夫物常有容,因不可导函数乘以不可导函数导之,因随物之容。 故静则顺乎德,动则顺乎道

(解题)本篇以首句“达生之情者”嘚首二字为题但达生并非其全部内容,此外还讲到达命

主旨在于讲求养生之道,以弃事遗生来达成之做到形全精复,与天为一其所以亏于形精者去之。神全无物

达生之情者(一),不务生之所无以为;达命之情者(一)不务知之所无奈何(二)。养形必先之以物物有余而形鈈养者有之矣。有生必先无离形形不离而生亡者有之矣。生之来不能却其去不能止。悲夫!世之人以为养形足以存生而养形果不足以存生,则世奚足为哉(三)!虽不足为而不可不为者其为不免矣! 夫欲免为形者,莫如弃世(四)弃世则无累,无累则正平正平则与彼更生,更苼则几矣事奚足弃而生奚足遗?弃事则形不劳,遗生则精不亏夫形全精复,与天为一天地者,万物之父母也合则成体,散则成始(五)形精不亏,是谓能移精而又精,反以相天

(一)“达生之情者”“达命之情者”:“生”之为生命,固不待言可“达命之情”又提到“命”,这个命就不能作生命解了它意为定数,就是说生是有定数的。“情”实情

(二) “不务知之所无奈何”: “知” 为 “命” 之误,前人已言之当从。

(三) “则世奚足为哉”: “世”不好解显是误字。从其上文“世之人以为养形足以存生而养形果不足以存生”来看,当是“形”之误下文的“世” 与此不同,当另论

(四)“夫欲免为形者,莫如弃世”: “弃世”作避世解虽亦可通,而其目的只在於 “无累”下文“事奚足弃……? 弃事则形不劳”,所弃者乃是“事”因可推定 “世” 乃 “事”,因音近致误

(五)“天地者,万物之父毋也合则成体,散则成始”:文中没有涉及天地、万物的问题而夹在“夫形全精复,与天为一”与“形精不亏是为能移” 中间,隔斷文意极为不合。当是羡文应予删除,故不译

通晓生命的实情的,不做为生命所做不到的事情; 通晓定数的实情的不做为定数所没法处理的事情。养长身体首先是靠物类但有的物类身体有余却不得养长;生命首先一定不离身体,但有的空有身体而生命却已丧失生命の来不能推却,其去也不能留住可叹啊! 一般人的看法以为养长身体就能保有生命,可养长身体真的不能保有生命干什么还要养长身体! 雖然不必做却又不能不做,就只好去做吧如果想着不去养长身体,最好是把一些事务丢开丢开了事务便没了拖累,没了拖累便心气平囷心气平和就和身体同获新生,获得新生就差不多了事务为什么需要丢开而生命为什么需要遗忘? 丢开事务身体便不劳顿,忘掉生命精鉮便无亏损保全了身体,复原了精神和天成为一体。身体和精神没有亏损这就叫善于运转。精妙中再加精妙返转来扩大了天的作鼡。

子列子问关尹曰(一): “至人潜行不窒蹈火不热(二),行乎万物之上而不栗(三)请问何以至于此?”关尹曰:“是纯气之守也,非知巧果敢之列居,予语女凡有貌象声色者,皆物也物与物何以相远(四)?夫奚足以至乎先(五)?是色而已。则物之造乎不形(六)而止乎无所化(七)。夫得是而穷之者物焉得而止焉!彼将处乎不淫之度,而藏乎无端之纪游乎万物之所终始。壹其性养其气,合其德以通乎物之所造。夫若是者其天守全,其神无郤物奚自入焉!夫醉者之坠车,虽疾不死骨节与人同而犯害与人异,其神全也乘亦不知也,坠亦不知也死生惊惧不入乎其胸中,是故?物而不慴彼得全于酒而犹若是,而况得全于天乎?圣人藏于天故莫之能伤也。复仇者不折镆干(八)虽囿忮心者不怨飘瓦,是以天下平均故无攻战之乱,无杀戮之刑者由此道也。不开人之天而开天之天。开天者德生开人者贼生。不厭其天不忽于人,民几乎以其真”

(一) “子列子问关尹曰”: “关尹” 守关的长官。

(二) “蹈火不热”: “热” 通“” 烧也。

(三) “行乎萬物之上而不栗”: “万物” 在句中难通显然有误。疑为“高阪”高的斜坡。坡陡难行行者易因畏惧而战抖,故以行于其上而不畏懼为奇事字因形近而误 ( “万”繁体作“萬”)。

(四) “物与物何以相远”: “远” 离也引申其意为区分开。

(五) “夫奚足以至乎先”: “先”之出现有些奇特。上句所提“物与物”是讲它们间的差别,没有先后之可言故不合。实是误字应为“哉”,形近致误

(六) “则粅之造乎不形”: “不形”模糊,恍惚

(七) “而止乎无所化”: “止”消失。与下“止”不同“无所化”混沌。

(八)“复仇者不折镆干”臸“民几乎以其真”:注家多以为他处阑入与本章文意不协。实不尽然它有几种不同情况:

1. “复仇者不折镆干,虽有忮心者不怨飘瓦是以天下平均”,是与上文相连的本章文字释如下:

A. “复仇者不折镆干”: 郭注、成疏均以镆干等利刃无心,复仇者虽然复仇心切泹也不予折损。然而这种解释错了“不折”的并不是镆干,而是复仇者这句话当以“复仇者不折(于)镆干”来理解。就是说虽有利刃當前,复仇者并不以为意决不退缩。

B. “虽有忮心者不怨飘瓦”: “虽”同“唯”“忮”恨也。句意就在怀有忌恨之心的人,飞来的瓦片打在身上也不在乎

C. “是以天下平均”:“平均”绝对不是庄子一派的主张,当然不会提出这样说法“下平均”实是误字,应是“垨全也”形近而误。上文提出“天守全”、“神无郤”的说法醉后坠车之例讲的是神全,也就是“神无郤”复仇者与有忮心者之例則是解说“天守全”,因知“下平均”是“守全也”之误

这几句话应接在“而况得全于天乎”之后,下接“圣人藏于天故莫之能伤也” 以为结。

2. “故无攻战之乱杀戮之刑者,由此道也”:有违本章的意境显系他处阑入,应予删除故不译。

3.“不开人之天而开天之忝……民几乎以其真”:与本章文字不相契合,但所论天与人确是庄子派的思想,可能是别篇的错简因考虑到别篇之论及天与人的,雜篇《徐无鬼》有这样的话:“古之真人以天待人,不以人入天古之真人。”短短几句话“古之真人”竟两出。如何安排? 注家多以屬上但从语意言,属下似更相宜如做如此安排,则后“古之真人”便不好交代其下必须有话。因疑这里所见的错简可能就是《徐无鬼》遗失的文字两者接连起来,便是:

“古之真人以天待人,不以人人天古之真人,不开人之天而开天之天。开天者德生开人鍺贼生。不厌其天不忽于人,民几乎以其真”

意思完整,没什么说不通的只是“民几乎”不大好说,因为这里与民没有关涉“民”实为“庶”之误。是“庶”字不清有人告抄录者为“庶民之庶”,录者竟把“民”字写上现把这段文字语译如下:

早年的真人,用忝来对待人不把人加在天上。早年的真人不开

启人的天,而开启天的天开启天的天产生德行,开启人的天产生贼害不否定那个天,不忽略那个人差不多就是照着真实办。原书是不是确是这样殊不敢定。这样处理也只是聊备一说

列子先生向守关的长官问道:“臸人浮在水里不感憋气,踏在火上不觉烧燎走在高坡上心里不慌,请问怎么会达到这种地步?”守关的长官说:“这是保住了纯真之气囷凭借智巧果敢不是一样的。请坐听我跟你说。凡是具有形貌声色的都是物物跟物怎么竟这样不同? 怎么就能够达到这样呢? 这只是从外觀上来看罢了。而物的生成是从恍惚中来又消失在混沌之中。那了解了这一点而深究其理的人物怎能够留在他的心中呢! 他就要居处在鈈过分的尺度之中,藏身于没有尽头的秩序之内生活在万物生生灭灭的氛围里。专一心性保养神气,融合品德以与造物者相沟通。潒这样的人保全天性完整,精神不存缺漏外物还怎能侵入呢? 就像喝醉酒的人从车上摔下来,虽然摔得很重但并没有死。骨质和别人┅样可所受的伤害却和别人不一样,因为他的精神是完整的身在车上也不知晓,摔下车来也不知晓死生惊惧都没放在心上,因此与外物发生冲突并不恐惧他因为酒保全尚且如此,何况那保全于天的呢? 复仇的人虽有利刃当前也不畏惧退缩有忌恨之心的人,纵有飞来嘚瓦片打在身上也毫不在意就是由于天性得以保全啊。圣人藏身于天所以没有能够伤害他的。”

仲尼适楚出于林中,见痀偻者承蜩犹掇之也。仲尼曰: “子巧乎有道邪?” 曰: “我有道也。五六月累丸二而不坠则失者锱铢; 累三而不坠,则失者十一; 累五而不坠犹掇之也。吾处身也若厥株拘(一); 吾执臂也,若槁木之枝(二)虽天地之大,万物之多而唯蜩翼之知。吾不反不侧不以万物易蜩之翼,何為而不得!”孔子顾谓弟子曰:“用志不分乃凝于神(三)。其痀偻丈人之谓乎!”

(一) “若厥株枸”: “厥”其也“株”树根之在地上者。“拘”定也

(二)“若槁木之枝”:“槁木”枯干的树。枯树的枝子固定在树上不能动摇喻两臂持竿的稳定。

(三) “乃凝于神”: “凝”先輩或以当为 “疑”,即“拟”“拟于神”像神一样但“凝”读如字亦可通。“凝”聚也“凝于神”集中了注意力。可不改字

孔子到楚国去,走到一片树林里看到一位驼背的老者〔举着竹竿〕来捉知了 (蝉),就像用手拣一样孔子说: “你的技艺太精了,有什么诀窍吗?”〔老者〕说:“我有诀窍练习五六个月,竹竿上顶两个小球不掉捉不到的时候就很少了; 顶三个小球不掉,捉不到的时候只有十分之┅; 顶五个小球不掉就像用手拣一样了。我站定身躯就像树桩子扎在地上一样;我扬起胳膊,就像枯树上的干枝一样不动不摇。虽然天哋那么大各种物类那么多,可我只看到知了的翅膀我没有半点犹豫,决不让别的什么东西占据〔我眼中〕知了的翅膀怎么还会捉不箌!”孔子〔听了〕,转向弟子们说: “专心一意就能把注意力集中。这正好说的是驼背老人啊!”

颜渊问仲尼曰:“吾尝济乎觞深之渊(一)津人操舟若神。吾问焉曰: ‘操舟可学邪?’ 曰: ‘可善游者数能(二)。若乃夫没人(三)则未尝见舟而便操之也(四)。’吾问焉而不吾告敢问何谓也?”仲尼曰:“善游者数能,忘水也;若乃夫没人之未尝见舟而便操之也彼视渊若陵,视舟之覆犹其车却也(五)。覆却万方陈乎湔而不得入其舍恶往而不暇! 以瓦注者巧(六),以钩注者惮以黄金注者殙。其巧一也(六)而有所矜,则重外也凡外重者内拙。”

( 一) “吾嘗济乎觞深之渊”: “觞深” 注家均以为渊名实亦有所取意“滥觞”,有微少之意如说大江之源,可以滥觞“觞深”与之相对,表礻大而深

(二) “善游者数能”: “数” 音朔 (shuo),数次之意

(三) “若乃夫没人”: “没人” 潜水的人。

(四)“则未尝见舟而便操之也”:“见”視也“未尝见舟”用不着看到船。

(五)“视舟之覆犹其车却也”: “舟之覆”都解为翻船。但翻船本船家之大忌而下文“覆却万方陈乎前而不得入其舍”,就可以解为船翻了这种事也没进到他心里去如照这样解释,操舟者岂不是以工作为儿戏而不负责任的人? 当然不是這样因而此种解释非是。实际是“覆” 为“复”之假回归也。“舟之复”是把船拢回来“犹其车却也”就像在陆地上把车开出去一樣,就是消灭了水与陆、舟与车的差别也就是忘舟,不把船当回事了所以是“恶往而不暇”,干什么不是绰有余裕

(六)“以瓦注者巧”“其巧一也”:“巧”碰运气,就是希图侥幸两者是一样的。

颜渊向孔子问道:“我曾在一个深广的觞深河渡河摆渡船的人驾得极其神妙。我问他说: ‘驾船的技术可以学到吗?’ 他说:‘可以会游水的练习几次就可以了。像那潜水的人用不着看到船就能驾了。’ 峩问这究竟是怎么回事他却不做回答,请您说一说那是什么意思?” 孔子说: “会游水的练习几次就可以了就是不把水当回事了。像那潛水的人用不着看到船就能驾船,他把深水看得像高地一样把船的回拢,看成像在陆地上把车子开出去一样任凭有什么样的拢回来、开出去的方法,都不是他所考虑的那干什么不得心应手呢! 〔在赌博局上〕,拿瓦片下注的只想能够赢用带钩下注的就有些担心,怕贏不了用黄金下注的就怕得要死了。他们盼赢是同样的〔后两种〕却是顾虑重重,是偏重在外界事物了凡是偏重在外界事物的内心僦没法掌握了。”

田开之见周威公威公曰: “吾闻祝肾学生,吾子与祝肾游(一)亦何闻焉?”田开之曰:“开之操拔篲以侍门庭,亦何闻於夫子!”威公曰: “田子无让寡人愿闻之。” 开之曰:“闻之夫子曰: ‘善养生者若牧羊然,视其后者而鞭之’”威公曰:“何谓吔?”田开之曰:“鲁有单豹者,岩居而水饮(二)不与民共利(三),行年七十而犹有婴儿之色不幸遇饿虎,饿虎杀而食之有张毅者,高门縣薄无不走也(四)。行年四十而有内热之病以死豹养其内而虎食其外,毅养其外而病攻其内此二子者,皆不鞭其后者也”仲尼曰: “无入而藏,无出而阳柴立其中央(五)。三者若得其名必极(六)。夫畏涂者十杀一人,则父子兄弟相戒也必盛卒徒而后敢出焉,不亦知乎! 人之所取畏者袵席之上,饮食之间而不知为之戒者,过也!”

(一) “吾子与祝肾游”: “与××游” 在××门下学习

(二)“岩居而水饮”:“岩居”住在山洞里。“水饮”清淡的饮食即不食烟火食。

(三)“不与民共利”:“利”便宜“不共利”,谁也不沾谁的光即是互不来往。

(四)“高门县薄无不走也”:“高门”指富户。“县”读悬“薄”草帘。“县薄”门上悬挂草帘以指穷户。“走”往也“无不走也”,没有不和他交往的

(五) “柴立其中央”: “柴” 为“砦”之假。“中央”指内心

(六)“其名必极”: 本章讲养生,不是讲洺故不当出以名。“名”实为“生”形近致误。

田开之晋见周威公威公说:“我听说祝肾深明养生之道。先生你跟从祝肾学习也嘚到了什么传授吗?” 田开之说: “我提了扫帚在他家供役,怎么得到老师的什么传授!” 威公说: “田先生不要客气我很想听一听呢。”開之说:“我听到老师说: ‘善于养生的人像放羊的人一样,看着落在后边的就来鞭打!’”威公说:“这是什么意思?”田开之说:“鲁國有一个名叫单豹的住在山洞子里,不食烟火食不和别人来往,七十岁了脸色还像小孩子一样糟糕得很,他竟然遇到了饿虎饿虎咬死他并把他吃掉。另一个名叫张毅的不论是富贵人家还是穷家小户,没有不来和他交往的活到四十岁就得心火旺盛的病而死掉了。單豹养了他的内心虎却吃掉他的外体,张毅养长了他的外体疾病却攻破他的内心。这两个人都是没有 〔掌握牧羊人〕 鞭打落后者 〔經验〕 的人啊。” 孔子说: “避世而不隐藏涉世而不张扬,守住自己的心田不为外物所伤若是把这三件事做好,也就达到了养生远荇怕在路上出事的,只要有过十人中一人遇害的事父子兄弟便都提高了警惕,一定要多人结队才敢上路不也够聪明吗? 而人们所应该引起注意的是在床榻之上,饮食之中可就是不知有所警惕,那就错了”

祝宗人元端以临牢筴说说彘(一),曰: “汝奚恶死! 吾将三月?汝 ┿日戒,三日齐(二)藉白茅,加汝肩尻乎雕俎之上则汝为之乎?”为彘谋曰:“不如食以糠糟而错之牢筴之中。”自为谋则苟生有轩冕の尊,死得于腞楯之上、聚偻之中则为之(三)为彘谋则去之,自为谋则取之所异彘者何也!

(一)“祝宗人元端以临牢筴说彘”:“祝宗人”細分之,祝与宗人为两职都是主管祭祀的;笼统言之,就是司掌祭祀的官员“元”均读为“玄”,是“玄端”为斋服和朝服,概言之可谓为礼服。其所以把“玄”写作“元”可能是清代抄录者,为避玄烨讳而改“牢筴” 猪圈。“彘” 音至 (zhi)猪。

(二)“三日齐”:“齊”读“斋”

(三)“死得于腞楯之上,聚偻之中则为之”:“腞”音篆 (zhuan)彩绘。“楯” 假为“輴”音椿 (chun)载柩车。前人已言及“偻” 是誤字,应为“翣”音霎 (sha)棺羽饰。形近而误“聚”众多之意。翣的使用因身份的高低有所不同,高者数多“聚翣”表示其身份高贵。

主掌祭祀的官员身穿礼服走近猪圈来劝猪说:“你怎么就讨厌死呢? 我好好地喂养你三个月十天静心,三天素食给你铺垫白茅,把你整个肉体安放在雕花的肉案子上你是不是肯干呢?”为猪打算嘛,就一定要说“不如用糟糠喂养而放在猪圈里。” 可为自己打算却是呮要活着的时候有高官显爵的尊贵,死了能放到彩绘的灵车上装在有许多羽饰的棺材里就肯干。为猪打算不肯要〔所谓“尊贵”〕为洎己打算就要要它,为什么就跟〔为〕猪〔打算〕 不同呢?

桓公田于泽管仲御,见鬼焉公抚管仲之手曰:“仲父何见?”对曰:“臣无所見。”公反诶诒为病,数日不出(一)齐士有皇子高敖者,曰: “公则自伤鬼恶能伤公! 夫忿滀之气,散而不反则为不足(二);上而不下,則使人善怒;下而不上则使人善忘;不上不下,中身当心则为病。”桓公曰; “然则有鬼乎?” 曰: “有沈有履(三),灶有髻户内之烦壤,雷霆处之;东北方之下者倍阿鲑?跃之;西北方之下者,则泆阳处之水有罔象,丘有峷山有夔,野有彷徨泽有委蛇。”公曰:“请问委蛇之状何如?”皇子曰:“委蛇其大如毂(四),其长如辕紫衣而朱冠。其为物也恶闻雷车之声则捧其首而立。见之者殆乎霸”桓公辴然而笑曰(五): “此寡人之所见者也。”于是正衣冠与之坐不终日而不知病之去也。

(一) “诶诒为病数日不出”: “诶诒” 为“騃骀” (喑呆待dai dai) 之假或误字,意为痴呆“騃”痴也。“骀”迟钝“病”病情严重。“数日不出”“不出”可作病的表现,但未能表痴呆之特點疑“出”为“言”字误。“不言” 正为痴呆的特征

(二)“夫忿滀之气,散而不反则为不足”:“忿滀之气”是一种急滞之气。或以昰郁结之气亦可。“反”读返这种气散发开去,便不能恢复气的原来模样因而“不足”。“不足”与旺盛相对也是气的一种状态,但难表其忿急之状疑为“促”之裂字。气促则急而短且下文“中身当心则为病”,“则为” 后只 一字因之其为“促”之一字,更見整齐

(三)“沈有履”至“泽有委蛇”: 其中所言之“履”、“髻”、“雷霆”、“倍阿鲑?”、 “泆阳”、 “罔象”、 “峷”、 “夔”、 “仿徨”、“委蛇”, 都是鬼神之名本属无稽,故不予解释及描写其形状译文只书原名。“沈有履” 之“沈”《说文》:“陵上の滈水。”为积水之处即沟。与“灶”相对“灶”是积火处。

(四) “其大如毂”: “毂” 车轮装轴的地方

(五) “桓公辴然而笑曰”:“辴” 音枕 (zhen) 大笑貌。

齐桓公在草木丛生的田野里行猎管仲驾车,〔桓公〕看到有鬼他拉住管仲的手说: “仲父看到了什么?”〔管仲〕回答说:“我什么都没看到。” 桓公归来以后神情呆滞得厉害,一连几天没有说话齐国的一个士人名叫皇子高敖的,说:“您这是跟自巳过不去鬼怎能跟您过不去呢! 急滞的气,散发出去就不能使气恢复原状而变得急促。上升而降不下来就使人容易气恼; 下降而升不上詓,就使人容易丧失记忆力: 既不上升也不下降攻入体内扑在心上就成了重病。”桓公说:“那么有鬼没有呢?”皇子说: “有。水沟裏有履火灶里有髻,门里边堆满破烂的地方雷霆住在那里; 东北角的下边, 倍阿鲑?在那里蹦跳; 西北的下边泆阳住在那里。河里有罔潒土岗子上有辜,高山上有夔郊野有彷徨,草木丛生的大片荒原里有委蛇” 桓公说: “我来问一下委蛇是什么样子?” 皇子说: “委蛇,体形大得像个车轴长度像个车辕,紫色的衣裳红色的帽子这样的家伙很难看,听到雷车的声音便抱起了脑袋动也不动地站在那里看到它的人就会成霸。”桓公哈哈大笑起来说:“这正是我所看到的。”于是整理了一下衣帽挨近皇子坐下没有多大时候不知不觉哋病竟然痊愈了。

纪渻子为王养斗鸡(一)十日而问:“鸡已乎(二)?”曰:

“未也, 方虚?而恃气”十日又问。 曰: “未也 犹应向景(三)。”十日又问曰: “未也,犹疾视而盛气”十日又问。曰:“几矣鸡虽有鸣者,已无变矣望之似木鸡矣,其德全矣异鸡无敢应者,反走矣”

( 一)“纪渻子为王养斗鸡”:“王”多据《列子·黄帝篇》以为周宣王。不予考证。

(二)“鸡已乎”: 句意不明,因有注家据《列子·黄帝篇》在“已”上增“可斗” 二字。但《列子》晚出,未必即《庄子》原文,不足引以为据。句中有误字。“已”乃“可”之误。“鸡可乎” 即“鸡可斗已乎”之意。

(三) “犹应向景”: “向”繁体作嚮通响。“景” 读影

纪渻子给周宣王训练斗鸡。过了十天〔宣王〕 问: “鸡可以斗了吗?”〔渻子〕答说: “不行,它还满不在乎地觉着不得了呢”过了十天,〔宣王〕 又问回答说: “不行,它聽到别的鸡叫或是看到身影还想去应战呢。” 过了十天又问回答说: “不行,它还在瞪大眼睛鼓胀肚皮呢”过了十天又问。回答说:“差不多了虽有别的在叫,它已经无动于衷了看上去像个呆鸡了,它的德性完好了别的鸡没有敢来应战的,见它都转身跑掉了”

孔子观于吕梁,县水三十仞流沫四十里,鼋鼍鱼鳖之所不能游也见一丈夫游之,以为有苦而欲死也使弟子并流而拯之。数百步而絀被发行歌而游于塘下(一)。孔子从而问焉曰: “吾以子为鬼,察子则人也请问蹈水有道乎?”曰:“亡(二),吾无道吾始乎故,长乎性成乎命。与齐俱入与汩偕出(三),从水之道而不为私焉此吾所以蹈之也。”孔子曰:“何谓始乎故长乎性,成乎命?”曰:“吾生於陵而安于陵故也; 长于水而安于水,性也;不知吾所以然而然命也(四)。”

(一)“被发行歌而游于塘下”: “塘”堤岸“下”处所。“游於塘下”浮到岸边上来

(二) “亡”: 读无。加强语气

(三)“与齐俱人,与汩偕出”:“齐”为“脐”之假或以为人腹之脐,或以为磨盘の脐均可,即漩涡“汩”音骨 (gu),涌流

(四)“吾生于陵而安于陵,故也; 长于水而安于水性也; 不知吾所以然而然,命也”: “陵”高地即陆上。“故”本然“性”物之性。“命”自然之命

孔子到吕梁去游览。居高临下水从二三十丈高的地方直流而下,激起的水沫鋶到四十里之远即使 (久生活在水的) 鼋鼍鱼鳖也没法游过。却见到一个壮汉游在那里孔子以为这是由于有难处而想死掉的,于是派学生順着水流把他救上来走了有几百步,壮汉游出水面披散着头发哼着小调浮到堤岸上来。孔子走上前去提出疑问说:“我以为你是什么鉮怪了仔细一看原来就是人。请问一下你在水里善于行走有什么诀窍吗?”〔壮汉〕说:“没有没有我没有诀窃。我开始是遵照老规矩,接着熟悉了顺物之性最后做到了顺自然之命。随着脐一样的漩涡一起入水再随着上泼的大浪一块儿出来,顺从水流的形势并不掺雜个人的私念这就是我在水里善于行走的方法。” 孔子说: “什么叫开始是遵照老规矩接着熟悉了顺物之性,最后做到了顺自然之命?”回答说:“我生在陆地就安于陆地这就是遵照老规矩;熟悉了水就安于水,这就是顺物之性;做到了而我不知道为什么是这样而竟是这样这就是顺自然之命。”

梓庆削木为鐻(一)鐻成,见者惊犹鬼神鲁侯见而问焉,曰:“子何术以为焉?”对曰: “臣工人,何术之有!虽嘫有一焉: 巨将为鐻,未尝敢以耗气也必齐以静心(二)。齐三日而不敢怀庆赏爵禄;齐五日,不敢怀非誉巧拙;齐七日辄然忘吾有四枝形体也。当是时也无公朝(三),其巧专而外滑消(四)然后人山林,观天性形躯至矣,然后成见鐻(五)然后加手焉,不然则已则以天合忝,器之所以疑神者(六)其是与!”

(一) “梓庆削木为鐻”: “鐻”依成疏订为夹钟式的乐器。

(二) “必齐以静心”: “齐” 读斋下同。

(三)“無公朝”:“朝”郭注以为朝廷自此以始,从无他解但用来解释这句话,又觉得难合实际梓庆,工人当时工人地位低下,即使给官家做工也无关朝廷之事,不像官吏那样按时入朝此解非是。按:“朝”有拜会之义“无公朝”不公开与人相会,即不再出头露面與外人接触

(四)“其巧专而外滑消”:“巧”在这里出现,殊为不合因为这是讲斋后的情况,斋以静心非是论巧,巧属技术故不合。其下为“外滑消”“巧专”与之相对,当是“内专”“内”指心,形近而误“滑”为“汩”之假,训没“外滑消”外事消散。內外相合正静心的状况。

(五) “然后成见鐻”: “见”读现露出。

(六) “器之所以疑神者”: “疑” 为“拟” 之假

一个名叫庆的木工削剝木材制作钟鐻。钟鐻做成看到的都惊叹是鬼斧神工。鲁侯看过向他提问说:“你是用什么绝技来做的啊?”〔庆〕回答说: “奴才是個工匠,哪有什么绝技! 话又说回来也有一着: 奴才在要做鐻的时候,从来不敢为了这事损耗元气一定进行斋戒来保持心的纯净。斋戒彡天打消取得赏赐官位的念头; 斋戒五天,打消非难赞誉、是巧是拙的考虑; 斋戒七天立刻忘掉我还有四肢百骸。就在这时候不再出头露面和外人接触,一心 一意排除了外物干扰然后进入山林,观察树木的质地和形状做到一丝不苟。然后画出鐻的样子然后着手制作,如果不是这样就停止不做。这是以我心的天来适应自然的天做成的器物所以被看作神奇的,是不是就在这一点上!”

东野稷以御见庄公进退中绳,左右旋中规庄公以为文弗过也(一)。使之钩百而反(二)颜阖遇之,入见曰:“稷之马将败” 公密而不应。少焉果败而反。公曰:“子何以知之?” 曰: “其马力竭矣而犹求焉,故曰败”

(一)“庄公以为文弗过也”: “文”用以称马技,似生僻或以《吕覽·用民》 为“以为造父不过也”,即引以为证,谓“文”乃“父”之误,而上脱“造”字。或以“文”为画图,“进退中绳,左右旋中规”像画图一样前者书晚出,可能因原文难解而有所改易后者为臆说,均不足据“文”实不误。文与武相对庄公观马技,文武兼试“中绳”“中规” 以为文,其后“使之钩百而反” 则是武

(二)“使之钩百而反”:“钩”成疏谓“任马旋回”,后之注家多释为兜圈、咑转其实不然。《说文》:“钩曲也。”《左传·僖公十八年》:“曲踊三百。”杜注:“曲踊,跳踊也。百犹励也。”《正义》:“曲踊,以曲为言则谓向上跳而折复下,故以曲踊为跳踊耳言直上向下而已。……杜言百犹励……盖复训励为勉言每跳皆勉力为之。”准此“钩百”乃是奋力上跳,折而复下这样做激烈费力,故视为武

东野稷为展示驭马的技术晋见鲁庄公,〔马在奔驰〕进退直嘚像一条绳,左旋右转像有圆规比着一样庄公看着认为文技是没法超过的了。〔东野稷〕 又驱马向上奋力蹿跳折而复下。颜阖恰巧看箌这一幕于是进前向庄公说: “稷的马要垮了。” 庄公假作没有听见没有理会。不多时间马果然垮了下来。庄公问颜阖道:“你怎麼知道要垮?”颜阖说:“马的力量已经用尽却还来逼迫它,所以断定它必垮”

工倕旋而盖规矩(一),指与物化(二)而不以心稽故其灵台┅而不桎(三)。忘足履之适也(四);忘要,带之适也;知忘是非心之适也(五); 不内变,不外从事会之适也;始乎适而未尝不适者,忘适之适也

(┅)“工倕旋而盖规矩”:“旋”多释为圆转。但圆转只能“盖规”不能“盖矩”,因以“矩”为衍实则不然。“旋”音绚 (xuan)绕也。在這里当释为手指一划圆、方均可,故言规矩“盖”取合义。“盖规矩”便是与规矩相合

(二) “指与物化”: “物”指工倕所成之物。“化”融合为 一

(三)“故其灵台一而不桎”:“灵台”或以为指心。但上句“不以心稽”已言及心便无再以“灵台”表心之必要。其所表示的为精神即灵感。“桎”音质 (zhi)碍也。

(四)“忘足履之适也”: “忘”与“适”相对为言,因忘而适“适”方便。不计脚的大小就为鞋提供了方便,免去限制下之“忘”、“适”,意同

(五)“知忘是非,心之适也”:依上文例“忘”上均无字,此处“忘”上哆出一字殊有未合,或以为衍实则非衍,乃是误置此“知”当在“心”之后,读智“心智” 乃分辨是非的能力。

尧时的一名叫倕嘚匠人用手指一划,〔圆是圆方是方〕,就和用规矩划出来的一样手指和所成之物融合一气,并不需要用心进行规划因而灵感专┅而不受阻碍。不计脚的大小鞋子就有了自由; 不计腰的粗细,带子就有了自由; 不计是非心智就有了自由; 内里没有三心二意,不受外界嘚影响做事就有了自由; 开始有了自由而没有感到有什么不自由,就是不计自由有了自由

有孙休者,踵门而诧子扁庆子日(一):“休居乡鈈见谓不修(二)临难不见谓不勇。然而田原不遇岁事君不遇世,宾于乡里逐于州部,则胡罪乎天哉?休恶遇此命也?”扁子曰: “子独不聞夫至人之自行邪(三)?忘其肝胆遗其耳目,芒然彷徨乎尘垢之外逍遥乎无事之业,是谓为而不恃长而不宰(四)。今汝饰知以惊愚(五)修身以明污,昭昭乎若揭日月而行也汝得全而形躯,具而九窍无中道夭於聋盲跛蹇而比于人数亦幸矣(六),又何暇乎天之怨哉!子往矣!”孙孓出扁子人。坐有间仰天而叹。弟子问曰: “先生何为叹乎?” 扁子曰: “向者休来吾告之以至人之德,吾恐其惊而遂至于惑也”弚子曰:“不然。孙子之所言是邪先生之所言非邪,非固不能惑是;孙子所言非邪先生所言是邪,彼固惑而来矣又奚罪焉!”扁子曰: “不然。昔者有鸟止于鲁郊鲁君说之,为具太牢以飨之奏九韶以乐之。鸟乃始忧悲眩视不敢饮食。此之谓以己养养鸟也若夫以鸟養养鸟者,宜栖之深林浮之江湖,食之以委蛇则平陆而已矣(七)。今休款启寡闻之民也(八)吾告以至人之德,譬之若载鼷以车马乐以鍾鼓也,彼又恶能无惊乎哉!”

( 一)“踵门而诧子扁庆子曰”:“踵门”登门拜访“诧”惊讶。扁庆子并未显示奇异何致至门感到惊讶? “詫” 字实误,应是 “诘”问也。形近致误

(二) “休居乡不见谓不修”: “见” 读现,显现也下同。

(三) “子独不闻夫至人之自行邪”: “自行”任事物自行

(四)“是谓为而不恃,长而不宰”:“为而不恃”、“长而不宰”《老子》语任其自然之意。

(五) “今汝饰知以惊愚”: “知”读智“惊”读“警”。

(六)“无中道夭於聋盲跛蹇而比于人数亦幸矣”:“於”注实以为“阏”之假是,当从“阏” 音遏 (e),短折也“夭阏” 短命。

(七) “食之以委蛇则平陆而已矣”: 句意不明。自 “昔者有鸟止于鲁郊”至此的一段话与见于《至乐》的大致相同,其论以鸟养养鸟的一小段是这么说的:“夫以鸟养养鸟者宜栖之深林,游之坛陆浮之江湖,食之鳅? 随行列而止, 委蛇而處”以此为根据, 注家指出“食之以委蛇”应是“食之以鳅?, 委蛇而处”句中有脱漏, 应予补足这是对的。而对“则平陆而已矣”以为在“则”之下,“平陆”之上应加“安”字但这是无来由的。《至乐》句为“游之坛陆”“平陆”与“坛陆”同义。从此來看这句话应是“游之平陆而已矣”。“则”为“游”之讹下脱“之”字。如此处理语义方足。

(八)“今休款启寡闻之民也”:“款”通“窾”音款(kuan),空也“窾启”有待开窍。

有一个名叫孙休的人到扁庆子先生家去拜访,问道:“我要无声无臭地呆在家乡算我沒有本事,遇到祸患不能挺身而出算我没有勇气,可是种地赶不上好年景做官遇不到好世道,乡里不要城里不留,到底是怎么得罪咾天了呢让我遭到这样的命运呢?”扁子说:“你就没听过说至人随外物而自便吗?忘掉身体,抛弃耳目糊里糊涂地徘徊在龌龊的世界之外,逍遥在无事可做的事业之中这就是有所作为并不放在心上,有所增进但任其自便可你使尽了招数来防备愚昧,修身自好来除治污垢亮亮堂堂地像举着太阳月亮来走路。你能够保全你的躯体备齐了你的九窍,不曾半路夭折不曾聋了、瞎了、瘸了、拐了,排在人嘚行列里也就够幸运的了,哪里还有工夫怨天呢! 你请便吧!”孙休退出扁子走进屋去。坐了一会儿仰起了脸叹了一口气。弟子们问道:“先生为什么叹气啊?”扁子说:“刚才孙休到这里来我给他讲了至人的德性,我怕他觉得奇怪以致大惑不解啊!”弟子说:“不见得僦是这样。如果孙休所讲的对呀先生所讲的不对呀,不对的不能够迷乱对的; 如果孙休所讲的不对呀先生所讲的对呀,他会感到迷惑而洅来了又有什么过错啊!” 扁子说:“话不是这么说。过去有一只鸟飞落在鲁国郊野鲁君很喜欢它,给它准备了猪牛羊丰盛的美食供它餐食演奏九韶雅乐来引发它的兴致。鸟开始愁苦惊惧不敢饮食。这乃是用自己的生活方式来打点鸟的生活如果用鸟的生活方式打点鳥的生活,就该使它栖止在密林之中浮游在江湖之上,吞吃着小鱼随随便便地生活着,游荡在空旷的田野间也就是了而这个孙休,呮是一个有待开窍的没有识见的人给他讲说至人的德性,有如把个小田鼠用车马来运载用钟鼓来引发小鸟的兴致,他又怎么能够不觉嘚奇怪呢!”


人类是“从事构造化活动的动物”给客观事物赋予某种意义或价值。利用符号认识新事物使客观世界秩序化,创造科学文化世界
所有的人类活动都基于象征表示,洏类似于数学这种抽象本质的活动就绝对需要符号体系
符号,生活中处处可见例如学生的校徽,商店的招牌公路边上的标识牌,通訊用的旗语数学或物理符号,化学元素符号等正如著名语言学家皮埃尔·吉罗所说“我们生活在符号中”。
一般来说,“符号”是某種事物的代号它的意义是,采用一一对应的方式把一个复杂的事物以简单的形式表现出来。当某事物作为另一个事物的替代而代表另┅事物它的功能称为“符号功能”,承担这种功能的事物被称为“符号”有时当事者根据自己的主动性判断用某一个事物代替某事物,这时前者称为“符号”。例如人们看到“闪电”就会想到“打雷”,闪电就是“符号”以此类推,人类可以把所有事物都冠以“苻号”
“所有事物即符号”说法太过宽泛,现代符号学所说“符号”为传播一定的信息而使用不用于传播目的的自然标志则不称为“苻号”。尽管人们经常说云是雨的标志烟是火的标志,但是符号学不承认它们的符号地位因为这些“云”和“烟”并无意传播给我们信息。
不过自然标志可以作为符号使用。电视播放的气象云图中的云公安部门对于指纹的描述等。
为了区别于自然标志人们把符号萣义为传播意识的一种意愿标志。一种符号就是一种刺激也就是一种可感实体,这种刺激为了传播而和另一种刺激的影像连在一起因此,语言及语言的各种辅助手段礼仪,交通讯号等等都可作为符号。
有些数学家还对“符号”和“记号”加以区别。所谓记号指的昰我们感知的外部世界可以彼此加以区分,根据一定规则而有别于其他事物例如耳朵听到的声音,看到的事物等
各记号之间有一种關系叫做同型关系或等价关系,满足三个性质:
自反性:每个记号与自己同型
对称性:若事物甲与事物乙同型,则事物乙与事物甲同型
可传递性:若事物甲与事物乙同型,事物乙与事物丙同型则事物甲与事物丙同型。
把同型的记号共同性质抽象出来可以得到符号概念
例如:伸出四个手指,绳子上打四个节地上划四个横线,碗里放四颗豌豆等都可以作为记号,可以看作是同型的可以抽象出符号“4”的概念。
按照以上观点记号是具体事物,符号是经过抽象而得到的抽象事物很多书刊对符号和记号两种概念不做区分,在某些情況下二者很难区分。
人类为什么要创造符号呢事情很简单,当我们讨论或提到某一事物时在一般情况下,无法使用事物本身必须使用表示该事物的符号。例如我们在讨论火山、地震或洪水时我们不能把“火山”、“地震”和“洪水”搬过来;我们说太阳是恒星时,自然也无法搬动它所以人类需要创造和使用符号。
语言是人类生活中不可缺少的符号是人类最熟悉的符号。是人类接触到的各种各樣符号体系中最典型的符号体系人们常说“语言是传达思想的手段”。其实语言不仅是“手段”,还超越了“手段”的意义“语言”同文化和思考问题的方法都有深刻的联系,因此有语言学家提出,语言是“文化的象征从而它能够规定思考方式”。语言是“文化嘚模式”除掉作为手段和实用功能外,还具有美学功能
符号源于人类“给予意义”的行为,即给予某种事物某种意义从某种事物领悟出某种意义。凡是人类所承认的“有意义”的事物均是符号
人类“给予意义”的行为,在日常生活中首先是依靠“语言”的使用而進行的,通过“创造语言”给予某种事物以某种意义类似活动是所有人都在不停进行中的。例如某人给自己养的一只大黄狗取名“安倍”为什么要取名字呢?是为了区别于其他的狗这只狗很好战。由于赋予名称使黄狗具有其他狗不具有的属性,完成给予意义的活动诗人、文学家、政治家等“为了打破日常语言约定俗成的规定”都不断地“创造语言”,并把这些新鲜词汇作为超越日常生活的工具呮要新词汇具有某种意义,则该词汇就是“符号”新“符号”所产生的新内容给我们的世界增加新知识。这是一种创造性活动是“创慥语言”活动。
人类对于某些对象命名时无需清楚了解事物本身具有的性质。比如:“上帝”一次早已有之上帝本来面目是什么,也許终究弄不清尽管如此,人们总想通过命名假定某种事物的存在,并根据自己位置给它规定位置。上帝是人类尝试描述一个未知事粅根据它和自己的关系,给予它意义把它引入到世界的产物。在自然科学研究中也经常引入某些未知粒子或天体符号进行研究和论證。
从宗教到艺术和科学研究领域人类给周围事物命名,赋予意义给予符号,以便捕捉未知事物研究和掌握世界。
现代符号概念已鈈再局限于人类语言活动已经扩展到人类社会多个方面。人文科学中神话、宗教和文学等等,都被视为符号系统几乎所有自然科学汾支,都有各自专有符号系统不过,关于语言符号的研究至今还是最重要的。因为它是“其他符号研究的基础和模式”
人类使用以語言为中心的各式各样的符号,“肯定和维持已经诞生的人类文化秩序使其功能化”;“有效地处理新事物把握其意义和价值,并把它納入秩序化社会中”以致创造新科学世界。正如某些学者所说人类是“使用符号的动物”。
任何符号都包括两个方面即符号形式(能指)和符号内容(所指)。符号是传播意识的一种意愿标志核心是用“某事物代表某事物”。任何符号总依赖于两个“某事物”间相互依存关系人们把这两项依次称作“符号形式(能指)”和“符号内容(所指)”。瑞士著名语言学家、现代语言奠基人索绪尔称前者為“声音形象”而后者是“声音形象所表达的概念”,还有学者称这两项为“表达表面”和“内容平面”例如1949年南京“总统府”门楼仩升起五星红旗,五星红旗是“符号形式”或“能指”“南京解放”就是“符号内容”或“所指”。
符号功能是用符号形式代表符号内嫆基础是“符号形式”和“符号内容”间相互依存关系。缺少其中任何一项“符号”以至“符号功能”都不能成立。例如鹦鹉模仿囚类语言说“早上好”的时候,从表面看来使用了人类一致的符号但是它使用这种符号并非出于同样的符号内容,所以不能说与人类使鼡相同的“符号”或“符号形式”其实,它们都是一些无所指的或者说没有符号内容的事物不应作为“符号形式”来处理。
“符号形式”和“符号内容”在逻辑上互为相互依存关系十分明确但是,二者相互依存关系在心理上并一定总是对称的在日常使用的语言中,“符号”一词运用常常是指“符号形式”这是由于在符号的两个侧面中,“符号形式”对我们来说都是可以以某种形式感觉到的对象,而“符号内容”则未必由于“符号形式”属于符号“显式”侧面,所以能够很容易与“符号”本身存在联系起来暗示“隐式”符号內容的存在,从而代表“符号”整体例如,“停止”这个符号形式就属于这种情况。如果球赛正在进行这“显眼的”“符号形式”僦会暗示双方以“符号内容”--“停止球赛”。反之用“符号内容”代表“符号”整体就很困难。
“符号形式”优先最典型的例子是宗敎性的象征符号。这种象征符号中的“符号内容”是在日常应用的符号的层次上难以理解的超越日常范围体验。信徒相信在作为“符号形式”象征符号背后存在着某种“符号内容”,并有意体验和把握它纳粹党旗“卐”也是宗教符号。只要作为象征符号“符号形式”被明确规定“符号内容”的存在就会充分得到暗示。
符号学顾名思义,即研究有关符号的科学
有关符号的思想,可追溯至古代古唏腊伟大的哲学家亚里士多德在《解释篇》中讨论中谈论语言时,已经涉及到符号问题其中写到“由嗓子发出的声音是心灵状态的象征,写出的词句是由嗓子发出的词句的象征同样,写出的文字在所有人哪里不会一样,尽管心灵状态在所有人哪里是一样的这些心灵狀态为其意向的事物也是一样的”。这里他已经谈到了声音,心灵状态和事物之间的关系象征与符号是同义词。
稍后斯多葛学派哲學家为建立严密的三段论逻辑而明确讨论符号问题。他们认为符号有其发音的部分,有被其揭示的事物(取决于人类思维)有被其指礻的外部对象。它们是相互联系的其中声音和对象是有形的,而事物是无形的与现代人们所讲能指、所指和指代对象三个概念十分接菦。
到17世纪伟大的哲学家、数学家莱布尼茨,全面发展斯多葛学派哲学家关于符号的思想认为关于符号的科学,应能排列符号使其表达所思。他终身事业之一是寻找一种通用语言潜心研究《万能算法》。目标是建立一种符号和术语体系以便整理和简化逻辑推理的基本要素。他在数学中达到自己的目的在一切科学和数学中,他所建立无穷小运算是符号和术语体系极好范例莱布尼茨被誉为历史上朂伟大的符号学者之一。
19世纪布尔的符号逻辑发展了莱布尼茨的《万能算法》。布尔在其《逻辑的数学分析》中把数学方法引入逻辑學,同时提出不借助哲学和心理学就可以说明能指过程的一些数学程序。在这一道路上美国哲学家、逻辑学家皮尔斯提出有必要建立噺科学,这种科学论述符号意指作用(能指与所指关系)论述意指作用在诸系统之间的可调换性及它们在物质范畴内的关系,就是符号學在他看来,符号学不过是更广泛逻辑学代名词他写道:
“逻辑学,我认为我曾指出过就其一般意义而论,只不过是符号学另一种說法而已符号学是关于符号的几乎是必然的和形式的学说而已,符号学是关于符号的几乎是必然的和形式的学说在把这门学科描述成‘几乎是必然的’或形式的学科时,我注意到我们是竭力来观察这些符号特征的,而且根据这些观察,并借助于抽象活动的一种过程我们已经到了可以对由科学才智使用的各类符号的特征进行十分必要的判断的时候了。”
他的《存在的曲线图》一书使人看出,他曾試图建立一种广泛的符号学
几乎在同一时期,索绪尔把符号学设想为“研究社会生活符号生命的科学”他把言语活动看成一个系统,這个系统不同于纯粹逻辑系统写道:
“语言是一种表达观念的符号系统,因此可以比之于文学、聋哑人的字母、象征仪式、礼节、形弍、军用信号等等。 它只是这些系统中最重要的因此,我们可以设想有一种研究杜会生活中符号生余的科学它将构成普通心理学的一蔀分,我们称它为符号学它会告诉我们符号是由什么构成的,受什么规律支配因为这门学科还不存在,我们说不出它将会是什么样子伹是,它有存在的权利它的地位是预先确定了的。语言学不过是这门一般科学的一部分将来符号学发现的规律也可应用于语言学,所以后者将属于全部人文现象中一个非常确走的领域”
这里索绪尔明确了语言学和符号学之间的关系,并预示了语言学研宄将会对普通苻号学的发展倣出贡献
人们一般认为,皮尔斯与索绪尔是现代符号学的奠基人索绪尔着重符号的社会功能,皮尔斯着重符号的逻辑功能这两方面畏密切相关的。
有关符号的一般理论是在本世纪初才出现的这种理论最初以普通语义学的名称,首先引起了逻辑学家们的興趣索绪尔的设想,很晚才得到实施那是1964年,法国著名符号学家 罗兰?巴特写出了《符号学要索》―文
1969年,国际符号学研究协会成竝这标志着符号学研究进入了一个新阶段,之后欧、美、前苏联及日本等国均有不少人开饴研究符号学;很多学科都采用了符号学的研究方法,符号学的分类研究导致了符号学研究的各个分支,使人们看到了符号学在不少领域具有广阔的前景
目前,数学符号学是亟待开垦的“处女地”
数学的世界是一个符号化世界。
使用符号是数学史上的一件大事符号和公式等人工语言的制定是最伟大的科学成僦,在很大程度上决定数学进一步发展数学语言“就像一座灯塔,照亮黑暗中很大一片区域照亮自然的未被探索的秘密”。
数学语言昰由符号和记号组成的语言
数学概念本省很抽象,无影无踪的为了传播数学概念,就必须借助于一些具体可感代用物这种不得不被無休止使用的代用物就是数学符号。
“符号是交流和传播数学思想的媒介”世界各国都有各自使用的语言,汉语、英语、法语、德语、俄语…但数学语言可以世界通用,它是“国际性的是唯一完全国际化的语言。”凡是受过一定数学教育的人都认识下列符号语言,鈈需要翻译:
形式主义学派曾提出一种看法:数学对象就是符号本身数学的命题则是由一定的法则组成的符号系列,这些符号和符号系統可能有直观的涵义但这些涵义并不属于数学。现代形式主义学派代表柯恩还提出数学应当被看成一种纯粹纸上符号游戏,对这种游戲唯一要求是不导致矛盾
尽管该观点具有片面性,但从侧面反映数学语言的符号化特征;他们的研究工作产生过积极作用推动数学发展。
数学的对象不是符号本身一百多年前恩格斯指出:“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数学关系。”根据百余年的发展变化現在徐利治先生进一步指出,数学是“实在世界的最一般的量与空间形式的科学同时又作为实在世界中最具有特殊性、实践性及多样性嘚量与空间形式的科学。”由于“数学思想超越时代和地位在社会、政治、经济条件之外进行,……作为社会和经济条件产物的自然语訁不适合这种目的因而不得不发明一种为进行抽象思维的符号语言。”尽管这种语言很抽象但数学为生活的各种哲学提供新的基础。
數学语言是按照不同方向改革自然语言的结果:(1)简化自然语言(2)客服自然语言模糊不清特点,(3)扩充自然语言表达范围
自然語言有不方便之处。例如表达把两数和立方公式用自然语言:两数和立方等于第一个数立方、第一个数平方和第二个数乘积乘3、第二个数竝方和第一个数乘积乘3、第二个数立方四项和文字叙述很繁琐,改为数学语言:
大大缩短语言表达“长度”还呈现出对象本省具有的對称型。数学语言必须“从冗长的自然语言中解放出来”
自然语言有含糊不清的地方。比如“机关”可以表示政府职能部门可以表示陰谋诡计:“机关算尽太聪明,反误了卿卿性命”还可以表示各种密室,金库大门防盗设施等数学需要描述准确清晰。
数学语言和自嘫语言本质区别一个在于使用变元由于使用各种变元,数学语言能够明确表示一段规律极大地扩充语言表达范围。
可见把数学语言叫做符号语言是很有道理的。尽管自然语言也使用符号但和数学语言有本质区别。“数学语言对任何人来说都是最简单明了、最严格語言”。
一个语言同时满足两个条件就足以描述某类对象:(1)这类对象中每个对象都有对应语言表达---名字;(2)不同对象具有不同名芓。
可见名字在语言中具有重要地位与讲话中表示对象联系在一起。一般地人们把语法中专有名词(例如“上海”、“函数”、“太鍸”)例叫做名词。对象是名字代表者或意义既可以是具体对象,又可以是抽象对象(如方程$x^2-4=0$,$\triangle ABC$指数函数倒数等),还可以是任意概念、性质、关系、过程、事件或事件系列等
同一个对象可以有不同名字,按不同方法描述给定对象例如:
等式$5-3=(13+7):2$表明,等号两边名字表示楿同对象
但是,数学中用作名字的符号表示对象不能多于一个。
必须区分对象及其名字在一个句子中遇到一些对象名字,句子讲述目标是对象不是名字。例如“将数字66分为两半”这句话要是把记号66所表示对象---数66分成两部分,结果为33如果误解为“将记号66分为两半”,则结果为数字符号6
人们对某些对象命名时,不需要清楚了解它们本来面目和性质数学中也一样。一般来说有可能了解名字含义,但对于代表者却一无所知只知道是由其涵义确定的。例如方程$x^5-5x^3+1=0$最小实根名字涵义很明确,尽管我们不知道五次方程求跟公式利用洺字涵义,可以计算方程根到任意精度
在数学中,表示相同对象的记号称作常元因此,人们常把各种数学对象称为常元因为每个名芓始终表示同一个对象。例如名字“6”“$\sin$”(表示正弦函数)。“$\mathit{N}$”(表示自然数集合)“$\sqrt3$”等等都是常元。
{\heiti}\quad 求证任一自然数与其後继数积恒被2整除
因为自然数集合具有无限性,故无法使用列举法对逐个自然数加以证明我们可以选择"任意自然数$n$",分为两种情况讨论。
上述证明过程使用符号$n$表示自然数集任意元素。如果用自然数集具体元素代替可证明具体元素结论。例如$n$=3,则$3\times(3+1)=12$是偶数
可见,上述推悝过程中符号$n$有具体名字代表者作用,就像自然语言代词有名词代表者作用一样在数学中,有与符号$n$类似的符号叫做变元
由此可见,变元是一种符号可以代替某个集合任意元素。集合是由可以代替变元的元素组成称作变元值集或变域。通常为非空的
数学表达式性质与变元的变域密切相关。例如分解因式$x^2-4$根据变元$x$所在变域,需要分别对有理数域、实数域和虚数域分别讨论使用变元时,需要注意变域
变元是数学基础概念,表面上极其简单以致于有数学家说“变元的概念并不是逻辑所必需的,可以不必引入”事实上,变元昰“数学语言的元素”“不论在数学、数理逻辑乃至日常语言中都占有非常重要、非常关键的地位”。要澄清数学中某些模糊不清或容噫混淆的概念都离不开变元。苏联数学教育家斯托尼亚尔曾指出:“传统教学法根本缺点之一是没有形成学生关于数学语言最重要因素---关于名字和变元概念。”
目前很多人已接受类似观点:变元指的是符号,不应该指事务或数量;严格来讲变元是符号,可以代替某類符号中任意一个符号通常,人们说“变元可以代替任意一个变域中的事物”数学家罗素说“变元所指是含糊的,因而是不确定的事粅”这些说法都是不够确切的。所谓“任意”所谓“不确定”,应该就符号而言而不是就事物而言。因此很多读者把变元看作变量的看法不妥当。
关于变量一词自17世纪引入数学以来,意义一直不够清楚提到变,需要涉及到时间而时间在数学中没有很好的定义。从而“自变量”提法本身具有缺点,因为它依赖时间变化不能脱离时间而“自变”。有学者建议废弃变量一词而将变量改称“Argument(德文)”,但没有恰当译名但不应再译为自变量是肯定的。还有人建议将“自变量”和“因变量”分别译为“first entry”和“second entry”但也没有很好嘚译名。因此人们还要按照习惯使用“变量”,“自变量”“因变量”等词。
变元可以代替变域中任何符号相反,它的位置可由变域中任何符号填入因此,变元基本上是空位国外文献常把变元称为“位置保持者”(placeholder,英语)能够反映变元实质,很有表现力
我國华罗庚金杯少年数学邀请赛,有一道题目是将01,23,45,67七个数字分别填入圆圈和方格内,每个数字只允许出现一次组成只有一位数和两位数算式。填在方格内数字是多少
美国小学数学教育现代化活动领导人戴维斯曾断言,从“小窗户”过渡到字母很自然且比较嫆易
这样做可以得到有关变元的正确观念。根本原因在于“变元基本上就是空位”
但是,变元和空位毕竟不相同数学中不可能长期使用带有“小窗户”的语言。对于这种带“小窗户”的式子进行数学推演是困难的、极不方便的从长远来说,必须引进变元概念及符号否则数学不能继续向前发展。
严格来讲这种古怪符号不称为变元,但通常则说它以约束形式引入符号组合,称为约束变元例如:
洳果某变元是约束变元,那么该变元可以替换成其他任意符号而不改变表达式涵义。例如记号
具有相同涵义---代表同一个表达式表达式Φ变元是自由变元,用其他符号代替时表达式涵义发生改变。例如表达式"$3x+6$"和"$3y+6$"涵义不同
变元在数值中取值,这类变元称为数值变元现玳数学不仅要应用数值变元,还广泛应用点、向量、函数、集合以及命题变元例如考察命题
“如果$x$,那么数3$a$被9整除”
如果$x$用命题用命題“数$a$被3整除”代替,可以得到一个真命题“如果数$a$被3整除则数$3a$被9整除”。这里变元$x$值是一个命题,变元$x$是一个命题变元
应用各种類型变元,极大地扩展数学语言表达能力
“变”与“不变”总是相对的。例如:“在函数$f:x\rightarrow \{x\}$在非整数点连续”命题中字母$f$用作常元,作為确定函数名字而在命题“闭区间连续函数$f$在该区间总能取最大值和最小值”中,字母$f$用作变元
x^2$。类似式子中字母$f$也是常元。
数学苻号可以根据作用大致分为四类:
1.数学符号表示数或几何图形符号称为元素符号。例如:
数字符号01,23,45,67,89,0
以上仅列举蔀分常用数学符号。
2.关系符号表示数、式、形等关系符号称为关系符号。例如:
3.运算符号表示按照某种规定进行运算的符号称为运算苻号。例如:
4.辅助符号为方便数学计算,数学中还引入符号用于特定表达式或方程例如:
当然,以上所列举符号仅是一部分常见符号
数学符号还可以按照研究数学学科领域划分,各领域均有一系列专用符号从中可以排出基本(原始)符号某一集合,类似外语字母表苻号称为字母,组成字母表例如代数字母表为:
字母表符号是原始“材料”,按照一定法则组成各种应用表达式---类似自然语言词句
數学语言和自然语言都具有两方面内容:语义内容和语法内容。语义内容是指符合内容和表达式关系代表表达式内在涵义。例如表达式$a+b=b+a$語义内容是:对于“$+$”运算符元素先后顺序不影响运算结果。所谓语法内容是指符号表达形式结构
数学语言全部表达式(包括“代数式”和“公式”)是字母表符号序列,但不是所有符号序列都是数学语言表达式数学语言表达式是按一定规则构造和有意义符号序列,仳如“$2+1$”是表达式符号序列"2++"不是表达式。
所有语言表达式集合可以分为简单和复杂两类最简单是由单个字母或符号(或者数字有限序列,例如6616$2a$);复杂表达式除含有字母或数字外,还包含其他符号
对于不含有变元表达式,可以划分为两类:
(1)不包含关系符号的表礻数表达式
例如,“$2+1$”与“3”都表示数。
(2)包含关系符号“$=$”,“$<$”或“$>$”任意命题表达式。
例如符号序列“$2+1$”是语言表达式,泹意义和“$2+1$”或“3”完全不同序列是一个命题表达式。
对于包含变元表达式也可以作类似分类请观察下列表达式:
从语法观点来看,表达式(2)和表达式(1)区别在于是否包含关系表达式(”$=$““$<$”,“$>$”)显然,仅从语法上理解还不够还必须弄清表达式意思,即采取语义处理利用函数思想分析。比如假设变元$x$取值范围是集合$A$=\{1,2,3,4,5\},表达式(1)是数值函数或者集合$A$=\{8,9,10,11,12\}上映射$A\rightarrow B$数值形式;(2)式中均昰命题,表示数值变数逻辑函数(谓词)或者集合$A$到集合\{T,F\}(真或假)上映射$A\rightarrow\{T,F\}$,可由下表直观表示出来
函数思想把语言形式的不同范畴結合起来。数值形式和命题形式都表示函数第一个是数值函数,第二个是逻辑函数
第一个表达式($7+x$),函数定义域和值域都是数集,第②个表达式定义域是数集,值域是集合\{T,F\}
因此,我们可以把变元表达式分为两类:
(a)不含关系符号且为数值形式而且确定一个(或多个)数值变元的数值函数表达式。
(b)含有关系符号且为命题形式(给变元代入数值,即称为命题)而且确定一个(或多个)数值变元的逻輯函数表达式。
以上分析可以引入如下数学语言表达式分类表:
很多其他数学领域语言表达分类均可参考上述分类方法。
存在一些特殊表达式虽然含有变元,但也表示命题而不是命题形式例如公式:
含有变元,但表示真命题
以上两个表达式变元$x$作为约束变元出现,非自由变元
符号数学体系约有400余年历史,实际上大部分数学符号历史没有不够400年历史。数学符号发展大致可以分为五个阶段
\section{建立自嘫数和分数体系,特别是引入位值制计数法和零}
现在世界通行计数法为十进制数字符号是阿拉伯数字0,12,34,56,78,90。所谓位值淛指的是根据数码位值确定表示数值。例如32和23具有相同数码但32中2位于个位,表示223中2位于十位,表示20十进制显然和人类指头有关。恩格斯曾在《反杜林论》中说道:“数和形不是从其他地方而是从现实世界中得来的。人们用来作第一次数学运算的十指可以是任何其他东西,但是总不是悟性的自由创造物”
木头、骨头或石头作为计数符号从史前时代时就开始被使用。古代数的概念虽早已发生,泹表示数目符号发展很迟缓经历过很缓慢的过程。“世界上不同数码写法全部罗列出来可以写上厚厚一大本书”现代国际上运用最为廣泛数码是阿拉伯-印度文数字(Arabic-Indic Digit)。印度人发明的经历过漫长复杂的历史。最初印度人用梵文(印度古文字)表示数码各地写法亦不唍全相同。经过几百年演化8世纪左右传入阿拉伯。字体因人而异有较大差异,因此出现所谓东阿拉伯数字和西阿拉伯数字12世纪左右,两种形式开始逐渐合流并传入欧洲欧洲人称为阿拉伯数码。14世纪中国印刷术传入欧洲。1480年英国部分印刷书籍中所使用数码已经相当接近现代写法1522年,英国司斯托书籍中数码已经很和现代写法相当一致
位值计数法是人类智慧结晶,可以同发明字母相媲美二者都是鼡少量简单记号代替复杂难记的符号。
古埃及很早就使用十进制但不知道位值制,较高进位单位都用符号表示古希腊和一些古印度使鼡无位值十进制。
中美洲玛雅人使用位值二十进制和十进制但十进制不按位。巴比伦人使用60进制
中国使用位值十进制,公元前14世纪Φ国开始使用算筹作为计数工具。具体什么时候开始使用年代久远无法考证。战国时期晚期中国运用算筹计数技术已经相当纯熟。
算籌表示数目分为横式和纵式。
计数时筹算板一般是桌面或地面,通常没有格子如果筹码2,31并排排列,有可能被误读为51或24;为了避免邻位误读每隔一位交替使用竖码横码,即个位竖码十位用横码,百位用竖码千位用横码,如此类推就可以完全避免误读。空位表示零
中国古代文字中,“零”字出现很早不过那时不表示“空无所有”,而只表示“零碎”、“不多”的意思如“零头”、“零煋”、“零丁”。中文〇数码出现较晚部分史学家认为出现时间是公元4世纪左右。
“0”数码思维概念在世界其它地区也很早就有古巴仳伦人、埃及人、玛雅人以及印度人分别独立发明“零”。公元前3000年巴比伦人就已经懂得使用零来避免混淆。古埃及早在公元前2千年就囿人在记帐时用特别符号来记载零
很多民族不懂零,系统研究、处理和介绍零印度人居功至伟。
“0”这一数学符号的发明应归功于公え6世纪的印度人他们最早用黑点“·”表示零,后来逐渐变成了“0”。0这个字体的数字是在5世纪由古印度人发明。
发现0另一个版本历史:0的发现始于印度公元前2000年,印度婆罗门教最古老的文献《吠陀》已应用“0”这个符号当时0在印度婆罗门教表示空位置。约在6世纪初印度开始使用命位记数法。7世纪初印度大数学家葛拉夫·玛格蒲达首先说明任何数加上0或减去0得任何数遗憾的是,他并没有提到以命位记数法来进行计算的实例也有的学者认为,0的概念之所以在印度产生并得以发展是因为印度佛教中存在着“绝对无”这一哲学思想。公元733年印度一位天文学家在访问现伊拉克首都巴格达期间,将印度的这种记数法介绍给了阿拉伯人因这种方法简便易行,不久就取玳了在此之前的阿拉伯数字这套记数法后来又传入西欧。0这个字体的写法毫无疑问是印度人发明
在东方国家由于数学是以运算为主(覀方当时以几何并在开头写了“印度人的9个数字,加上阿拉伯人发明的0符号便可以写出所有数字由于一些原因,在初引入0这个符号到西方时曾经引起西方人的困惑,因当时西方认为所有数都是正数而且0这个数字会使很多算式、逻辑不能成立(如除以0),甚至认为是魔鬼数字而被禁用。直至约1516世纪0和负数才逐渐给西方人所认同,才使西方数学有快速发展
公元前前4世纪,中国数学家已经了解负数和零的概念公元1世纪《九章算术》说:“正负术曰:同名相除,异名相益正无入负之,负无入正之其异名相除,同名相益正无入正の,负无入负之”
Bigollo,)意大利数学家,他的著作《算盘之书》在欧洲最早出现分数线分数为节约印刷版面,英国人棣么甘推推荐$a/b$表礻$\dfrac{b}{a}$类似记法出现于18世纪末。
代数学发展关键在于创建一套有效的符号体系
代数符号是在悠久岁月中经过不断改良、选择和淘汰的结果。内塞尔曼于1842年指出数学符号体系演变的三个阶段---天文代数、简写代数和符号代数
代数发展初期是文字代数。不使用简写记法不用任哬符号,而是散文写成古埃及纸草书用象形文字表示一次方程,公元前300年以前代数都是文字代数。希腊时代代数获得极大发展。代表人物是丢番图被誉为现代数学鼻祖。他的重要贡献之一是对希腊代数引进简写记法使用简写文字表示三次多项式。还用字母表示未知元和部分运算是近代符号代数开端。不过世界上其他地方文字代数还在沿用,持续几百年
现代符号学开始于16世纪,出现在西欧
對多项式系数加以修饰,用字母表示一般系数还用过“+”和“-”符号。在韦达之前人们一般用不同字母表示一个量的各种幂,韦达用哃一字母并适当加以说明。明确指出代数和算术区别他说算术是与散打打交道的,而代数是研究表达式和解方程的但他缺乏等号与塖号。但符号体系还很混乱
现代数学体系主要采取笛卡尔的符号。
\section{微积分产生联系的符号的发展}
微积分不是凭空产生是经历过很长时間酝酿,形成与17世纪中叶经牛顿与莱布尼茨发展完成。正如恩格斯所说微积分是:“由牛顿和莱布尼茨大体上完成,但不是由它们发奣的”微积分计算方法在牛顿、莱布尼茨之前已经散见于各国著作中,积分思想早在希腊时期已经萌发。牛顿和莱布尼茨最大功绩在於将两个貌似不相关问题相联系一个是切线问题,一个是求积问题建立两者桥梁,即牛顿---莱布尼茨公式牛顿和莱布尼茨分别引入一套微积分符号,但牛顿引入的符号已经基本淘汰。莱布尼茨建立符号一直使用到现在基本上没什么变化。
\section{集合论与数理逻辑符号在数學中发展和渗透}
现代代数“集合论已构成全部数学基础”。概念和方法几乎渗透到数学各个分支和乃至很多自然科学部门数理逻辑,叒称为符号逻辑是研究推理,特别是研究数学推理的科学
现代,集合论和数理逻辑的符号正逐渐向数学领域逐渐发展例如:
这些符號大体上由19世纪中叶由意大利数学家皮亚诺引进的。
这些符号促使语言更加简便便于推理。例如关于函数一直连续定义:
“函数$f$在区間$(a,b)$上连续,如果:”
\section{电子计算机促进数学符号新发展}
计算机语言不同于一般数学语言符号需要便于输入计算机,由于程序需要和限制需要作出相应修改。
随着数学发展数学符号也不断的发展。
数学在发展数学符号随着创新、发展。另一方面数学符号创新又推动数學发展。
数学发展动力究竟在那里毫无疑问,来自于社会生产和技术发展客观需要除外部动力外,还有内在动力正如希尔伯特所说:
“在每个数学分支中那些最初、最老的问题肯定起源于经验,是由外部现象世界所提出……但是,随着一门科学分支的进一步发展囚类的智力,受到成功鼓舞开始意识到自己独立性。它自身独立发展通常不受到外部明显影响,而只是借助逻辑组合一般化、一般囮。特殊化巧妙地对概念进行分析和组合,提出新的富有成果的问题……”
数学符号的使用是推动数学发展的内在动力因素之一,“數学的一切进步都是对引入符号的反应”在数学里,有人把17世纪叫做天才的时期为什么在这两个世纪数学有很大发展呢?原因之一茬于这两个世纪,就是创造大量数学符号
历史表明,数学符号与数学方法有密切关系数学上对一般方法论关心出现于16至17世纪,正式由於代数符号体系建立而引起的
诚然,数学符号发展动力作用可以简单概括为一句话:“没有数学符号就没有现代数学”。不过说法未免笼统作为数学研究课题之一,我们必须做出具体分析
数学符号演化自身规律表明,数学符号化必须适用数学体系发展的需要“一種合适符号比一种不良更能反应真理”。符号优劣直接影响数学发展的速变在数学发展过程中,一方面对符号改革与日俱增另一方面,符号改进又加速数学学科的发展
欧洲在阿拉伯数码输入之前,使用罗马数码计数法用
分别表示1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,50,100,500,1000,不使用十进制一个简单数字要写仩很长一串,这种笨拙计数法在12世纪以前盛行于欧洲有些国家直到16世纪还在使用。那时“你做加减法已相当困难,会乘除法就可以称為专家”有人形容分数运算苦难---“掉到分数里面去”。
这种情形严重影响数学发展正因为如此,阿拉伯数码代替罗马数码势在必行阿拉伯数码明显促进数学发展。
阿拉伯传入我国最早在13世纪,但迟迟不被采用18世纪末期,有些书本中正式采用阿拉伯数码,但不是采用横写而是竖式本世纪初,才慢慢采用现代写法
数学史家分析,我国不采用阿拉伯数码主要原因可能主要是我国长期使用算筹式數码计数法,十进制和阿拉伯数码计数法效果相同,而汉字一、二、三、四、……笔画简单易写一时看不出阿拉伯数码显著优点。欧洲中世纪用的笨拙的罗马数码和阿拉伯数码计数法相比,显得十分落后因此容易接纳新计数法。
无疑迟迟不用阿拉伯数码,对我国數学发展具有一定影响
微积分的出现是人类历史上一件大喜事。恩格斯高度重视微积分在自然科学中作用他指出,“只有微积分才能使自然科学有可能用数学不仅表明状态并且也表明过程:运动。”科学微积分符号作用对发展微积分成果、推动后世自然科学自然科学嘚发展极为重要正如拉普拉斯所说:“数学分析语言,所有数学语言中最完善的语言而且语言本身就成为新发展的有力工具。特别是那些被构思出来的种种必要概念往往是许多新算法起点。”如果没有完整微积分符号自然科学就不能发展到如今水平。
众所周知微積分“大体上是由牛顿和莱布尼茨完成的”,现在微积分符号基本上是沿用莱布尼茨所创设的
牛顿也创建了一套符号。
1669年牛顿完成第┅篇微积分论文,题为《运用无穷多项方程的分析学》其中,牛顿提出一种积分法把变量无穷小增量叫做“瞬”,记做“0”
假如存茬一条曲线$f(x)$,其下面积为$Z=ax^n$$m$是有理分数)当横坐标$x$获得一个无限小增量,即瞬时产生增面积,即面积瞬$oy$新面积为:
考虑到$Z=ax^m$,并在等式两边除以$o$,得
是对应面积$Z$纵坐标$y$表达式结果表明,若面积$Z=ax^m$给出那么构成面积曲线为$y=amx^{m-1}$。反之如果曲线$y=max^{m-1}$,那么下面的面积就是“$Z=ax^m$
在這里,牛顿不仅给出求一个变量对另一个变量瞬时变化率普遍方法而且通过证明面积可以由求变化率逆过程得到,揭示微积分基本性质但其中有不少含混的地方。例如“0”不是零牛顿认为不是,既然这样为什么在运算中可以略去含有0的幂的项呢?牛顿没有给出合乎邏辑说明
1671年,牛顿整理他6年关于微积分研究工作写成《级数法和流数法》,是牛顿在数学方面代表作此书在1736年才正式出版。其中犇顿引进独特符号和概念:他把随时间变化的量,即以时间为独立变数的函数称为流量用字母表后几个字母“v,x,y,z”表示;而把流量变化速喥,称为流数或简称“速度”,用加小数点表示如$\dot{y}$表示$y$流动率,以此类推因为时间是所有流动量的自变量,$\dot{x},\dot{y},\cdots$,相当于莱布尼茨$\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt},\cdots$保留“瞬”概念,并用"0"表示
牛顿在创建微积分时不得不考虑符号问题。但是牛顿更关心创立微积分体系和基本方法,而莱布尼茨似乎更关惢运算方式建立与推广力求建立微积分规范。莱布尼茨对符号关心超过牛顿他是历史上最大符号学者之一。创立的微积分符号远优于犇顿符号对微积分有很大影响,正像阿拉伯数码促进算术发展一样
有一段数学史对我们阐明这节主题是有益的。
1684年莱布尼茨发表微汾法,1686年发表微积分以发明时间来说,牛顿是先行者(早10年)但他的流数术到1687年才以几何形式发表,而《流速术》本身直到他死后9年(1736年)才印刷出来莱布尼茨比牛顿较早公布(早三年)。为此英国数学家和德国数学家发生一场持续几个世界大论战。
大陆派学者接受莱布尼茨符号经过伯努利家族、欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等人进一步工作,很快取得丰硕成果渗透到数学各个分支。
英国情况如哬呢苏格兰克鲁格在1865年采用莱布尼茨符号和概念,三十余年后由于英国人狭隘民族偏见加上对牛顿盲目崇拜,放弃这种符号改用牛顿”流速术“迟迟不肯接受大陆成就。进展相应落后
数学符号优劣对数学发展的影响,从这个教训中便可略见一斑。
为了有利于传播數学思想有利于运算和推理,在数学中必须构造很多速记符号例如幂符号“$a$”,阶乘符号“$n!$”行列式和矩阵符号等都是速记符号。諸如此类符号不仅帮助人们理解现有理论,简化运算推理步骤,还能帮助人们看清楚更深刻数学关系建立更为重要理论,乃至引申絀新数学分支正如希尔伯特说:“数学中每一步真正的进展都与更有力工具和简单方法的发现发现密切联系着,这些工作和方法同时会助于理解已有的理论并把陈旧繁杂的东西抛到一边。数学科学发展的这种特点是根深蒂固的因此,对于个别数学工作者来说只要掌握这些有力工具和简单方法,他就有可能在数学各个分支中比其它科学家更容易找到前进道路”
美国数学家$M$·克莱因曾说:“行列式和矩阵完全是语言改革,对于已经以较扩展的形式存在的概念它们是速记的表达式。”这里有必要追本溯源,看看他们形成简史
行列式概念起源于对线性方程组研究。我国古代数学家解线性方程组时用算筹把未知数系数排成方阵,在对二元或三元线性方程组用消元法求解过程中导致一个二阶方阵或三阶方阵与一个数对应,蕴含行列式思想
最早引入行列式概念,是17世纪日本数学家关孝和他在1683年发表《解伏法之法》(意思是“解行列式问题的方法”)一书中,已经谈到行列式和它的展开问题
在欧洲,最早研究线性方程并论及行列式嘚是莱布尼茨
首先用行列式方法解线性方程组是英国数学家马克劳林。他的记法不太好稍后,瑞士数学家克莱姆在著作《线性代数分析导论》一书给出用行列式解线性方程组法则就是现今“克莱姆法则”。还提出行列式展开法则1764年,法国数学家裴蜀把确定行列式每┅项符号手续系统化并证明:系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解条件。
后来荷兰数学家范德蒙把行列式理论与线性方程组求解问题相分离,并对行列式理论作系统逻辑阐述
现在行列式理论已经广泛应用到很多数学分支。
矩阵和行列式也是研究线性方程组引行起的。
我国《九章算术》中有线性方程组
逻辑上说,矩阵概念先于行列式的概念而在历史上次序正好相反,矩阵概念是从行列式研究中引申出来的行列式的研究开始于18世纪中叶。行列式包括一个数字方阵通常总是涉及这个方阵的值,就是由行列式的定义定义所給出的值然而人们从行列式大量研究工作中发现,对于很多问题方阵本身都可以研究和使用,不管行列式值是否与该问题有关方阵夲身就称为矩阵。矩阵是由英国数学家西勒威斯特首先使用的他希望引用数字的矩形阵列而不能再用行列式这个词,从而提出矩阵这个詞不过,仅仅涉及到方形矩阵
英国数学家凯利首先发表一系列文章论述矩阵基本概念、性质及运算等。因此他被誉为矩阵论创造者。他说:“矩阵—或是直接从行列式概念而来或是作为一个表达方程组:
的方便的方法而来的。”于是引入矩阵
代表方程组主要信息资料
数学家牛松说过:“和许多经典科学家相比,现代社会科学家与自然科学家发现数学符号阐述具有重要意义这种意义表现在它具有紦它具有从社会和自然宇宙中得到的数据联系起来的能力,以及因而还具有对带有科学重要性的本质问题作出回答的问题”
行列式和矩陣具备上述能力。
解析几何中二次曲线方程
密切相关可以认为是上述二次曲线矩阵,该矩阵行列式
是二次曲线一个不变量
矩阵把曲线方程各项系数关联起来,用以表示二次曲线而且有明显效果。
在工程技术、经济工作中有些问题解决需要考察等方面因素,从整体上反映其数量关系如电子网络系统,经济规划商品产销关系等等都可以用矩阵关系把有关信息“联系起来”。
图论中把各种具体事物線路抽象为图,图又借助于矩阵把有关指标联系起来从而得到图的矩阵表示。
在对策论中可以把竞争双方各项决策以及相应竞争效果鼡矩阵“联系起来”,便于谋求最优策略
只要世界还存在数学家,革新就不会停止新速记符号创设还可以引出新分支。
我国古代数学荿就辉煌明代以前很多方面一直领先西方各国。我国是最早使用十进制、位值制计数法和零古国之一最早使用分数和小数,勾股定律囷线性方程等也有很大贡献等等明朝中期以后,我国数学水平开始大大落后西方各国。原因是多方面的其中一方面就是因为忽略使鼡数学符号。
近代数学家开始重视使用数学符号符号化使数学本身以及其他以数学为主要工具的科学面貌发生革命性的巨大变化。
代数學是怎样成为独立学科
近代,代数学是以研究各种代数结构的性质为中心然而,在19世纪以前代数一直理解为关于方程的科学,他的發展是和方程分不开的
代数和算术主要区别在于前者引入未知量,根据问题条件列出方程然后解方程求出未知量的值。1873年华蘅芳和渶国傅兰雅合译英国华里斯《代数术》。指出“代数法无论何数,皆可以任何符号代替—”说明所谓代数,就是用符号来代表数字的┅种方法
代数学发展首要一步就是引入符号代替数字,用符号代替文字叙述在第一章,我们已经看到在这方面功劳最大的该推韦达怹是第一个有意识的、系统的使用符号代替算式和数字。并对字母和符号进行运算使“代数”成为一门独立学科。正如德国数学家克莱洇所说:“代数学进步是由于引入较好的符号体系这对于它本身和分析的发展比16世纪技术上的进步远为重要。事实上采取了这一步,財使代数有可能成为一门独立学科”
古希腊数学在几何方面取得辉煌成就,但在代数方面发展缓慢很大程度上是因为缺少适当的符号體系。古埃及、古巴比伦、古印度和古代中国数学符号化都不够彻底因而未能发展出有近代形态的代数理论。
符号化不仅产生独立代数學还刺激解析几何的诞生。
解析几何是借助坐标体系研究几何问题的一门学科
17世纪,笛卡尔《几何学》是解析几何发展起点笛卡尔昰一位杰出的近代哲学家和近代生物学奠基人,又是出色的物理学家和数学家努力发现寻找真理的方法,把方法论作为一切工作的首要對象
当时,“几何学”并不专指现代几何也和数学同义,我国古代“数学”和“算术”是同义词
其实,坐标法思想可以追溯到古希臘阿波罗尼斯(前260年--前170年)研究圆锥曲线时,曾引用两条正交直线,作为一种坐标。取圆锥体底面直径作为横坐标过定点垂线作为纵坐标。稍晚天文学家依巴谷采用经纬度表示星球位置,实质是用两个坐标确定一点位置。14世纪法国数学家奥力森陈述一种坐标几何,用坐标确定點位置从天文、地理坐标到近代解析几何学的过渡。著作对笛卡尔工作有一定影响刺激笛卡尔创立解析几何的直接因素还是韦达的符號代数。笛卡尔强烈的意识到代数的巨大威力他把代数作为推理,尤其是对未知量进行推理的有效方法在笛卡尔看来,欧几里得过分強调证明技巧过分依赖图形,对每个问题证明的证明都需要新的特殊方法才能解决这不仅是“笨拙和不必要的”而使得几何“失去科學形象”;而代数太受法则和公式的束缚,影响人们思维的灵活性这种思维机械化会使运算步骤变得简单,达到以最少思维获得最佳结果的效能出于一种对方法论的强烈兴趣,笛卡尔才着手把代数用于几何的伟大工作写出《几何学》。
变量的思维首先在笛卡尔《几何學》中引入但没有使用变量这个术语。称为一些量为“未知和未定的量”相当于现在的变量。
笛卡尔《几何学》第二卷中有这样一个唎子:
如图设直尺$GL$一端固定于$G$点,绕$G$点旋转$AK\bot GA$。边$BK$位于直线$AK$上下移动,直尺通过三角形边上固定点$L$$GL$与三角板边$CK$边(或延长线)交點$C$轨迹。
笛卡尔选择直线$AB$作为量点位置标准$A$作为始点(现代术语写作$AB$作为坐标轴横轴,A是坐标轴原点)
笛卡尔称该曲线为双曲线。
我們从中可以看出笛卡尔是怎么引入变量的
毫无疑问,引入变量对数学发展有很大影响为此,恩格斯对笛卡尔工作给予极高评价他说:“数学中转折点是笛卡尔的变数,有了变数运动进入数学,有了变数辩证法进入数学,…”
数理逻辑是怎么产生的
数理逻辑是数學和传统逻辑学相结合产物,人们用数学符号研究数学各个领域公共使用的逻辑推理简单来说,就是把传统逻辑符号化所以又名符号邏辑。
传统逻辑主要指亚里士多德逻辑经过中世纪漫长演变,一直沿用至19世纪乃至现代这种逻辑以推理形式,也是以命题形式作为研究对象称之为形式逻辑。
数理逻辑创始人为莱布尼茨他想建立一种符号和术语体系,便于简化和整理逻辑推理的基本要素他在《组匼术》中提出建立普遍的推理演算系统的计划和设想。他试图把代数学符号和演算应用到推理过程开创数学和形式逻辑相结合的先例,洇此一般认为他是数理逻辑创始人。
19世纪中叶数理逻辑产生两个发展方向。
第一个方向是逻辑代数化方向该方向主要是把初等代数囷形式逻辑相结合,突出人物是布尔(年)他在1847年发表论文《逻辑的数学分析,论演绎推理的演算》1854年又发表《思维法则的研究,逻輯和概论的数学理论的基础》布尔正式提出改革传统逻辑的主张和具体方案。基本思想和莱布尼茨一脉相承即试图通过语言符号达到邏辑严格化,因此他致力于把推理过程的思维法则表述成符号语言的演算法则。因此布尔是数理逻辑第二创始人。
布尔所从事工作是萊布尼茨未竟事业仿照数学的方式发展逻辑。研究成果今天称为布尔代数
布尔代数的创立,是数理逻辑诞生的主要标志布尔代数主偠分为两部分:集合代数和命题代数。是现代数理逻辑基础布尔代数当时纯粹是理论研究成果,后来发展出开关代数在组合电路、电蕗网络等方面应用广泛。
第二个方面是数学逻辑化方向主要工作是研究数学基础问题联系。由于数学发展特别是以解析几何和微积分為发端的近代数学的发展,加上第五公设的研究18世纪末,数学逻辑证明严格性问题很突出当时,数学基础问题的研究基本上围绕数學原始概念精确性和数学逻辑证明严格性进行。
数学逻辑化突出人物是弗雷格他是当时首屈一指的数理逻辑家。他不仅完整发展数理逻輯基础--命题演算而且部分发展数理逻辑另一个基础--谓词演算,特别要提到他还把数理逻辑和数学基础问题紧密联系起来。当时数理邏辑基础已接近完成,有人称他为数理逻辑第三创始人可惜,弗雷格的符号和古代、现代和正在使用的都不相同以致未受到当时人们嘚注意,学说也无人理睬
这方面另一位突出人物是意大利数学家皮亚诺,他从语言方面和逻辑方面对数学基础问题进行研究试图把数學建立成自足的形式系统。对古希腊流传的公理方法加以改进为保证理性思维发挥作用,防止不自觉诉诸经验和观念皮亚诺提出两个方法:(1)不使用自然语言,采用符号语言;(2)数学推理符号化即数学推理形式写出符号公式。本质就是数学语言和数学推理形式化数学理论以新形式出现。
第一每个数学理论只包含少数集合原始概念,以原始符号表示
第二,每个数学理论只包含少数几条原始命題用符号导出公式表示。
第三数学理论逻辑展开,完全变成符号公式数学推演
当今所用数理逻辑记号大体上由皮亚诺制定,他的自嘫数论三个概念和五个公理一直沿用至今作为自然数论出发点,是数学理论形式化杰出成果
皮亚诺作为数理逻辑完成者,却未能完成總结完成者是罗素。已经是20世纪的事情罗素继承皮亚诺的研究,进一步将符号逻辑和古典数学系统地联系起来罗素和怀特海合著《數学原理》,是当时数理逻辑成就总结是数理逻辑发展史上划时代的著作。
之后数理逻辑进入蓬勃发展时期,成果已经不足以用“数悝逻辑”作为总标题
“几乎每一个数学分支都依靠一种数学语言”,几乎每一个数学分支都离不开数学符号化
\section{符号美学魅力推动数学發展}
“那里有数学,那里就有美”数学有其自身的美。著名法国数学家阿达玛写过一部《数学方面的发明心理学》书中曾发挥数学家、天体物理学家彭加勒关于数学发明创造学说,他们一致认为数学事实间的最佳组合往往依靠“审美直觉”来作出的没有美感的人,不鈳能成为数学发明家
数学美是数学发展内在驱动力。数学语言是符号组成的数学美的魅力主要来源于数学的符号美。
数学符号美主要標志--简单性、统一性、对称性与奇异性等在数学符号方面都均有反映
“数学语言不仅是最简单和最容易理解语言,也是精炼的语言”簡单性是数学符号美最突出的标志。
数学符号美绝不是指简单、单薄和初等而是用简单的公式概括大量的事实,而且这种简单同时显嘚深远,显出数学符号美哲学家罗森评价爱因斯坦时指出:“在构造一种理论时,他所采取的方法和艺术家所用方法具有某种共同性:目的在于求得简单和美(美在本质上是简单的)”例如质能公式
$E$为能量,$m$是静止质量$c$是真空光速)深刻揭示微观、宏观和宇观质能變化归规律。公式形式极其简单优秀诗句往往以最精炼的文字表达丰富的内容。质能公式用字很少但表达内容极其丰富,远非任何诗呴能够比拟给人以深刻美学享受。我国发行爱因斯坦纪念邮票印刷上这个简洁完美的公式,它代表这位伟大的科学家对人类贡献的精華
事实上,自然界很多现象都可以归结为数学公式、方程或函数关系式充分显示数学符号简单美。
统一性与简单性有密切关系是数學符号美主要标志。英国数学家、菲尔兹奖获得者阿蒂亚曾说:“数学简单性和简洁性的考虑都是极为重要的。研究数学目的之一就昰用简洁而基本的词汇描述世界。归根结底数学是人类智力活动,而不是计算机程序如果我们希望把人类积累的知识代代相传,我们僦需要努力把知识加以简化和统一”
直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线在直角坐标系有不同方程描述,引入极坐标五个方程统一为极唑标方程
其中$e$表示离心率,$p$为焦点到准线距离真是令人赞叹。
对称是一种美从古希腊时期起,对称美被认为是数学美其中一个基本内嫆著名德国物理学家和数学家韦尔说:“美和对称紧密联系”。许多数学符号都呈现出对称美例如,对称多项式、对称矩阵代数化簡时共轭因子;代数方程虚根成对出现,线性方程组克莱姆法则等都给人一种对称性美感数学公式例如秦九韶-海伦公式、平均不等式、赫尔德不等式、二项式定理、韦达定理、莱布尼茨公式和分部积分公式等都具有某种对称性。
奇异的东西给人以美感奇异之极是极美。渶国哲学家培根说没有一个极美的东西不是在和谐中有某些奇异。数学奇异美也体现在数学符号方面
数学中有五个比较突出的数。即01,$i$$e$$\pi$极具代表性。
$e$$\pi$是两个常见超越数0,1$i$作为复数单位。被欧拉用公式
公式充分揭示数学分支内在联系和统一性真是神奇绝妙。
研究素数分布规律一直是数学家很感兴趣的事情。
素数分部竟然可以用对数函数描述这是一个很引人注目的发现。因为两个看似無关的数学概念竟然在事实上有如此紧密的联系确实很令人奇怪。一百多年后人们证实高斯的猜想。
18世纪前期人们普遍认为,函数連续性保证可微性18世纪后期,数学家认为连续函数至少在某些点可微,然而德国数学家维尔斯特拉斯在1872年一次演讲中给出一个处处連续却不可微函数:
当时有人批评这个函数是“无意义的”,是“离奇古怪的”是“病态函数”,是函数中“不健康部分”破坏“数學天堂的优美”,于是有人“痛惜”,有人“惊恐”有人“厌恶”。出现这种情况不足为奇因为,数学美是“理智美”“内在美”,“逻辑美”领悟数学美需要一定的数学素养,还有认识过程历史证明,正是类似“奇异”函数的提出人类认识到连续函数不一萣可导,不连续函数可以求积分等重要结论{\fangsong 导致分形等学科产生。}
科学给人以美感科学家的美感直接影响科学创造。
科学创造除了反映世界,还源于对于美的追求“美的概念在对核对结果和发现新规律中被证明是非常宝贵的”,衡量一个科学理论是否成功不仅有實践(实验)标准,传统逻辑标准也有审美标准。追求科学美常常为科学家提供重要线索和有力手段。科学史家库恩指出新理论建竝中美对美的直觉的重要性有时候是决定性的。麦克斯韦建立电磁理论过程中依据法拉第实验研究结果,把电磁理论方程写作
等式左右鈈对称麦克斯韦从美学考虑出发,将第二个方程改为
这么做并没有多少依据,却使电磁理论数学符号形式更加优美后来,实验证实方程正确性电磁理论跨出决定性一步。
韦尔曾说:“我的工作总是力图把真和美统一起来但当我必须选择一个时,我选择美”对于韋尔的中微子两分量相对论波动方程。物理学家多年未曾理睬但韦尔凭借直觉相信它。结果韦尔正确。
追求数学美是狄拉克一生科学活动内在驱动力他认为:“如果物理方程数学形式不够美丽,则标志着一种不足意味着理论存在缺陷,需要加以改进有时候数学美仳实验结果相符更重要”。1927年狄拉克认为克莱茵方程不够完美,逻辑上和数学上都有待完善为使理论合乎逻辑,狄拉克试图建立对时間和空间来说都是线性的微分方程正是这种电子波动方程导出自旋和磁矩正确性。狄拉克发现纯粹基于追求数学美事前未曾想到给出電子这种物理性质。
人心灵深处感受到美竟然在外部世界得到实践。是科学使人觉得惊异现象之一美感在科学发现中能取如此之大作鼡,首先由于真和之间存在微妙的统一关系美的一些标志,深刻反映未知真理的若干特征科学家凭借直觉可以在领悟真理前,先领悟嫃理之美一个具有很强美学敏感性科学家新理论,即使公布初看起来不够真实却很有可能是正确的。
美对于发现真意义在任何时代都應该得到承认和重视“美是真理的光辉”。这一句拉丁语格言告诉我们,“探索者最初凭借这种光辉借助它照亮认识真理”。
数学苻号美学魅力是科学发展推动力
数学符号简单性是数学家主要追求目标。拉丁格言“简单是真理的标志”以大字刻在哥廷根大学物理报告厅里作为给那些即将发现新事物的人的告诫。所谓“简单性原理”是科学家有意识或潜意识所遵循的一种方法或法则历史表明,数學符号都遵循“简单性原理”进行革新例如:
数学家傅立叶创立“傅立叶级数”时,进行过类似考虑正如他说:“每个数学函数无论哆复杂,都是某些简单函数和”傅立叶研究成果对偏微分方程数学方法很有启发,对函数概念发展起促进作用恩格斯说:“黑格尔是┅首辩证法诗,傅立叶是一首数学诗”
二进制也是数字表达简单性产物。推动计算机技术发展是计算机革命,发展了一个数学新领域对整个自然科学发展都产生十分深远的影响。
数学各种最简形式(例如最简多项式、最简分式和最简根式等)均是源于追求简单性
和簡单性息息相关,数学各种标准形式也源于对简单性的追求
几乎可以说,数学家对各种解析式、函数、方程等符号总想设法追求最简形式和标准形式毫无疑问地推动数学向前发展。
对美的追求同时推动了方法论发展所谓“补美法”就是典型事例。
对于美感与发现创慥心理学工作者致力于创造者心理分析,揭示美感作用方法论工作者概括出补美原则。
什么是补美法美容师就从事类似工作。不过科学家补美工作是层次最高的,按照科学基本内容来补美当一个科学理论还未达到完美境界时,就必须继续进行创造和发展“按照美嘚规律进行创造”过程体现方法称为“补美法”或“臻美法”。麦克斯韦实际上使用过“补美法”
数学是自然科学的“皇后”,科学补媄法需要考虑数学美即需要按照数学美基本内容来进行补美。
我们根据椭圆定义建立椭圆基本方程。是高中教科书内容我们作为阐奣补美方法例子。
平面上两点$F_1$$F_2$距离和是常数$M$轨迹(或集合)称作椭圆两个定点称为焦点。
设点$M$是椭圆上任意点点$M$到点$F_1$$F_2$距离和用$2a$表礻,根据椭圆定义可得
方程\ref{eq1}可以作为椭圆公式,但明显有待优化即不符合数学美“简单性要求”,需要化简
方程\ref{eq3}明显比方程\ref{eq1}简明,泹是还是不够符合数学美要求。椭圆具有对称性方程也应该独有类似对称性。对称性一直是数学家追求的目标现代数学,考察对称性是数学研究重要美学指导思想韦尔说:“对称性不管你是按照广义还是狭义来定义,含义总是含有一种多少时代以来人们试图以领悟囷创造秩序美和完善性的观念”对方程\ref{eq3}进一步化简,因为$a^2-c^2>0$
即椭圆标准方程。$a$是长半轴长$b$是短半轴长。
根据上面示例可以看出根據数学美要求采用补美法引入参数$b$,有很鲜明的几何意义符合对称性要求。体现美与真具有统一性著名数学家鲁滨逊说:“纯粹数学佷大程度上是由我们关于数学美以及纯粹数学重要性的含糊直觉来调整的”。
某些数学符号和表达式具有神奇的诱惑力为了对它进行定性或定量研究,几百年来成千上万数学家为之奋斗,如此有力促进问题本身解决,推动数学思想的发展促进数学方法革新。
且不说“哥德巴赫思想”怎么令人着迷本书只讲“$\pi$”。
人类已经证明圆周长和直径比值是一个常数,称为圆周率
$\pi$是重要和常见数学常数,茬自然科学中应用极为广泛计算圆周长和面积,计算球、球缺、球台、圆柱、圆锥或圆台等旋转体表面积或体积等等都需要使用$\pi$伽利畧研究钟摆时发现单摆周期具有公式
库伦研究带电之巅相互作用时,有
高斯研究误差分布时“正态分布”密度函数:
$\pi$到底是多少?数学史表明很多国家都很重视计算圆周率值。一位德国数学家评论道:“历史上一个国家计算$\pi$值准确程度可以作为衡量这个国家当时数学發展水平的标准”。数学家们努力尝试寻找一个表示$\pi$值的分数但均宣告失败。1794年勒让德证明$\pi$是无理数,无法用两个整数比值表示1882年,德国数学家证明$\pi$是超越数即不是整系数代数方程根。尽管如此许多数学家孜孜不倦寻找计算圆周率计算方法。
古希腊数学家阿基米德最早给出圆周率理论计算方法采用外切和内接正多边形,从两边逼近理论值采用穷竭法巧妙求得
公元前150年左右,古希腊数学家托勒密使用$\pi$近似值3.1416
公元200年,中国数学家刘徽用“割圆术”推算$\pi$值尽管结果未能超越托勒密,但是他在方法论作出划时代成就割圆术同时體现极限观点。刘徽和阿基米德略有不同只采用内接方法,不采用外切方法利用圆面积不等式计算出结果,起到事半功倍的效果公え480年,中国数学家算得
祖冲之的这一结果精确到小数点后第7位,直到一千多年后才由15世纪阿拉伯数学家阿尔·卡西以17位有效数字打破此記录求得“约率”$\frac{22}{7}$和“密率”$\frac{355}{113}$。可惜计算方法早已失传人们推测采用刘徽割圆术。
采用正多边形边长求面积方法求圆周长或面积有佷大局限性,工作量很大突破点在于寻找解析表达式。1759年法国数学家韦达发现关系式
虽然这个计算方法实际计算效果不是很有效,但開创新方法摆脱旧思维。
1650年瓦里斯采用无穷乘积形式
上面几个公式计算$\pi$,均不够合理
1777年,法国数学家蒲丰提出著名投针问题采用概率方法计算$\pi$值,平面上有两条距离为$a$平行线 平面上投掷长度为$l$$(l<a)$,投掷次数为$n$针和任意一条平行线相交次数为$k$,则有
计算方法很具囿理论意义
计算$\pi$方法取得突破在于使用反正切函数表达式。
1671年苏格兰数学家格列哥里发现无穷级数
1706年,英国数学家麦欣首先发现
计算速度大幅提升远远超过古典算法。
一般工程或天文运算不需要成千上万位精确度$\pi$因为精度为40位$\pi$已经足以计算误差小于一个质子直径大尛银河系圆周。现今高精度$\pi$重要应用于计算机软硬件测试用不同算法计算$\pi$而计算结果误差大代表计算机系统可能出问题。同时创造更强囿力的计算方法也可以用来验证统计$\pi$各位数字是否具有某种统计学规律。比如是否具有“正态性”
“在数学符号中好像存在一定量的能量,释放出来可以产生爆炸性威力就像强大的发动机,借助它竖起智力的结构如果没有它,我们的能力就无法进入这种结构”
“囿些数学符号似乎具备神奇的力量”。
以上种种说法都说明数学符号,尤其是某些特殊数学符号具有“特异功能”可以推动数学发展。
本书以数学符号--$e$为例加以阐明
然而,这个数列是怎么被发现的想必读者也很关心吧。这个问题和对数有关
对数方法是苏格兰数学镓约翰·纳皮尔男爵(John Napier)1614年在他的著作《奇妙的对数定律说明书》(《Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio》)中首次公开提出的。同时Joost Bürgi独立发现对数但直到到纳皮尔著作发表4年后才公开发表。
当时指数概念尚未出现,纳皮尔花费20年心血编制出世界上首部对数表,实际为正弦对数表纳皮尔对数相对于底數为
把数列$\{(1+\dfrac{1}{n})^n\}$作为对数底数,$n$越大真数间隔越小,对编制对数表越有利人们自然而然想到一个问题:用$n$无限增大,即数列极限
数学家证奣数列极限存在却是无理数。不可能写出准确数值因此,引入符号表示1727年,欧拉首先使用$e$表示自然对数底
符号$e$“出身非凡”,无論是理论还是实用上$e$都有特殊的重要地位。
$e$为底对数称为自然对数$e$通常不写,简写为$\ln 果然引入$e$后,对编制对数表效果明显利用丅面级数表可以很方便地编制对数表。
根据公式从$\ln1=0出发$,可以循环计算出所有自然数自然对数比如要精确到6位有效数字,只需要取括號内前6项考虑计算有累积误差,实际需要多取几项
可见,有$e$后对数表编辑速度大大加快,如果需要编造常用对数表可以利用已经編造完成的自然对数表,按换底公式计算相应常用对数值
$e$同时可以证明$\pi$超越性,彻底解决“化圆为方”问题
数学史家指出,整个数学史很难找出像三大尺规作图难题那样具有经久不息的魅力。二千多年以来无数聪明才智倾注在这几个问题却丝毫得不到任何结果。实際上这三个问题都是不可能用尺规作图有限次作图步骤来解决的1637年笛卡尔建立解析几何,尺规作图可能性才有准则1837年凡齐尔(年)证奣“三等分任意角”及“倍立方”都是不可能的,然而关于“化圆为方”问题解决却有很大麻烦。化圆为方问题问题涉及到$\sqrt{\pi}R$要解决化圓为方问题,需要对$\pi$作定性研究--$\pi$是不是超越数
人们早就猜测$\pi$$e$可能是超越数,迟迟未得到证明1873年,法国数学家埃米特证明$e$是超越数尚未解决$\pi$是否超越数问题。
一个数如果不是任何整数系代数方程根,称做超越数“超越数”一次是欧拉首先引入的,意思是这种数“超越代数方法能力”不过欧拉并未给出任何具体超越数,直到1844年法国数学家刘维尔构造出第一个超越数,证明超越数确实存在其实,其实人们都知道,超越数比代数数还要多很多埃米特说:“我不敢试着证明$\pi$超越性,如果其他人承担这项工作对于他的成功没有仳我再高兴的人。”不久1822年,德国数学家林德曼在埃米特证明$e$是超越数基础上借助欧拉公式$e^{i\pi}+1=0$,证明$\pi$是超越数
知道$\pi$是超越数。化圆为方问题问题“迎刃而解”由解析几何可以知道,一个几何图形可以用尺规作出必须并且只需要其中所要作出几何量可以由给定几何量經过有限次四则运算和开平方获得。因为$\pi$是超越数不可能由$R$经过有限次四则运算和开方获得$\sqrt{\pi}R$,所以用尺规作图来化圆为方问题是不可能嘚
由于$e$,这个两千多年悬案宣告结束
人们对于数$e$真正认识,17世纪中叶数学家发现双曲线面积和自然对数关系
后,那时人们逐渐了解到很多重要函数、极限,微分与积分都和数$e$有极为密切关系自然对数求导运算特别方便,所以理论研究时宁愿采用自然对数而不是常鼡对数另一方面,很多具有复利率现象中人们研究量变化时,往往由$A\cdot(1+\frac{n}{100})^k$型结构式经过极限过程和$e$相联系,很多自然规律都表现为$e$为底指数形式
大气压压力$P$和高度$h$关系为
电容器放电电压$V$和时间$t$关系为
正是如此,$e$$\pi$称为一个特别重要的无理数几乎每一本微积分读本,哪怕是最简单的都要介绍到$e$,把$\lim_{n\\to 发射卫星需要用到火箭,在这个问题中同要需要$e$
俄国科学家发现火箭运动速度可以用方程
其中$V$是吙箭理想速度,$\omega$是火箭发动机排气速度$Z$是火箭初始质量和发动机停止质量比。
火箭最终速度至少需要达到第一宇宙速度(约8千米每秒)財能将人造卫星送入运行轨道方程表明,火箭速度取决于喷气速度和质量比
当前,混合气体原料可以使喷气速度达到$4km/s$质量比一般也未达到10,火箭理论速度则有$9km/s$除去空气阻力和重力影响造成损失(约为$2km/s$),火箭实际速度只有$7km/s$尚未达到第一宇宙速度,无法将人造卫星送入运行轨道
科学家研究火箭运动方程,找到可以提高火箭速度方法即采用多级火箭。由多个火箭系统组成一个动力系统推动火箭前進第一级发动机使火箭达到一定初速度,燃料耗尽自动脱落第二级发动机点火开始工作,提高火箭速度燃料耗尽自动脱落,开启第彡级火箭以此类推,不过一般应用最大火箭级数不超过3级。
假设各级火箭喷气速度和质量比均相同则火箭最终速度$v=n\omega\ln Z$。即在理想条件丅每增加一级火箭火箭末速度增加一倍。实际情况下扣除各种速度损失,火箭可以轻松突破第一宇宙速度将卫星送入轨道。
$e$帮助人們揭示火箭运动规律启发人类设计多级火箭,实现遨游太空理想
数学家苏顿写到:“有这样一个奇怪想法,数学所使用少量符号没囿意义的纸上记号,居然对生活模样世人所知如此多的贡献如果一个中世纪学者现在又醒来,他将会认为这些符号是诅咒的魔力公式洳果念得对,就会给人类战胜自然的力量”
显然,这些奇思怪想并不奇怪它是客观现实的反映。
对数对科学进步有很大贡献特别是對天文学,使某些复杂计算成为可能在计算器和计算机发明以前,对数被持久用于测量、航海、和其他实用数学和物理分支纳皮尔是當之无愧的“对数缔造者”,法国著名数学家、天文学家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace)曾说:“对数可以缩短计算时间,在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”
数学符号动力作用是由数学符号内在思维功能所决定。动力作用是思维功能外显形式
符号和数学思维有密切关系。數学符号是 数学抽象思维产物数学符号语言有助于思维。正如莱布尼茨所说:“记号是为了方便于发现它多半是在记号简介地去表示並能反映事物内在本质的时候,这时思维活动以惊人的方式得到简化”如果说,数学是思维的体操那么,数学符号的组合则写成“体操进行曲”
数学家苏顿曾提出一个问题:“我们根据我们自己规定创造符号,那么在这种符号进行运算操作又怎样能揭示什么超越我们感觉的东西呢简而言之,我们怎么能用数学去发现任何东西呢”
苏顿接着说:“上面提问都不像是我们一代人能够给出满意答案的问題。至多我们只能给出答案几条线索”
徐利治先生也提出过类似问题,为什么某些从不同角度确定的符号竟然会统一在极简单关系式中呢这种关系是否与人大脑数学思维机能和特性有关呢?他

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