周长＝弦长＋弧长 (3)弓形的面积
如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把
扇形 OAmB 的面积和△AOB 的面积计算出来，就可以得到弓形 AmB 的面积。
当弓形所含的弧是劣弧时，如图 1 所示，
当弓形所含的弧是优弧时，如图 2 所示，
当弓形所含的弧是半圆时，如图 3 所示， 例：如图所示，⊙O 的半径为 2，∠ABC＝45°，则图中阴影部分的面积是(???????) (结果用 表示)
由圆周角定理可知∠ABC＝ ∠AOC，所以∠
AOC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC 是直角三角形，所以
注意：(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。
弧长 计算公式复习进程
弧长的定义 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。
弧长的计算公式 弧长公式:n 是圆心角度数，r 是半径，a 是圆心角弧度。
公式 l = n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180 在半径是 R 的圆中，因为 360°的圆心角所对的弧长就等于
拓展 扇形面积公式：S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π(圆周
如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线 将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径
为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个 圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
R 为圆锥体底面圆的半径 L 为圆锥的母线长 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 (注意：不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n 圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长
侧面展开图的圆心角求法：n=360r/R=πRr 或 2πr=nπr/180 n=360r/R 。如果题目中有切线，经常用的辅助线是链接圆心和切 点的半径，得到直角，再用相关知识解题。 扇形的面积
扇形的面积 扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角(顶角)、 圆半径相关，圆心角为 n°，半径为 r 的扇形面积为 n/360*πr^2。 如果其顶角采用弧度单位，则可简化为 1/2×弧度×半径平方。 扇形还与三角形有相似之处，上述简化的面积公式亦可看成： 1/2×弧长×半径
弧长计算公式及扇形面积计算公式
知识与技能 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程;了解弧长 计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题
过程与方法 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养 学生的探索能力;了解弧长及扇形面积公式后,能用公式解决问题,训练学生的数 学运用能力.
情感态度与价值观 经历探索弧长及扇形面积计算公式.让学生体验教 学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性;通过用弧 长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发 学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性,同时提高大家的运用能力.
重点 经历探索弧长及扇形面积计算公式的过程;了解弧长及扇形面积计算 公式;会用公式解决问题.
难点 探索弧长及扇形面积计算公式;用公式解决实际问题.
活动流程图 活动内容和目的 (一)复习、引出问题 回顾旧知,提出相关新问题 (二)分析、探究、得出公式 学生通过观察、探究得出弧长及扇形面积 公式 (三)公式应用 弧长及扇形面积公式的应用 (四)应用、练习 利用公式解决数学问题 (五)小结 归纳所学知识 (六)作业 布置适当的作业,加深对知识的理解 教学过程设计 问题与情景 师生行为 设计意图 【活动一】复习,引出问题 1.半径为 R 的圆的周长是多少?圆周长可以看作是多少度的圆心角所对 的弧? 2.1°圆心角所对弧长是多少?2°呢?……n°呢? 老师提出问题,学生 思考并回答 回顾旧知识,提出新问题 【活动二】观察,得出弧长公式: 在半径为 R 的图中,n°的圆心角所对的弧长为: 并直接应用公式进行有关的练习 让学生观察,师生共同推导出弧长公 式,并能正确应用公式进行计算 理解弧长与圆心角、半径之间的关系,探索弧长 的计算公式,并运用公式进行计算 【活动三】提问:1、什么是扇形?2、半径为 R 的圆的面积是多少? 类比【活动一】【活动二】,由扇形面积与圆的面积的关系,得出扇形面 积公式为:
另一个公式为: 让学生观察,师生共同推导出扇形面积公式,并能正确
应用 理解扇形面积与圆心角、半径之间的关系,探索扇形的面积公式,并运用公
例 1、如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6cm,其中水面
弧长计算公式(自己编制的)
高庙王中学双案教学设计
教学目标 1、经历探索弧长计算公式的过程，会推导弧长的计算公式 和
学习目标 2、会运用弧长计算公式计算有关问题
一、创设情境 引入新课
某圆拱桥的半径是 30m，桥拱 AB 所对的圆心 出示问题，让学
角∠AOB=90°，你会求桥拱 AB 的长度吗？(精确到 生自主探索
出示课本中小亮的做法，让学生判断正误 生
⑴1°的圆心角所对的弧长是多少？
分析：1°的圆心角所对的弧长是圆周长的
⑵ n °的圆心角所对的弧长是多少？
分析： n °的圆心角所对的弧长是 1°的圆心
⑶引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算
个量之间的一种相等关系。在 l, n, R 这 3 个量中，
表示 1°的圆心 角所对的弧长的 倍数
如果知道 其中的两个量，就可以由弧长计算公式，
例 1 弯制铝合金框架时，先要按中心线计算框
架的展直长度再下料，计算如图所示框架的展直长
1、已知圆弧的半径为 30cm，它所对的圆心角 程
为 70o，求这条圆弧的长度(精确到 0.1cm)
2、已知圆的半径为 9cm，求 20o 的圆心角所对
3、已知一条弧的长度为πR／4，半径为 R，求 生到黑板板演
这条弧所对的圆心角的度数
4、如图,已知扇形的圆心角为 150°,弧长为 20π cm,求扇形的半径.
教学内容和学生活动 练习 2:如图,圆心角为 60°的扇形的半径为 1
在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。 弧长的计算公式
弧长公式:n 是圆心角度数，r 是半径，a 是圆心角弧度。
公式 l = n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180 在半径是 R 的圆中，因为 360°的圆心角所对的弧长就等于
拓展 扇形面积公式：S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π(圆周
如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线 将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径 为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个 圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中：圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π 为圆周率≈ R 为圆锥体底面圆的半径 L 为圆锥的母线长 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 (注意：不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n 圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长 侧面展开图的圆心角求法：n=360r/R=πRr 或 2πr=nπr/180 n=360r/R 。如果题目中有切线，经常用的辅助线是链接圆心和切 点的半径，得到直角，再用相关知识解题。 扇形的面积
扇形的面积 扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角(顶角)、 圆半径相关，圆心角为 n°，半径为 r 的扇形面积为 n/360*πr^2。 如果其顶角采用弧度单位，则可简化为 1/2×弧度×半径平方。 扇 形 还 与 三 角 形 有 相 似 之 处 ，上 述 简 化 的 面 积 公 式 亦 可 看 成 ： 1/2×弧长×半径，与三角形面积：1/2×底×高相似。 公式
弧长的定义 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。 有优弧劣弧之分。 弧长的计算公式 弧长公式 :n 是圆心角度数， r 是半径， a 是圆心角弧度。 公式 l = n(圆心角) x π (圆周率) x r(半径) /180 在半径是 R 的圆中，因为 360°的圆心角所对的弧长就等于 圆周长 C=2 π R ，所以 n°圆心角所对的弧长为 l=n° π R÷180°。 将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径
面积计算公式 圆锥的表面积 =圆锥的侧面积 +底面圆的面积 其中：圆锥体的侧面积 =π RL 圆锥体的全面积 =π Rl+π R2 π 为圆周率≈3.14 R 为圆锥体底面圆的半径 L 为圆锥的母线长 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 (注意：不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n 圆锥圆心角 =r/l*360 360r/l 弧长 =圆周长
侧面展开图的圆心角求法： n=360r/R= π Rr 或 2π r=n π r/180 n=360r/R 。如果题目中有切线，经常用的辅助线是链接圆心和切 点的半径，得到直角，再用相关知识解题。 扇形的面积 扇形的面积 扇形是与圆形有关的一种重要图形， 其面积与圆心角 (顶角) 、 圆半径相关， 圆心角为 n°， 半径为 r 的扇形面积为 n/360*π r^2 。 如果其顶角采用弧度单位，则可简化为 1/2×弧度×半径平方。 扇形还与三
高庙王中学双案教学设计
教学目标 1、经历探索弧长计算公式的过程，会推导弧长的计算公式 和
学习目标 2、会运用弧长计算公式计算有关问题
一、创设情境 引入新课
某圆拱桥的半径是 30m，桥拱 AB 所对的圆心 出示问题，让学
角∠AOB=90°，你会求桥拱 AB 的长度吗？(精确到 生自主探索
出示课本中小亮的做法，让学生判断正误 生
⑴1°的圆心角所对的弧长是多少？
分析：1°的圆心角所对的弧长是圆周长的
⑵ n °的圆心角所对的弧长是多少？
分析： n °的圆心角所对的弧长是 1°的圆心
⑶引导学生用“方程的观点”去认识弧长计算
个量之间的一种相等关系。在 l, n, R 这 3 个量中，
表示 1°的圆心 角所对的弧长的 倍数
如果知道 其中的两个量，就可以由弧长计算公式，
例 1 弯制铝合金框架时，先要按中心线计算框
架的展直长度再下料，计算如图所示框架的展直长
1、已知圆弧的半径为 30cm，它所对的圆心角 程
为 70o，求这条圆弧的长度(精确到 0.1cm)
2、已知圆的半径为 9cm，求 20o 的圆心角所对
3、已知一条弧的长度为πR／4，半径为 R，求 生到黑板板演
这条弧所对的圆心角的度数
4、如图,已知扇形的圆心角为 150°,弧长为 20π cm,求扇形的半径.
教学内容和学生活动 练习 2:如图,圆心角为 60°的扇形的半径为 10cm,
弧长的定义 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。
弧长的计算公式 弧长公式:n 是圆心角度数，r 是半径，a 是圆心角弧度。
公式 l = n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180 在半径是 R 的圆中，因为 360°的圆心角所对的弧长就等于
拓展 扇形面积公式：S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π(圆周
如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线 将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径
为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个 圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
R 为圆锥体底面圆的半径 L 为圆锥的母线长 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 (注意：不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n 圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长
侧面展开图的圆心角求法：n=360r/R=πRr 或 2πr=nπr/180 n=360r/R 。如果题目中有切线，经常用的辅助线是链接圆心和切 点的半径，得到直角，再用相关知识解题。 扇形的面积
扇形的面积 扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角(顶角)、 圆半径相关，圆心角为 n°，半径为 r 的扇形面积为 n/360*πr^2。 如果其顶角采用弧度单位，则可简化为 1/2×弧度×半径平方。 扇形还与三角形有相似之处，上述简化的面积公式亦可看成： 1/2×弧长×半径，与三角形面积：1/2×底×高相似
弧长的定义 在圆周长上的任意一段弧的长度叫做弧长。有优弧劣弧之分。
弧长的计算公式 弧长公式:n 是圆心角度数，r 是半径，a 是圆心角弧度。
公式 l = n(圆心角)x π(圆周率)x r(半径)/180 在半径是 R 的圆中，因为 360°的圆心角所对的弧长就等于
拓展 扇形面积公式：S(扇形面积)=n(圆心角度数)x π(圆周
如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线 将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径
为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个 圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
R 为圆锥体底面圆的半径 L 为圆锥的母线长 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意 一点的线段叫作圆锥的母线 (注意：不是圆锥的高)是展开扇形的边长 n 圆锥圆心角=r/l*360 360r/l 弧长=圆周长
侧面展开图的圆心角求法：n=360r/R=πRr 或 2πr=nπr/180 n=360r/R 。如果题目中有切线，经常用的辅助线是链接圆心和切 点的半径，得到直角，再用相关知识解题。 扇形的面积
扇形的面积 扇形是与圆形有关的一种重要图形，其面积与圆心角(顶角)、 圆半径相关，圆心角为 n°，半径为 r 的扇形面积为 n/360*πr^2。 如果其顶角采用弧度单位，则可简化为 1/2×弧度×半径平方。 扇形还与三角形有相似之处，上述简化的面积公式亦可看成： 1/2×弧长×半径，与三角形面积：1/2×底×高相似
平面曲线的弧长与曲率 §3. 平面曲线的弧长与曲率
(一) 教学目的：掌握平面曲线的弧长与曲率 (二) 教学内容：平面曲线的弧长与曲率的计算公式． (1) 基本要求：掌握平面曲线的弧长计算公式． (2) 较高要求：掌握平面曲线的曲率计算公式． (三) 教学建议： (1) 要求学生必须熟记平面曲线的弧长计算公式． (2) 对较好学生可要求他们掌握平面曲线的曲率计算公式．
——————————————————
设曲线弧由直角坐标方程
现在用元素法来计算这曲线弧的长度. 取横坐标 为积分变量，它的变化区间为 . 曲线 y = f (x ) 上对应于 上任一小
可以用该曲现在点 ( x , f ( x )) 出的切线上相应的一小段的
长度来近似代替(图 3.8.4). 而这相应切线段的长度为
以 1 + y ′ dx 为被积表达式，在区间 [ a , b] 上做定积分，变得所求得弧长.
现在来计算这曲线弧的长度. 取参数 为积分变量，它的变化区间为 .相应 上任一小区间 的小
弧段的长度的近似值及弧长元素为
3. 极坐标情形 设曲线弧由极坐标方程
现在来计算这曲线弧的长度. 由直角坐标与极坐标的关系可得
这就是以极角为参数的曲线弧的参数方程. 于是，弧长元素为
弧长面积计算公式 弧长计算公式 编辑本段弧长的定义 一段弧的长度叫做弧长。 编辑本段弧长的计算公式 在半径是 R 的圆中，因为 360?的圆心角所对的弧长就等于圆周长 C,2πR，所 以 n?圆心角所对的弧长为 l,nπR?180。 比如半径为 1cm，45?的圆心角所对的弧长为 l,nπR?180 ,45×3.14×1?180 ,0.785(cm),7.85(mm) 如果已知他的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平， 就得到圆锥的平面展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底 面 圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。 编辑本段圆锥母线,弧长,面积计算公式 圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积 其中:圆锥体的侧面积=πRL 圆锥体的全面积=πRl+πR2 π 为圆周率 3.14 R 为圆锥体底面圆的半径 L 为圆锥的母线长(注意:不是圆锥的高) 扇形计算公式 开放分类: 数学 扇形周长公式 因为扇形,两条半径，弧长 若半径为 R，扇形所对的圆心角为 n?，那么扇形周长: C,2R，nπR?180 扇形面积公式 在半径为 R 的圆中，因为 360?的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积 S,πR^2， 所以圆心角为 n?的扇形 面积: S,nπR^2?360
