1．机械振动：物体（或物体一部分）在某一中心位置附近所做的往复运动。

使物体返回平衡位置的力，回复力是根据效果（产生振动加速度，改变速度的大小，使物体回到平衡位置）命名的，回复力总指向平衡位置，回复力是某几个性质力沿振动方向的合力或是某一个性质力沿振动方向的分力。

（如：①水平弹簧振子的回复力即为弹簧的弹力；②竖直悬挂的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力；③单摆的回复力是摆球所受重力在圆周切线方向的分力，不能说成是重力和拉力的合力）

3．平衡位置：回复力为零的位置（物体原来静止的位置）。物体振动经过平衡位置时不一定处于平衡状态即合外力不一定为零（例如单摆中平衡位置需要向心力）。

相对平衡位置的位移。它总是以平衡位置为始点，方向由平衡位置指向物体所在的位置，物体经平衡位置时位移方向改变。

物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。

（1）动力学表达式为：F=﹣kx

F=-kx是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。

（2）运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)

（3）简谐运动是变加速运动。物体经平衡位置时速度最大，物体在最大位移处时速度为零，且物体的速度在最大位移处改变方向。

（4）简谐运动的加速度：根据牛顿第二定律，做简谐运动的物体指向平衡位置的(或沿振动方向的)加速度a=﹣kx/m，由此可知，加速度的大小跟位移大小成正比，其方向与位移方向总是相反。故平衡位置F、x、a均为零，最大位移处F、x、a均为最大。

（5）简谐运动的振动物体经过同一位置时，其位移大小、方向是一定的，而速度方向不一定。

（6）简谐运动的对称性

① 瞬时量的对称性：做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具有等大反向的关系；速度的大小、动能也具有对称性，速度的方向可能相同或相反。

② 过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如tBC＝tCB；质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间也相等。

6．振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离，是标量，表示振动的强弱和能量的物理量，无正负之分。

7．周期T和频率f：表示振动快慢的物理量。完成一次全振动所用的时间叫周期，单位时间内完成全振动次数叫频率，大小由系统本身的性质决定（与振幅无关），所以叫固有周期和频率。任何简谐运动都有共同的周期公式：

（其中m是振动物体的质量，k是回复力系数，即简谐运动的判定式F= -kx中的比例系数，对于弹簧振子k就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度系数）。

8．相位(ωt+φ)：是用来描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态的物理量，其单位为弧度。

初相位φ0：周期性运动的初始状态

9．全振动：振动物体连续两次运动状态（位移和速度）完全相同所经历的的过程，即物体运动完成一次规律性变化。振子做一次全振动的路程为4A。

（2）说明回复力、加速度、速度、动能和势能的变化规律（周期性和对称性）

③弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒。

与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。

（4）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是

这个结论可以直接使用。

（5）在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。

设振子的平衡位置为O，向下方向为正方向，此时弹簧的形变为，根据胡克定律及平衡条件有mg－kx0＝0 ①当振子向下偏离平衡位置为时，回复力（即合外力）为F回＝mg－k(x＋x0) ②

将①代人②得： F回＝－kx，可见，重物振动时受力符合简谐运动的条件。

（6）弹簧振子振动过程中各物理量大小、方向变化情况

过程：物体从A由静止释放，从A→O→B→O→A，经历一次全振动，图中O为平衡位置，A、B为最大位移处：

2．单摆：在一不可伸长、忽略质量的细线下端拴一质点，上端固定，构成的装置叫单摆。

①单摆是实际摆的理想化，是一个理想模型；

②单摆振动可看作简谐运动的条件：a摆线为不可伸长的轻细线b无空气等阻力c最大摆角θ<5°；

③单摆的等时性（伽利略），在振幅很小的情况下，单摆的振动周期与振幅、摆球的质量等无关；

④单摆的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供；

⑤重力势能与动能的相互转化，机械能守恒。

半径方向：T－mgcosθ＝mv2/r 向心力改变速度方向

切线方向：F回＝mgsinθ 改变速度大小

若θ角很小，则有sinθ＝tanθ＝x/L,而且回复力指向平衡位置，与位移方向相反，所以对于回复力F，有：

（3）单摆周期公式的应用：测量当地的重力加速度g，

（L为摆长，是悬点到球心的距离，即：L=绳长+摆球半径）

秒摆：摆长为1m，周期为2s的单摆。

周期T通常是摆动30-50次测量时间求平均值

注意：每次摆动时必须从平衡位置开始计时；摆线顶端要固定；单摆摆动时要平摆，不要锥摆。

1．图象的描绘：一个振子真实的运动轨迹用时间拉开。

（2）从平衡位置开始计时，函数表达式为x＝Asinωt，ω=2π/T=2πf

从最大位移处开始计时，函数表达式x＝Acosωt

注意：简谐运动的图象并非振动质点的运动轨迹（真实轨迹是一条往复的直线）

①直接读出振幅（注意单位）

③确定某一时刻物体的位移

④判定任一时刻运动物体的速度方向（最大位移处无方向）和加速度方向

⑤判定某一段时间内运动物体的速度、加速度、动能及势能大小的变化情况

3．振动图象的应用：任何复杂的振动都可以看成是若干个简谐振动的合成。

1．振动能量=动能+势能=最大位移的势能=平衡位置的动能（由振幅决定，与周期和频率无关）

2．阻尼振动和无阻尼振动

（1）阻尼振动：存在阻力做负功，能量减小，振幅减小（减幅振动）

（2）无阻尼振动(等幅振动)：在振动中，为保持振幅不变(能量不变)

（1）受迫振动：物体在周期性外力作用下的振动叫受迫振动。

（2）驱动力：周期性的外力作用于振动系统，对系统做功，克服阻尼作用，补偿系统的能量损耗，使系统持续地振动下去，这种周期性的外力叫驱动力。

（3）物体做受迫振动的频率由驱动力决定，等于驱动力频率，而与固有频率无关（如：秋千）

（1）在受迫振动中，驱动力的频率和物体的固有频率相等时，振幅最大

①产生共振的条件：驱动力频率等于物体固有频率

②共振曲线：以驱动力频率为横坐标，以受迫振动的振幅为纵坐标。它直观地反映了驱动力频率对受迫振动振幅的影响，f驱与f固越接近，振幅A越大；当f驱＝f固时，振幅A最大。

（2）共振的防止和应用

①利用共振：驱动力频率靠近固有频率，如共振筛、转速计、微波炉、打夯机、跳板跳水、打秋千等。

②防止共振：驱动力频率远离固有频率，如机床底座、航海、军队过桥、高层建筑、火车车厢等。

一、机械波的产生和传播波的概念

1．机械波：机械振动在弹性介质中的传播

（1）波源：振源波源、波的发源地，最先振动的质点，不是自由振动，而应是受迫振动，有机械振动，不一定有机械波，有机械波必有机械振动。（决定了波的周期T和频率f）

（2）介质：介质应具有弹性的媒质，这里的弹性与前述弹性不同，能形成波的媒质叫弹性媒质。（决定了波的传播速度v）

（1）把介质看成是由大量的质点构成的，规定离振源近的称为前一质点，离振源远的称为后一个质点。相邻的质点间存在着相互作用力，振动时，前一质点带动后一质点振动

（2）机械波传播的只是振动的形式和能量，各个质点只在各自的平衡位置附近往复振动，不随波的传播而迁移（水中的树叶）

（3）质点做受迫振动，质点的振幅、振动周期和频率都与波源的相同

（4）各质点开始振动(即起振)的方向均相同

（5）振动速度和波速的区别。在均匀媒质中波是匀速、直线前进的，波由一种媒质进入另一种媒质，f不变，而v变，而质点的振动是变加速运动，二者没有联系，不能混淆。

（1）传播振动的能量（机械波传播机械能，电磁波传播电磁能。）

（2）传播振动的形式（振源如何振动，质点就如何振动）

（3）传播信息（声波、光波、电磁波）

（1）横波：质点的振动方向与波的传播方向垂直，有波峰(凸部)和波谷(凹部)（如水波）

（2）纵波：质点的振动方向与波的传播方向共线，有密部和疏部（如声波）

1．波的图象（简谐波图像为正弦或余弦曲线）：用x表示波的传播方向的各个质点的平衡位置，用y表示某一时刻各个质点偏离平衡位置的位移，并规定在横波中位移的方向向上为正。

（1）描点法――找到某一时刻介质的各个质点偏离平衡位置的位移

纵轴：某一时刻介质的各个质点偏离平衡位置的位移

横轴：介质各个质点的平衡位置

（2）任意一质点此刻的位移

（3）任意一质点在该时刻加速度方向

（4）由传波方向确定振动方向；由振动方向确定传播方向。

（5）画出一定时间的机械波的图象

（6）波上各质点振动方向的判断

3．振动图象和波的图象的联系与区别

波动是振动在介质中的传播，两者都是按正弦或余弦规律变化的曲线；振动图象和波的图象中的纵坐标均表示质点的振动位移，它们中的最大值均表示质点的振幅。

①振动图象描述的是某一质点在不同时刻的振动情况，图象上任意两点表示同一质点在不同时刻偏离平衡位置的位移；波的图象描述的是波在传播方向上无数质点在某一时刻的振动情况，图象上任意两点表示不同的两个质点在同一时刻偏离平衡位置的位移。

②振动图象中的横坐标表示时间，箭头方向表示时间向后推移；波的图象中的横坐标表示离开振源的质点的位置，箭头的方向可以表示振动在介质中的传播方向，即波的传播方向，也可以表示波的传播方向的反方向。

③振动图象随时间的延续将向着横坐标箭头方向延伸，原图象形状不变；波的图象随着时间的延续，原图象的形状将沿横坐标方向整个儿地平移，而不是原图象的延伸。

④在不同时刻波的图象是不同的；对于不同的质点振动图象是不同的。

三、描绘机械波的物理量

1．周期和频率：在波动中，各个质点的振动周期是相同的，它们都等于波源的振动周期，这个周期也叫做波的周期。同样，各个质点的振动频率也是波的频率。（由振源决定）

2．波长（λ）：在波的传播方向上，相对于平衡位置的位移总相等的两个相邻质点间的距离，叫做波长（波长由波源和介质共同决定）

（1）在横波中，两个相邻的波峰或波谷间的距离等于波长，在纵波中两个相邻的密部或疏部间的距离等于波长。

（2）波动在一个周期中向前推进一个波长

（3）在一个周期内波峰或波谷向前推进一个波长

（4）一个完整的正弦曲线横轴长度。

（1）波速：波在介质中的传播速度（由介质决定，固体、液体中波速比空气中大）

（2）波峰或波谷的推进速度（波的传播方向就是波峰或波谷的推进方向）

（3）与波源无关，所以波从一种媒质进入另一种媒质时f不变、v变化，波速也是波的能量传播速度。

（4）波由一种介质进入到另外一种介质时，波速改变，波长改变，但是频率不变。类比：频率相同，“步长”不同。

①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确

②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确

①传播方向双向性：波的传播方向不确定

②振动方向双向性：质点振动方向不确定

1．波的衍射：波可以绕过障碍物继续传播的现象，说明波能偏离直线而传到直线传播以外的空间。

任何波都能发生衍射现象。

明显衍射现象的条件：当障碍物或孔的尺寸小于波长或与波长相差不多

（1）波的叠加原理：在两列波重叠的区域里，任何一个质点都同时参与两列波引起的振动，其振动的位移为两列波单独存在引起的位移的矢量和。

波的独立传播原理：两列波相遇前，相遇过程中和相遇后，各自波形和位移不发生任何变化。

①相遇时，位移和速度都是矢量和

②相遇后，保持原状，继续传播

③峰峰叠加加强，谷谷叠加加强，峰谷叠加减弱

（2）波的干涉：频率相同的两列波叠加，使某些区域的振动加强，某些区域的振动减弱，而且加强和减弱的区域相间分布的现象。（相干波源：周期频率都完全相同的波源）

①波的传播就是波峰或波谷的推进

②干涉条件：频率相同的两列波（相干波源）叠加

A）形成加强区和减弱区

B）加强区和减弱区相互间隔

D）加强区振幅增加，但是位移有时可以为零

3．干涉和衍射（折射和反射）现象是波的特有的现象，一切波（包括电磁波）都能发生干涉知衍射（折射和反射），反之，能发生干涉和衍射（折射和反射）的一定是波。

（1）波源发出的频率f：波源单位时间内发出波的个数

观察者接收到的频率f′：观察者单位时间内接收到的波的个数

（2）相对运动时对频率的影响

①波源和观察者都不动f′=f

②波源不动：观察者接近波源f′＞f，观察者远离波源f′＜f，波长不变波速不变

③观察者不动：波源远离观察者f′＜f，波源靠近观察者f′＞f，波长改变波速不变。

当波源与观察者有相对运动时，如果二者相互接近，观察者接收到的频率增大；如果二者远离，观察者接收到的频率减小。

①有经验的铁路工人可以从火车的汽笛声判断火车的运动方向和快慢。

②有经验的战士可以从炮弹飞行时的尖叫声判断飞行的炮弹是接近还是远去。

③交通警察向行进中的汽车发射一个已知频率的电磁波，波被运动的汽车反射回来时，接收到的频率发生变化，由此可指示汽车的速度 。

④由地球上接收到遥远天体发出的光波的频率可以判断遥远天体相对于地球的运动速度。

振动是周期运动，振动的状态由描述振动的时间周期函数来描述。而振动状态在媒质中的传播形成波，波函数一次性给出了所有质点在任意时刻的振动状态。所以，振动和波的核心内容是对振动状态的描述。

那么，振动和波到底是如何统一的描述振动状态的呢？

要对这个问题理解到位，你得先理解好相位的概念。

大多数人觉得它很抽象，其实，只要是周期运动，必然存在一种与位置(时间或空间)相关的量，它就是相位。相位取某个取值，就决定了系统处于某种状态。所以，相位看起来就像一个状态的标签。

拿月亮来说吧，由于它绕地球作周期运动，它在某个位置，就会显示一个特定的月相，所以只要看月相，就知道月球目前在哪里，速度是多少。

虽然本来月球的这些状态信息应该是时间的函数，但是月相本身就是时间的函数，而月球状态对月相的依赖是不变的，所以月相接管了时间的贡献，现在只需要根据月相来向系统汇报并产生系统信息就可以了。

如果用函数来解释，那就是，系统对时间的依赖函数 可以看成两个函数 和 的复合函数，即 由于 是确定的，所以 直接由 决定，这里面的 就是相位。

这就好比，国王不管事了，虽然看起来他的权力包裹着整个朝廷，但他只是产生一种一成不变的操作罢了，从他口中发出的各种命令都是来自于他的那个心腹大臣，他使什么脸色，国王就怎么输出指令，而不用管其他人怎么说。

所以，那个起决定作用的大臣的脸色就好比是相位。无论何时何地，只要看他脸色行事即可，看其他都没用。因为不同时刻不同地点，甚至不同天气，大臣的脸色可能会不同，也可能相同。

以上是根据相位的一般含义来讲的，是不是有点不太懂？没关系，下面再结合振动和波深入的阐述相位的含义。

用角的周期函数描述振动

众所周知，振动是物理量的状态随时间的周期变化，它是通过一个周期函数来描述的，例如周期为 的函数 。

该函数 是由相应的物理量所满足的时间演化规律决定的，例如在回复力作用下的质点所满足的牛顿第二定律。

虽然随着时间流逝，时间变量 的值在不断增加，但由于 是周期函数，所以每隔 的时长，物理量恢复为原来的状态。

你可能会想，这个周期函数 该长成什么样呢？

当然，它是由所属的方程决定的！但在不太清楚那个方程的情况下，它会有哪些可能的形式呢？

所有可能的周期函数中的某一个？

可以这么理解！但当你实际考察一下会发现，所有的周期函数实际上都归结于正弦和余弦函数的线性组合，这是所谓的傅里叶级数给出的结果。关于这一点的理解，可参看另一篇文章“”。

对我们熟悉的正弦和余弦函数来说，它们只接受角度作为自变量，周期为 。那么自然的，描述振动的函数也应该是以角度作为自变量，周期为 的函数。

现将其记为 ，它满足 但是，现在的变量明明是时间 啊！要转成角度？

没错！作为变量的时间 要能被一个周期函数 吃下，得先转化成角度的量才行！角度是一种没有单位的数，所以这就需要将时间 除以一个同样有时间单位的数 ，即

注意到，在零时刻时，角度量不一定刚好就是零，可能有一个初始值 ，因此完整的转化应为 现在， 作为 的函数，吃下时间 后，吐出一个角度 ，送给函数 ，最终得到周期函数 ，即

按照前面所讲，既然 的周期是 ，那么 的周期 为

因此 那么 关于 的函数现在可以写成 所以描述振动的函数 可以写成

至此，我们得到了描述振动的函数 的一般形式。它由角度的函数 和时间的函数 复合而成。角度的函数 ——姑且称为外壳函数吧，它的具体表达式由振动方程决定。

相位：振动状态的决定者

对一个确定的振动来说，它的外壳函数 是确定的。因此，决定某个时刻 的物理量的振动状态的就是 的值。换句话说，面对函数 ,变量 取代了 对物理量的振动状态的决定作用。

可见，作为一个角度量， 是一个很重要的东西，我们称之为相位（phase）。它是时间的函数，它总是具有如下形式

因为周期 总是正数，所以相位是随时间增加的。 是 时的相位值，叫初相。

为什么说相位决定了状态？很简单，既然外壳函数 确定了， 不就是那个决定者吗？

相位随着时间的变化是很简单的——它总是随时间线性变化，即

它在某个时刻取什么值，则振动所描述的物理量的值 及物理量随时间的变化率的值 显然也就确定了！（注：函数 ）

换句话说，当你得到了任意时刻的物理量振动的相位，只要将它丢入描述振动的外壳函数 及其导数中去，你就得到了相应时刻的振动状态——物理量的值及时间变化率的值。

若你面对的是一个确定的时刻 ，你将得到确定的振动状态；而若你面对的是任意时刻 ，你将得到描述振动的函数 。

由于相位随时间增加，两个具有同样的初相的振动，相位越大的那个，振动的时间长。所以，相位值不光能描述时刻，还能体现时间的积累效果。

例如，你无法从跑道上的两个人目前的位置来获知他们俩谁跑的路程多一些。要比较二者跑的路程，必须借助相位的值。因为相位实际上是一种时间的积累。

振动的周期、频率和角频率

作为描述振动的函数， 的周期 显然就是一次完整的振动——全振动所需的时间，称之为振动的周期。

这意味着，单位时间内，完成全振动的次数是

相位作为时间的函数，它总是把时间换算成角度，由于 的周期是 ，所以每当相位新增加一个 时，就给出相同的状态。

所以，想象振动每经历一个周期的时间内，有一个沿逆时针旋转的矢量绕端点刚好转过 的角度，这个旋转矢量的角速度为

我们称之为振动的角频率。它与频率 的关系为 现在相位可写为 根据旋转矢量的思想， 是旋转矢量零时刻时与 轴正向之间的夹角，而相位 是旋转矢量在任意时刻与 轴正向之间的夹角。

讲到这里，似乎猛然醒悟，原来，一切振动，背后不过总是对应着简单的绕圈圈这件事啊！的确，百转千回不过就是为了相遇嘛，没有无数个圈圈的组合，哪会造就世间万物的轮回？

现在，描述振动的函数可写为 既然描述振动的函数是周期函数，那么彼此相差时间 的时刻的振动状态必然是相同的，也就是说，相位和状态之间是多对一的映射关系，比如 与 对应一样的状态，我们称这种关系为同相。

由于 ，故 ，所以 也与 同相。实际上，这是显然的，因为 的周期正好就是 嘛！

对最基本的振动——简谐振动来说，它所遵循的动力学方程为 根据高数知识可知，正弦和余弦函数的二阶导数与自身可组合为零，所以满足该方程的函数具有正弦或余弦函数的形式。用余弦函数表示为

显然，简谐振动所对应的 为 所以，对简谐振动来说，所谓相位，就是cos函数里面的那一坨东西。

对于旋转矢量的物理图像，在简谐振动中是非常直观的。简谐振动的振幅保持不变，所以它的旋转矢量就是一个长度不变的矢量。

上面讲过，只要能得到一个振动的在任意时刻的相位，把它放进振动函数——现在是 ，就得到描述振动的函数。

假设某个点作简谐振动的振幅为 ，设它在 时刻的相位为 ，设角频率为 ，求描述该振动的运动学方程。

根据相位的定义， 故 故 时刻的相位为 由于简谐振动的函数形式为 ，将上面求得的 丢进去得 这就是该点振动的运动学方程。

波在媒质中传播时，振动的点并没有随之移动，那么它传播了什么呢？

本文最开始就说过，波是振动状态的传播，而现在知道，相位决定振动状态，所以波也就是相位的传播。

那么，相位是如何被传播的呢？

波的传播是沿着一定的方向，以一定的速度进行的，这个方向叫做波线，而这个速度叫波速，用 表示。它的定义是：波的振动状态在单位时间内沿波线向前传播的距离。

既然相位决定状态，那么波速也就是相位在单位时间内传播的距离。

可以看到，波速这个概念与之前学过的速度不同，因为它不是实际物体的运动速度，它是相位传播的速度，因此也叫相速度。

顺便说一句，既然相位不是物质，那么相速度的大小不受相对论约束。

讲到这里，你可能会觉得，相位既然不是物质，那波传了个寂寞？

非也！波既然将振动状态传播给前方的媒质，如果这个振动本身具有能量——例如电磁波和机械波，那么能量也被传过去了，不过那个传播速度是另外一个速度——群速度。

至于相速度和群速度的关系，是比较复杂的，有时候它们是一致的，有时候差很远。一般来说，相速度是由媒质的性质决定的。对特定的波来说，在均匀的各向同性的媒质中，相速度是一个定值。

好了，继续看相位的传播问题。假设 时刻，某已知点 的相位是

设某点 在 沿波线方向的前方，二者之间的距离为 ，则相位从 到 需要的时间为 这说明，当再过 的时间， 的相位就传到 了。

换句话说， 在 时刻的相位 就是 在 时刻的相位。而反过来， 在 时刻的相位 就是 在 时刻的相位，也就是

据此，基于一个相位已知的点，求另一个沿波传播方向的点的相位，只要将已知点的相位减去它们之间波传播所需的时间乘以 即可。

如果将 的表达式代入得 据此，基于一个相位已知的点，求另一个沿波传播方向的点的相位，只要将已知点的相位减去它们之间的距离乘以 即可。这表明未知点的相位比已知点的相位小，这被称作相位滞后。

上面都是假设未知点在已知点沿着波传播的前方，如果未知点在已知点沿波传播的反方向上，那么未知点的相位对时间的积累更长，它的相位比已知点的更大，被称作相位超前，此时只要将上面式中减号换成加号即可。

振源所产生的振动在媒质中传播时，是靠媒质来传递的。当媒质均匀时，前一个位置处振动函数的形式，也就是那个函数 ，必定也被下一个位置所遵循，因为均匀的媒质必然导致所有点遵循的振动规律是一样的。

那么，一旦你获得了某个点的相位，只要把相位放进那个共同的函数 中去，就获得了描述这个点的振动的函数，以兑现“相位决定状态”这句话的价值。

例如上面例子中的点 的相位为 那么它的运动学方程就是 （注意，因为 已经用来表示振动的点在波线上的坐标，所以用另一个变量符号 ），也就是

设 轴从 指向 ，则 故方程也可写为

既然 是任意的，这个函数表示了任意点的在任意时刻的振动情况，那么它就等于描述了媒质中的全体质点的振动情况，把它作为描述波的函数就是不二选择，我们称之为波函数。

由于波函数是通过求任意点的运动学方程来获得的，它们共用同一个周期函数 以及常数 ，那么自然的，波也就拥有了与振动一样的周期和频率。

从以上分析过程可见，只要求出一个任意点 在任意时刻 的相位 的表达式，然后把它丢进振动的角度函数 中，即可得到对应的波函数。

现在可以讲一下波长了。

根据波长的定义，波长是指，波线上，两个状态相同的点之间的最短距离。既然相位决定状态，那么波长也就是两个同相点之间的最短距离。

根据第5节所讲，相位差 与距离 的关系为 而等相点之间相位差为 （不懂？请看第3节），故 所以波长就是周期与波速的乘积，换句话说，波长就是波在一个周期内沿波线传播的距离。

有了波长的概念，那么上述波函数也可以写成

对 函数描述的简谐振动来说，振动在媒质中传播所得到的简谐波的波函数自然就是 画出某时刻的波形图如下

波函数在时间上和空间上都是周期函数。时间上的周期就是振动的周期，空间上的周期就是波长。沿着波线方向，相位依次落后——减小；而沿着波线反方向，相位依次超前——增大。

对于波来说，它的相位不仅与时间有关，也与空间有关。相距一个波长的点，相位是相同的。而相距一个波长以内的点，其相位是不同的。

如果空间中所有点都是齐步运动，那它们的相位相同，也就不存在相位传播了，例如下面这种情况

既然相位完全相同，就不需要相位传播，也就不是本文中所说的波了。当然，你大概没看到有哪个国家的阅兵式会来个波式走步，如果真这样玩，那估计也挺折磨人的，就像下面这种

如下图所示的三个波，黑色线代表的波没有产生相位的传播。实际上，它是由两个相向而行的等幅相干波——即图中的红色和蓝色波，叠加造成的所谓“驻波”。

为了区别于这种特殊的波，存在相位传播的波也被称作“行波”。如下图就是一列向右行进的行波。

注意，行波中移动的是相位，媒质只是在平衡位置附近振动。如下图所示简谐横波，盯着某个点看，你会发现它只是上下振动，并没有向右移动。

对某个行波来说，其相位沿波线以波速 传播。如果你跟着这个速度一起沿着波线同行，你就不会发现相位由改变，因为你每走一步，都带着你当前位置的相位一起抵达下一个位置，你永远面对一样的相位。

这样看来，虽然相位不是一种物质，但你的确能体会到一种相对静止的感觉。受此启发，少年时期的爱因斯坦曾经想象，如果能与光同行，就会看到静止不动的电场和磁场强度矢量。这就是著名的“追光”思想实验。

但相对论告诉我们，这是不可能实现的！

根据狭义相对论，光的波速在中真空中是常数 。即使你沿着电磁波的波线方向以接近光速（先不说这可不可能）运动，你看到的光波的波速保持不变，所以你永远无法看到静止的电磁波。

之所以这样，是因为在高速运动的条件下，速度的相对性不再满足伽利略相对性原理，而是遵循相对论的基本假设之下的新的时空变换——洛伦兹变换，它是狭义相对论的基本假设所必然导致的。

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简谐振动的运动学方程中包含振幅,角频率,初相位三个要素,而在这三个要素中,初相位的求解相对来说比较麻烦,一般情况下都是采用公式法来求解初相位,但这种方法求解过程相当麻烦并容易出错,在该文中介绍使用旋转矢量法来求解初相位的方法,使用该方法来求解初相位则显得相当简洁,运算量也相当小.