集合论中的无限有两大类：序数与势。

序数，是指总能比较大小的东西，大小关系满足三歧性和传递性，而且任何序数组成的集合都存在最小值。序数分为0（最小的序数）、后继序数（比它小的序数之中有最大值）、极限序数（比它小的序数之中没有最大值）三种。

{ω,0,1,2,3,……}，……这样一来，序数之间的“<”就等同于“∈”。

序数有一个重要的性质：从一个给定的序数α开始，每次操作取一个比它还小的序数，那么经过有限次操作以后就会得到0，而无法无限次地操作。

|B|（这个定理证起来可不简单）。

集合的势的大小关系满足传递性，而且任何集合中各元素的势总是存在最小值。于是可以把集合的势从小到大安排一大串序数：第0小的势、第1小的势、第2小的势、……、第ω小的势、第ω+1小的势、……为了方便研究无限的势，人们仍把有限的势记作0、1、2、……而把最小的无限大的势（第ω小的势）记作（即阿列夫0），把第ω+1小的势记作（即阿列夫1），把第小的势记作（注意，下标α是序数而不是势）。

对于序数α，如果任何小于α的序数都与α不等势，则称α为基数。因此，一个基数是具有同样势的一大堆序数之中最小的一个。而每一种势都恰好对应一个基数。基数同样有0（最小的基数）、后继基数（比它小的基数之中有最大值）、极限基数（比它小的基数之中没有最大值）之分。

对应于的基数是ω，对应于的基数记作，对应于的基数则记作。

习惯上，也可以用基数来表示势，即把|A| = |α|略作|A| = α。

四、序数运算和基数运算

序数的基本运算有后继、加法、乘法、乘方。

后继：，即表示大于α的最小序数。

加法：；；对于极限序数β，有。

乘法：；；对于极限序数β，有。

乘方：；；对于极限序数β，有。

基数的基本运算也有后继、加法、乘法、乘方。

后继：表示大于α的最小基数。

加法：如果集合A、B满足|A| = α，|B| = β，，那么。

乘法：如果集合A、B满足|A| = α，|B| = β，记，那么。

乘方：如果集合A、B满足|A| = α，|B| = β，记为从B到A的所有函数的集合，那么。

有了替代公理模式，我们就可以构造形如这样的集合，通过使用更大的f，就能获得更大的序数和基数。比如；omega-fixed-point

但是，有这样一种非常奇怪的基数，从任何比它小的序数或基数出发，不管怎么用序数运算、基数运算，不管怎么用替代公理模式，总还是得不到大于等于它的序数、基数。基于这个奇怪的特性，这类基数就叫做不可达基数（inaccessible cardinal）。

不可达基数定义为不可数的正规强极限基数。下面是这3个条件的含义。

不可数集合定义为势大于的集合。反之，可数集合则是势小于等于的集合。

正规序数的定义基于共尾性（cofinality）。

对于极限序数α，有许多这样的序数序列（长度为β），其中任何，且满足。这种序列称作极限序数α的fundamental sequence，它的最短长度（最小可能的序数β）称作cofinality of α，记作cf α。另外规定cf 0 =

正规序数就是使得cf α = α的序数α。

对于基数α，如果任何比α小的基数β都使得（此处乘方为基数运算），则称α为强极限基数。作为对比，极限基数α只要求“任何比α小的基数β都使得”即可。

0，可数、正规、强极限。1，可数、正规、后继。2，可数、非正规、后继。ω，可数、正规、强极限。，不可数、正规、后继。，不可数、正规、后继。，不可数、非正规、极限。，不可数、正规、后继。omega-fixed-point，不可数、非正规、极限。用通常的序数运算、基数运算、替代公理模式得出的基数，三个条件总是不能同时满足，都不是不可达基数。

不可达基数相当巨大。记I为最小的不可达基数，那么I是极限、强极限基数。I还是一个omega-fixed-point——。如果记，，（对极限序数α），那么仍有成立。而类似的序数不动点还有很多很多。

不可达基数是如此古怪，以至于声明“不可达基数不存在”都不会跟已有的ZFC公理集合论矛盾。

大基数性质正是这样一类关于基数的命题P，大基数公理“存在α，使得α是基数而且P(α)”无法在ZFC中证明也尚未证伪，而其否定——“不存在α，使得α是基数而且P(α)”不会跟已有的ZFC公理集合论矛盾（即，假如ZFC是无矛盾的，那么“ZFC+大基数公理的否定”也无矛盾）。

大基数公理之间的强弱可以通过一致性（即无矛盾性）来线性比较。对于大基数公理A和B，只有下列3种可能之一：

1. 可在ZFC中证明“ZFC+A一致，当且仅当ZFC+B一致”（此时A、B描述的大基数性质一样强）
2. 可在ZFC+A中证明“ZFC+B一致”（此时A描述的大基数性质强于B）
3. 可在ZFC+B中证明“ZFC+A一致”（此时B描述的大基数性质强于A）

一般人面对像葛立恒数、TREE(3)那样的大数，总会有这种感觉：

这与科普文写作的好坏无关，只是因为一般人的理念中没有“快速增长的函数”罢了。而想要理解大数的大小，就必须先从函数的增长快慢入手。

函数的增长快慢是无法仅用一个数来表示清楚的。比如，用一个数n来表示幂函数的增长快慢，增长得越快，对应的数n也就越大。可这样做之后，我们便没有办法来衡量指数函数的增长快慢了，因为它比任何增长得都要快，也因此不可能给它安排一个合理的数m——那样的m得大于一切自然数才行。

而解决这种问题的做法是给安排一个序数ω——这样它就比一切自然数都大了。

这样的序数是有范围限制的。考虑从自然数到自然数的函数，这样的函数总共有个，如果把序数对应到其中一部分函数上，那么那些序数也一定小于。

接下来就是构建一系列“标准增长的函数”的时刻了。说到函数的增长，一般要求

Hardy层数用表示序数α对应的函数。这些函数都满足上述两个要求的加强：。

先从一个相对很简单、增长比较慢的函数开始吧——，这就是序数0对应的函数。

从上一个函数获得下一个（增长得更快的）函数，只需利用的性质就可以了——。

至于极限序数，事情就非常麻烦了。首先做个记号：小于的极限序数α，一定满足cf α = ω，于是用α[n]表示其fundamental sequence中的第n项（n = 0,1,2,…）。然后，Hardy层数遇到极限序数的情况可以定义为。

于是剩下的问题就是：如何表达出序数，特别是比较大的、可数的、用于Hardy层数的序数？如何设置规则，从α和n确定α[n]？

首先规定序数的标准表达式：

1. 如果α和β都是标准表达式，且α ≥ β，那么α+β也是标准表达式
2. 如果α是标准表达式，且，那么也是标准表达式

例如1的标准表达式是，2的标准表达式是。

于是如下规定Wainer阶层：

此阶段可以表示小于的序数。

ε序数是满足的序数ε，也就是“ω指数函数”的不动点。记号：则是大于所有（β < α）的最小ε序数。

值得一提的是，若是定义、、（β为极限序数），那么，，还是——不管β是多少（只要大于等于ω）都是。

规定序数的标准表达式：

1. 如果α和β都是标准表达式，且α ≥ β，那么α+β也是标准表达式
2. 如果α是标准表达式，且，那么也是标准表达式
3. 如果α是标准表达式，且，那么也是标准表达式

1. ε的下标为后继序数：、

此阶段可以表示小于的序数。

ζ序数是满足的序数ζ，也就是“ε下标函数”的不动点。记号：则是大于所有（β <

可以按照类似的办法规定序数的标准表达式：

1. 如果α和β都是标准表达式，且α ≥ β，那么α+β也是标准表达式
2. 如果α是标准表达式，且，那么也是标准表达式
3. 如果α是标准表达式，且，那么也是标准表达式
4. 如果α是标准表达式，且，那么也是标准表达式

1. ε的下标为后继序数：、
2. ζ的下标为后继序数：、

此阶段可以表示小于的序数。

把ω指数函数视作第1层，把ε序数视作第2层，把ζ序数视作第3层，那么第n+1层总是可以视作“前n层函数的共同不动点”的枚举函数——这就是二元φ函数。其定义为，。

因此，φ(α,β)是所有φ(δ,·)（其中δ < α）函数的不动点，而且是φ(α,δ)（其中δ < β）这些不动点的下一个。例：、、、、、、。

规定序数的标准表达式：

1. 如果α和β都是标准表达式，且α ≥ β，那么α+β也是标准表达式
2. 如果α和β都是标准表达式，且，那么也是标准表达式

1. α = 0，β为后继序数：
2. α为后继序数，β = 0：、
3. α为后继序数，β为后继序数：、
4. α为极限序数，β = 0：
5. α为极限序数，β为后继序数：

此阶段可以表示小于的序数。

其定义为，（其中S表示任意长的一串序数），（其中α > 0，S表示任意长（长度可以为0）的一串序数，Z表示任意长（长度可以为0）的一串0）。

因此，φ(…,α,β)是所有φ(…,δ,·)（其中δ < α）函数的不动点，而且是φ(…,α,δ)（其中δ < β）这些不动点的下一个；φ(…,α,0,β)是所有φ(…,δ,·,0)（其中δ < α）函数的不动点，而且是φ(…,α,0,δ)（其中δ < β）这些不动点的下一个；φ(…,α,0,0,β)是所有φ(…,δ,·,0,0)（其中δ < α）函数的不动点，而且是φ(…,α,0,0,δ)（其中δ < β）这些不动点的下一个；……

规定序数的标准表达式：

1. 如果α和β都是标准表达式，且α ≥ β，那么α+β也是标准表达式
2. 如果都是标准表达式，且，那么也是标准表达式

1. 1参数，β为后继序数：
2. α为后继序数，β = 0：、
3. α为后继序数，β为后继序数：、
4. α为极限序数，β = 0：
5. α为极限序数，β为后继序数：

（其中S表示任意长（长度可以为0）的一串序数，Z表示任意长（长度可以为0）的一串0）

此阶段可以表示小于的序数。

所谓“序数元”φ函数，虽然非零参数的个数仍为有限个，但参数的位置可以是任意序数，有无限种取法。用表示位置为β的参数α（最右侧位置为0），则其定义为，（其中S、T表示任意长（长度可以为0）的一串序数），（其中，S表示""）。

因此，φ(…,α@β,γ@0)是所有φ(…,δ@β,·@η)（其中δ < α，η < β）函数的不动点，而且是φ(…,α@β,δ@0)（其中δ < γ）这些不动点的下一个。若将"@"后面的序数限制为自然数，此函数将等同于多元φ函数。

规定序数的标准表达式：

1. 如果α和β都是标准表达式，且α ≥ β，那么α+β也是标准表达式
2. 如果都是标准表达式，且，且，那么也是标准表达式

1. 无非0位参数，0位参数为后继序数：
2. 为后继序数，为后继序数，无0位参数：、
3. 为后继序数，为后继序数，0位参数为后继序数：、
4. 为后继序数，为极限序数，无0位参数：
5. 为后继序数，为极限序数，0位参数为后继序数：
6. 为极限序数，无0位参数：
7. 为极限序数，0位参数为后继序数：

此阶段可以表示小于的序数。

下面是Hardy层数的一些例子。

，，，这些函数都是“把自变量加上一个常数”的函数。

与此不同，它的增长比所有“把自变量加上一个常数”的函数都要快，其下标也大于所有自然数。

，，——“把自变量乘2，再加上一个常数”的函数。

【注意】与不同，前者大于后者。因为前者的ω要把“+1”归约掉之后才能归约，那时候函数里面的自变量已经变得更大了：。

，，——“把自变量乘4，再加上一个常数”的函数，比前一组增长得快。

，，——每经过一组，自变量所乘的常数都会变大，得到增长更快的函数。但它们全都是线性函数。

与此不同，它的增长比所有线性函数都要快。

，，——底数增大，但这些函数仍处在指数函数的增长率的范畴内。

与此不同，它的增长比所有指数函数都要快，达到了两重指数函数的程度。

，，，分别达到3、4、5重指数函数的增长率。

，增长得比所有“常数重指数函数”都快，达到四级运算的级别。

增长得比所有“常数重四级运算”都快，达到五级运算的级别；增长得比所有“常数重五级运算”都快，达到六级运算的级别；……但它们都还能归入超运算之中。

，其增长率达到了超运算的极限。

，增长快于一切（其中α是乘上常数所得的序数），或者有限次迭代的超运算。

，增长达到了“把超运算当作指数函数”的超运算的极限。

，增长快于一切（其中α是ω的线性函数）。

，增长快于一切（其中α是ω的多项式函数）。

，增长快于一切（其中α是ω的多项式函数）。

的增长达到了Wainer阶层（以Hardy层数衡量）的极限。

的增长快于一切（其中α是的线性函数）。

的增长快于一切（其中α是的多项式函数）。

的增长快于一切（其中α是的多项式函数）。

的增长达到了“加入了的”Wainer阶层（以Hardy层数衡量）的极限。

的增长达到了“加入了和的”Wainer阶层（以Hardy层数衡量）的极限。

的增长达到了“加入了ε序数的”Wainer阶层（以Hardy层数衡量）的极限。

的增长达到了“加入了ε序数和ζ序数的”Wainer阶层（以Hardy层数衡量）的极限。

的增长达到了“第一参数限制为自然数的”二元φ函数（以Hardy层数衡量）的极限。

的增长达到了二元φ函数（以Hardy层数衡量）的极限。

的增长达到了3元φ函数（以Hardy层数衡量）的极限。

的增长达到了多元φ函数（以Hardy层数衡量）的极限。

如果用Hardy层数来表示，那么葛立恒数介于与之间。明白了Hardy层数以后，你可以用“把简单的数值（63或64）放入Hardy层数的第个函数”所得的结果来理解葛立恒数的大小。

而n个箭头的超运算的增长大约与相当，而G函数的增长则与相当。

在所有由“顶点k染色的树”组成的，而且满足下面的两个条件的序列中，序列的最大长度就记作TREE(k)。
1. 任意正整数i，序列的第i项只有不超过i个顶点
2. 任意正整数i<j，序列的第i项不能嵌入第j项

这里，顶点染色的树之间的嵌入关系比较复杂，但可以转换成下面这个比较简单的定义。如果树A能够通过有限次“去掉一个叶子”和“去掉一个子顶点数为1的顶点，并把它的子顶点和它的父顶点连接起来”操作变成树B，那么B就能嵌入A。

如果用Hardy层数来表示，那么。而TREE函数的增长大约与相当——超越了超运算（上箭头）、超越了葛立恒函数、超越了康威链式箭号、超越了Wainer阶层（以Hardy层数衡量）、超越了二元φ函数和多元φ函数（以Hardy层数衡量）。

关于TREE(3)的分析以及“为什么它这么大”，可以参阅

（未完？若想了解更加强大的表示法，请在评论中说明）