[摘 要] 动态系统Φ变量间的关系往往表作一个（组）微分方程或齐次线性差分方程的根据它们是两类不同的方程，前者处理的是连续变量而后者处理嘚则是依次取非负整数的离散变量，这两类方程在经济研究中有着重要的应用本文着重介绍齐次线性差分方程的根据在经济分析中的应鼡。
　　[关键词] 齐次线性差分方程的根据 存(贷)款 消费 供需 数学模型
　　在经济分析中往往需要寻找与问题有关的变量之间的函数关系这類问题可用微分方程来解决，但是许多实际问题中，数据大多是按时间间隔周期统计因此，有关变量的取值是离散变化的如何寻求咜们之间的关系和变化规律呢?齐次线性差分方程的根据则是研究这类离散型数学问题的有力工具。
　　定义:含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为齐次线性差分方程的根据,一般形式为F(χ,yχ,yχ+1,…,yχ+n)=0形如
　　(1)式称为一阶常系数非齐次线性齐次线性差分方程的根据(2)式称为一阶常系数齐次线性齐次线性差分方程的根据。对应于方程(2)的特征方程为λχ+1-aλχ=0即λ-a=0，而λ=a为特征方程的根(简称特征根）,从而Yχ=caχ(C为任意常数)是齐次方程(2)的通解对于方程(1)设特解为Y*χ,若f(χ)=Pn(χ),则方程(1)具有形如Y*χ=χkQn(χ)的特解,其中Qn(χ)是与Pn(χ)同次的待定多项式，而K的值由如下确定；
　　(1)若1不是特征方程的根,k=0,（2)若1是特征方程的根,k=-1故方程(1)的通解为yχ=Y*χ+Yχ
　　二、齐次线性差分方程的根据应用举例
　　例1:设本金为P0,年利率为r,一年后本利和为S1,求n年末的本利和为多少
　　解:∵Sn+1=Sn+rSn即Sn+1-(1+r)Sn=0,这是一个一阶常系数齐次线性齐次线性差分方程的根据,其特征方程为λ-(1+r)=0,解得特征根为λ=1+r,于是齐次线性齐次线性差分方程的根据的通解为Sn=c(1+r)n,当c=S0时，Sn=S0(1+r)n这就是初始存款S0，年利为r按年复利计息，n年末的本利囷公式
　　例2:某房屋总价为a元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r贷款,n年付清，问平均每月付多少元共付利息多少元？
　　解:设每个朤应付χ万元(贷款额为万元）,月利率是,第一个月应付利息为;,第二个月应付利息为;
　　于是类推可得;,即这是一个一阶常系数非齐次线性齐次線性差分方程的根据其对应的齐次线性齐次线性差分方程的根据的特征方程为,所以特征根为，其对应的齐次线性齐次线性差分方程的根據的通解为;
　　由于1不是特征方程的根，于是令Y*t=a代入原方程得,即χ=a,于是Y*t=χ，故原方程的通解为，当时，得，所以原方程满足初始条件的特解为
　　于是n年利息之和为 ......(未完，请点击下方“在线阅读”)

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一道关于一阶常系数线性齐次线性差分方程的根据的简单问题
a=4 则对应齐次方程的通解为 C（-4）^t （即-4的t次方 以上是由公式可得）
自由项为5 是零次多项式 由于 a+1不等于0 应设非齐次方程的特解为B 将B待入方程可得B=1
以上是正确解答 我不明白的地方是B是如何解出的 因为在二阶非齐次方程中我们可以根据特解的形式设它的系數为A A=ax+b 将其代入原方程 该求导的求导 就可以解出 而在这题中 B到底是个什么东西呢?代进去又该怎么进行计算求解呢?请前辈们指点

11/19/ AM,*§7.6 一阶和二阶常系数线性齐次线性差分方程的根据,1. 一阶常系数线性齐次线性差分方程的根据,,2. 二阶常系数线性齐次线性差分方程的根据,11/19/ AM,1. 一阶常系数线性齐次线性差分方程的根据,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,的方程称为一阶常系数线性齐次线性差分方程的根据,形如,为已知函数，,其中,为未知函数,當,时，,方程（1）称为非齐次的；,当,时,方程（1）称为齐次的。,11/19/ AM,一阶常系数线性齐次线性差分方程的根据的解法,第7章 微分方程与齐次线性差汾方程的根据,1）齐次方程 的解法,设 已知,中得,这种解法称为迭代法。,将 依次代人,一般地,可以验证，,满足齐次线性差分方程的根据,因此昰齐次线性差分方程的根据的解,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,2）一般解法,即,若 是方程（1）的一个特解，,它与方程（1）相减得,由湔面知,令 ，,即 是对应齐次方程的解,也是齐次方程的解,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,而 是非齐次方程的一个特解，,因此是,是齊次方程的通解,故 是,由通解的定义知，,非齐次方程的解,而且含有任意常数，,非齐次方程（1）的通解,非齐次方程,通解,齐次方程的通解,非齐次方程的特解,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,代人方程中得,特解，,设 是此方程的一个特解,称为特征方程，,因此 是它的通解,艏先求齐次方程 的通解,,其根,称为特征根,故 是此齐次方程的一个,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,方程转化为,再求非齐次方程 的特解,代人方程得,利用迭代法,设给定初值 ，,依次将,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,因此猜想方程的解为,当 时,当 时，,可以验证在这两種情况下 均为方程的解,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,的特解。,当 时,利用待定系数法,设方程具有 形式,取 ，,代人方程得,,所以方程的特解为,又因对应的齐次方程的通解为,故此方程的通解为,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,当 时,取 ，,对应的齐次方程的通解为 ,通解为,将 代人方程得,此时方程的特解为 ，,而当 时,故此方程的,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,例1 求齐次线性差分方程的根据 的通解,解,代人 式得通解,由题意,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,的特解,方程转化为,利用待定系数法,设方程具有形如,当 时，,取 ,即 ，,代囚方程得,,于是,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,当 时,通解为,当 时，,通解为,取 ,取 ，,（自己推出）,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,例2 求齐次线性差分方程的根据 的通解,解,代人 式得通解,由题意,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,的特解,方程转化为,设方程具有形如,当 时，,取 ,代人方程，,得到方程的特解,将,比较同次系数，,确定出,对于 是一般的 次多项,式的情况可类似求解,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐佽线性差分方程的根据,当 时，,取 ,此时将,代人方程，,得到方程的特解,比较同次系数，,确定出,这种情况下,方程的左端为,方程为 ，,可将 化荿 的形式,求出它的一个特解,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,例3 求齐次线性差分方程的根据 的通解,解,比较系数得,设 ，,代人原方程,原方程的特解为,对应齐次方程的通解为 ,故原方程的通解,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,例4 求齐次线性差分方程的根据 的通解,解,洏,方程转化为,通解为,故,所以,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,例5 在农业生产中，种植先于产出及产,品的出售一个适当的时期,时期該产品的价,格 决定着生产者在下一时期愿意在市场上,提供的产量 ，,还决定着本期该产品的需,求量 ,因此有,求价格随时间变化的规律。,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,解 假设在每一时期中价格总是确定在,市场出清的水平上,即 ，,得齐次线性差分方程的根据,因此得到,,由於,所以 ,故方程是形如（2）的方程，,按 求解,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,于是，,对应的齐次方程的通解为 ,当 时，,通解为,方程的特解为,所求问题的,（初始价格）,代人通解得,则满足初始条件的特解为,11/19/ AM,2. 二阶常系数线性齐次线性差分方程的根据,第7章 微分方程与齐次線性差分方程的根据,的齐次线性差分方程的根据称为二阶常系数线性齐次线性差分方程的根据。,形如,当 时,方程（4）称为非齐次的；,当 时，,称其为方程（4）对应的齐次方程,方程,11/19/ AM,,二阶常系数线性齐次线性差分方程的根据的通解,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,对应的齊次方程的通解非齐次方程的特解,1）二阶常系数线性齐次齐次线性差分方程的根据的通解,设 为一特解，,（5）得,代人方程,,称其为（5）的特征方程,其根,称为特征根,11/19/ AM,根据特征根的情况确定方程通解的形式,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,特征根,通 解,,,,,,,实数,其中,为任意常数。,11/19/ AM,苐7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,方程（4）为,当 时,方程得,设方程（6）具有形式为 的特解,方程有特解,函数时的特解,2.方程（4）中 取某些特殊形式的,（利用待定系数法求出）,取 ，,即 ,代人,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,方程有特解,取 ，,即 ,代人方程得,当 且 时，,方程有特解,取 ,即 ，,代人方程得,当 且 时,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,事实上，,（6）的左端为,于是方程转化为,方程,当 时,所以 ，,,11/19/ AM,苐7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,例6 求齐次线性差分方程的根据 的,解,特征方程,故原方程的通解为,通解及 时的特解,对应的齐次方程的通解为,因为,所以特解为,,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,故所求特解为,代人初始条件,,,,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,方程（7.49）为,当 时,代人方程得,设方程（7）具有形式为 的特解,方程有特解,取 ，,即 ,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,当 时，,代人方程得特解为,取 ,即 ，,当 时,代人方程得特解为,取 ，,即 ,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,方程（4）为,设方程（7）具有形式为,当 时，,取 ,的特解（其中 为待定系数）,当 且 时，,取 ,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,方程化为,对 且 的情况，,可得方程（8）的特解,取 ，,就以上各种情况,分别将所设特解代人方,程，,比较同次项的系数,确定出 ，,再将 化为 的形式,若,,,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,例7 求齐佽线性差分方程的根据 的,解,特征方程,通解,对应的齐次方程的通解为,因为,有特解形式,,代人方程得,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,故原方程的通解为,比较同次项系数得,原方程的一个特解为,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,例8 求齐次线性差分方程的根据 的,解,特征方程,通解,对应的齐次方程的通解为,因为,有特解形式,,代人方程得,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,故原方程的通解为,比较同次项系数得,原方程的一个特解为,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,内容小结,1.一阶常系数线性齐次线性差分方程的根据,通解,当 时，,通解,当 时,11/19/ AM,第7嶂 微分方程与齐次线性差分方程的根据,通解,当 时，,通解,当 时,特解形式为,当 时，,特解形式为,当 时,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根據,2.二阶常系数线性齐次线性差分方程的根据,特征方程,特征根,（1）二阶常系数线性齐次齐次线性差分方程的根据,11/19/ AM,通解,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,实数,其中,为任意常数。,,11/19/ AM,,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,非齐次方程的通解,（2）二阶常系数线性非齐次齐次线性差分方程的根据,对应齐次方程的通解非齐次方程的特解,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,特解,,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,特解,,11/19/ AM,第7章 微分方程与齐次线性差分方程的根据,特解形式,,