多元微分求全微分问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-29 08:15 标签： 多元函数微分方程求解

摘 要：通过举例说明在多元复合函数微分法中，全微分形式不变性具有思路清晰，简化步骤和易于学生理解的优点。

关键词：全微分形式不变性；多元复合函数；隐函数；偏导

1 全微分形式不变性在多元复合函数微分法中的举例分析

多元复合函数微分法是高等数学中的重点，也是难点。用传统方法求解需要分清自变量和因变量，而全微分形式不变性的好处在于能够避开函数变量错综复杂的关系，从而使问题简化，提高正确率。

定理1：设函数具有连续偏导数，则无论是自变量还是中间变量，其微分形式不变，即。

定理2：（多元函数全微分运算法则）。

解法1：利用链式法则求解。

解法2：利用全微分形式不变性求解。

将（3）代入（2）中，得：

将（4）代入（1）中并整理，得：

例2：设，而由方程所确定，其中都有连续的导数，求。

解法1：由方程确定的隐函数的求导公式。

解法2：利用全微分形式不变性。

將（3）代入（1）中并整理，得：

例3 求由方程组 所确定的隐函数的偏导数。

解法1：将方程组两边对求偏导，得：

解法2：利用全微分形式不变性。

通过前面三个例题中两种解法对比，我们不难发现，用全微分形式不变性来求解，思路清晰，解题步骤简洁，也更有利于学生的理解，避免因为函数变量之间的复杂关系而导致的错误。

[1]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分（下册）[M].大连理工大学出版社，2013.

[2]大连理工大学城市学院基础教学部.应用微积分同步辅导[M].大连理工大学出版社，2013.

[3]同济大学数学教研室.高等数学（下册）[M].高等教育出版社，1998.

作者简介：张宇红（1979-），女，辽宁锦州人，硕士研究生，教授，研究方向：数学。

（098.空间直角坐标系 ~ 140.重积分的应用2）

7.1 空间直角坐标系

7.2 向量及其线性运算

7.2.2 向量的线性运算

加减（三角形法则、四边形法则）

数乘（长度的伸缩）（单位向量，标准正交基）

7.3 向量的数量积和向量积

7.3.1 向量的数量积（内积）

7.3.2 向量的向量积（外积）

几何意义（平行四边形的面积）

几何意义（平行六面体的体积）

平面束方程（过同一直线的平面集合）

7.4.3 平面、直线和点的位置关系

7.5.3 柱面、旋转面和锥面

7.5.5 空间曲线在坐标面的投影

7.5.6 曲面的参数方程（双参数）

8.1 多元函数的基本概念

8.2 多元函数的极限与连续

8.2.1 二元函数的极限

8.2.2 二元函数的连续性

8.3.2 二元函数偏导的几何意义

混合偏导数不是总是与求导次序无关（连续则无关）

可微与连续及可偏导的关系

全微分的几何意义（用平面去近似曲面）

8.5多元复合函数的微分法

8.5.1 复合函数的偏导数

8.5.2 隐函数的偏导数

8.5.3 一阶全微分形式的不变性

8.6 方向导数与梯度

8.7 多元微分学在几何中的应用

8.7.1 空间曲线的切线及法平面

8.7.2 曲面的且平面与法线

8.8 多元函数的极值

8.8.2 多元函数的极值

9.1 二重积分的概念和性质

9.1.3 二重积分的性质

9.2 二重积分的计算

9.2.1 直角坐标系下的计算

9.2.2 极坐标系下的计算公式

9.2.3 二重积分的变量代换

9.3.2 在直角坐标系下的计算公式

9.3.3 三重积分的变量代换

柱面坐标系下的三重积分

球面坐标系下的三重积分

9.4.2 重积分的物理应用举例

  • 向量：不仅有数值大小，还有方向
  • 向量的模或长度：单位向量，零向量

7.2.2 向量的线性运算

加减（三角形法则、四边形法则）

长度的伸缩）（单位向量，标准正交基）

7.3.1 向量的数量积（内积）

7.3.2 向量的向量积（外积）

几何意义（平行四边形的面积）

几何意义（平行六面体的体积）

平面束方程（过同一直线的平面集合）

7.4.3 平面、直线和点的位置关系

7.5.3 柱面、旋转面和锥面

7.5.5 空间曲线在坐标面的投影

7.5.6 曲面的参数方程（双参数）

8.2.1 二元函数的极限

8.2.2 二元函数的连续性

8.3.2 二元函数偏导的几何意义

可微与连续及可偏导的关系

全微分的几何意义（用平面去近似曲面）

8.5.1 复合函数的偏导数

8.5.2 隐函数的偏导数

8.5.3 一阶全微分形式的不变性

8.7.1 空间曲线的切线及法平面

8.7.2 曲面的且平面与法线

8.8.2 多元函数的极值

9.1.3 二重积分的性质

  • 可加性（区域的可加性）

9.2.1 直角坐标系下的计算

9.2.2 极坐标系下的计算公式

9.2.3 二重积分的变量代换

9.3.2 在直角坐标系下的计算公式

9.3.3 三重积分的变量代换

柱面坐标系下的三重积分

球面坐标系下的三重积分

9.4.2 重积分的物理应用举例

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