1.主成分分析能做什么主成分分析是一种降维处理的统计方法，实践中有三个应用场景：信息浓缩：将多个分析项浓缩成几个关键概括性指标；权重计算：利用方差解释率值计算各概括性指标的权重；综合评价：基于主成分得分构造综合得分数据，用于综合评价。接下来，以一个具体案例来学习主成分分析用于综合评价。2.案例数据探索案例数据原始来源：《直辖市、副省级城市、经济特区和沿海开放城市统计资料汇编(2004)》，直接来源：马力, 史锦凤. 15个副省级城市区域经济发展水平的实证分析[J]. 科技进步与对策, 2006, 23(12):3.选取反映区域经济发展水平的7个指标，对我国15个副省级城市的经济发展水平进行综合评价研究。2.1 浏览数据与变量数据上传SPSSAU后，在 “我的数据”中查看浏览原始数据，前5行数据如下：图1 “我的数据”查看浏览数据集7项经济指标包括：GDP、农业总产值、工业总产值、第三产业总产值、固定资产投资总额、消费品零售总额、城乡居民储蓄年末余额，均为连续型数据资料。2.2 相关系数矩阵初探关系在“通用方法”栏目下，选择“相关”，将GDP等7个经济指标拖拽至【定量分析项】框内，默认要求输出Pearson相关系数矩阵。图2 经济指标间的相关性上图展示了7个指标两两之间Pearson相关系数，相关程度范围为0.10~0.97。农业总产值、固定资产投资总额、消费品零售总额与其他指标相关性普遍低于0.3，而其他指标之间的相关性则相对较高，总体看指标间有一定的相关性基础。3.主成分分析操作过程3.1 主成分分析对数据的要求之所以要使用主成分分析，是因为可用来评价研究对象的指标过多，如果现有数据中仅有少数比如1~3个指标，那大概率来说，我们做主成分分析的必要性并不大。因此，有较多的评价指标有待于被降维处理或信息浓缩处理，这是基本出发点，要求这些指标须是连续型数据资料，且有一定的相关性基础。还有一个需要了解的知识点，原则上我们应该先对这些指标变量进行标准化处理，以统一众多指标变量量纲单位。但在SPSSAU中，大家需要知道一下，它在执行主成分分析时会对数据默认进行标准化操作，因此我们并不需要单独地提前去做这一项工作。3.2 SPSSAU主成分分析操作在SPSSAU的“进阶方法”栏目下选择“主成分”，将GDP等7个连续型指标变量数据拖拽至【定量分析项】，也就是说现在我们要对这7个指标进行信息浓缩，那么，浓缩为几个主成分呢？图3 SPSSAU主成分分析操作SPSSAU可以自动智能化帮助我们做出决策，如果说你对未来主成分有较成熟的专业认识或经验判断，那么可以自定义主成分的个数。本例选择让SPSSAU自动决策。当然，我们也可以执行一个类似于“回马枪”的做法。让SPSSAU先做自动主成分，然后我们根据输出的特征值、方差比例、碎石图等信息再行讨论和决策，返回主成分操作界面，直接指定主成分的个数。总的来说，主成分个数的确认主要有三个依据，第一个特征值大于1；第二个是累计方差贡献达到能接受的水平（比如80%以上）；第三个是碎石图陡坡信息（看到明显拐点）。SPSSAU还提供了两项计算，可以计算并另存出成分得分数据，以及综合得分数据，该两项可帮忙自动计算主成分得分和综合得分，下述有具体说明。最后点【开始分析】，执行主成分分析。3.3 主成分分析旋转操作上面进行的主成分分析操作，我们发现整个过程没有“旋转”主成分的功能或提示，这里要和因子分析进行区别。主成分分析并不刻意强调主成分的实际合理性，没有严格规定必须要对主成分做命名或实际意义的提炼。这与因子分析是有区别的，因子分析强调公共因子命名，即给公因子实际含义进行信息归纳总结。小结一下，主成分分析可以做命名也可以不做。如果你的研究需要对主成分进行合理性命名，可以借助SPSSAU的因子分析功能，经因子旋转操作来给主成分进行命名（SPSSAU默认直接执行旋转操作）。稍后，本例会进行示范。4.主成分分析结果解读来看结果。4.1 KMO值与Bartlett检验主成分和因子分析都要求多维度指标间存在一定的相关性，如何做出判断呢？目前主要基于KMO值和Bartlett检验。本例结果如下表所示。图4 kmo和bartlett检验结果KMO值如果高于0.8，则说明非常适合进行分析；介于0.7~0.8之间，则说明比较适合进行分析；如果此值介于0.6~0.7，则说明可以进行分析；如果此值小于0.6，说明不适合进行分析。另有说法是KMO指须大于0.5。Bartlett检验对应p值小于0.05通过检验，也说明适合进行主成分分析。本例，KMO值=0.658，Bartlett检验对应p值＜0.05，均说明案例数据适合做主成分。4.2 特征值、方差解释率及碎石图主成分分析是基于相关系数矩阵或协方差矩阵计算的，而矩阵运算有一个非常重要的概念叫做特征值或特征根。根据特征根，可以计算每个主成分的方差贡献比例（或称之为方差解释率，下同），特征根，方差解释率是我们判断主成分个数的核心依据。原本我们有众多指标，假设是k个，做主成分分析的目的是为了降维、信息浓缩，从k个指标中构建（或称为提取）出少数几个主成分，问题是，我们构建几个主成分合适呢？常见或一般地做法是，选择那些特征根大于1的成分，而且要求这少数几个成分的累积方差解释率足够高。有时为强调更高的累积方差解释率，选择特征根接近1（小于1）的成分也是可以的。SPSSAU会根据特征根大于1的标准，自动确认主成分的个数，本例结果如下表所示。图5 特征根、方差解释率表格从上表可知：主成分分析将构建出3个主成分（前3个成分做累积方差计算），特征根值均大于1，依次为3.519、1.646、1.047。此3个主成分的方差解释率分别是50.266%、23.512%、14.954%，累积方差解释率为88.733%。这表示，第一主成分可解释我们待降维的7个指标50.266%的信息量，第二主成分可解释23.512%的信息量，第三主成分可解释14.954%。累积方差解释率多大合适呢？常见的说法是80%，当然这并非一个严格标准，实践中70%以上，或60%也并非不可。我们总是期望累积方差解释率高一些，但实际当中往往并非如此，还需要根据实际情况综合决策。SPSSAU将为本例构建三个主成分，如果给他们各自一个权重，可以用各自的方差比例除以累积方差来计算。本例的三个主成分权重依次为50.266/88.733=56.65%、23.512/88.733=26.50%和14.954/88.733=16.85%。碎石图在主成分和因子分析中应用极广，它其实就是各成分的特征根的可视化图形。本例碎石图如下：图6 碎石图碎石图形象展示各成分特征根“陡坡势能”的变化过程，落差幅度越大说明对应的成分越重要，解释能力越强。碎石图一般是前几个特征根陡坡落差幅度比较大，越往后越平缓。本例，前三个陡坡落差幅度较大，提示构建三个主成分是合适的。4.3 载荷系数与共同度SPSSAU将构建三个主成分，这些主成分各自与哪些指标有关系呢？总体上如何评价三个主成分的效果呢？载荷系数和共同度指标可以回答以上问题。载荷系数反映了主成分与指标间的相关关系，共同度总体上反映所构建的主成分的解释能力。本例对应的结果，见下表：图7 载荷系数、共同度表格可以看到，本案例的共同度指标在0.707~0.969之间，表现良好（一般要求大于0.4或0.5）。而各指标与三个主成分载荷系数，尤其是第一主成分与第二主成分的载荷系数纠缠不清，同一个指标在第一和第二主成分上都有较高的载荷。如果是强调主成分命名，那么这样的载荷是不利于命名的。应当采取“旋转”策略，让载荷系数向0和1两极化，以提高主成分命名的能力。图8 SPSSAU因子分析旋转后的载荷系数如果确需旋转处理，则需使用SPSSAU的因子分析（默认采取正交旋转法），工作界面和操作和主成分基本类似。本例旋转后的载荷表格如上表所示。可以发现，第一主成分与GDP、工业总产值、第三产业总产值有关；第二主成分与固定资产投资总额、消费品零售总额、城乡居民储蓄年末余额有关；第三主成分与农业总产值有关。本案例并不关心命名问题，所以暂不考虑旋转处理，我们直接读取SPSSAU主成分结果即可。5.计算主成分得分构造综合得分5.1 线性组合系数与权重前面我们用载荷系数形容指标与主成分间的关系。从原理上，主成分是指标变量的线性组合，即给指标变量数据线性组合的系数，就可以计算主成分得分数据。图9 主成分表达式ZX表示指标变量的标准化值，u表示线性组合系数，F为主成分，本例中我们采用PC表示F。SPSSAU直接帮我们计算出线性组合系数，见下表。我们只需要将原始数据标准化获得标准化数据，那么就可以计算主成分得分PC。图10 SPSSAU计算的线性组合系数据上表可写出三个主成分得分数据的表达式。以第一主成分为例：PC1=0.393*ZX1+0.103*ZX2+0.404* ZX3+0.454*ZX4+0.342 *ZX5+0.379* ZX6+0.452* ZX75.2 计算主成分得分数据刚才我们以第一主成分为例写出来主成分计算公式，据此公式可以计算得到三个主成分的得分数据。线性组合的系数SPSSAU已经直接提供了，根据公式，我们还需要自己准备好原始数据的标准化值。这项工作也可以在SPSSAU中直接实现。在“数据处理”栏目下，选中7个指标，选择“生成变量”，在右侧的功能中选择【Z标准化】，点击【确认处理】即可。图11 标准化后的指标数据可以在“我的数据”中浏览到标准化结果，然后利用上述部分的公式自行进行计算。更省事的方式是直接使用SPSSAU的“主成分”保存功能，它会直接将主成分得分保存为新的标题操作如下图所示：然后我们就会得到3个标题，类似名称为“PcaScore_****”,可通过右上角“我的数据”进行查看，或者下载使用，如下图：图12 SPSSAU自动生成PC值查看5.3 构造综合得分数据获得主成分得分数据后，我们给各主成分分配权重系数，即可构造综合得分数据。本例的综合得分可表示为：PC综合=0.5665*PC1+0.265*PC2+0.1685*PC3三个主成分的归一化权重系数0.5665、0.2650、0.1685从何而来呢？它是用各主成分的方差除以累积方差计算的结果。这项计算工作，也可以让SPSSAU自动完成，选择“综合得分”复选框，就会得到一个类似为“CompScore_****”的数据标题，当然也可通过点击SPSSAU右上角“我的数据”进行查看或者下载综合得分数据。6.完成综合评价及小结6.1 综合得分数据做排名主成分或因子分析用作综合评价研究，最后一步主要是基于主成分或公因子得分数据，以及构造的综合得分数据，对研究对象进行排名，根据各得分数据、排名的表现展开对研究对象的评价工作。借助SPSSAU输出的综合得分数据，接着按PC综合得分数据对15图13 综合得分与排名个地区进行降序排列，给出15个地区经济发展的综合排名。最终，本案例主成分得分、综合得分、综合排名的结果见上表。接下来就是专业人士对该结果的解读和结论的讨论。这部分由具体研究人员根据上述表格结果完成即可。本例略。读者可参考阅读下方这篇论文：马力, 史锦凤. 15个副省级城市区域经济发展水平的实证分析[J]. 科技进步与对策, 2006, 23(12):3.6.2 本篇小结主成分分析，是考察多个变量间相关性的一种多元统计方法，基本思想是在保留原始数据尽可能多的信息前提下达到降维目的，简化问题并抓住主要矛盾。最后构建出少数几个替代原始数据的主成分，它们是原始变量的线性组合。总体来说，主成分分析和因子分析在数据要求上，分析目的上是一致的，能使用主成分分析的研究，也一定能用因子分析实现研究目的。但从统计工具实现的角度来说，显然常见统计工具对因子分析的支持更完善，对主成分分析的支持则各有不同。SPSSAU既可以做主成分分析也可以实现因子分析，且可以直接帮我们计算指标权重系数。SPSSAU主成分分析还可以直接获得线性组合的系数、主成分得分和综合得分，为用户实现主成分分析提供了便利。PS：案例数据如下：SPSSAU 案例数据更多干货请登录SPSSAU官网进行查看。

1.主成分分析能做什么主成分分析是一种降维处理的统计方法，实践中有三个应用场景：信息浓缩：将多个分析项浓缩成几个关键概括性指标；权重计算：利用方差解释率值计算各概括性指标的权重；综合评价：基于主成分得分构造综合得分数据，用于综合评价。接下来，以一个具体案例来学习主成分分析用于综合评价。2.案例数据探索案例数据原始来源：《直辖市、副省级城市、经济特区和沿海开放城市统计资料汇编(2004)》，直接来源：马力, 史锦凤. 15个副省级城市区域经济发展水平的实证分析[J]. 科技进步与对策, 2006, 23(12):3.选取反映区域经济发展水平的7个指标，对我国15个副省级城市的经济发展水平进行综合评价研究。2.1 浏览数据与变量数据上传SPSSAU后，在 “我的数据”中查看浏览原始数据，前5行数据如下：图1 “我的数据”查看浏览数据集7项经济指标包括：GDP、农业总产值、工业总产值、第三产业总产值、固定资产投资总额、消费品零售总额、城乡居民储蓄年末余额，均为连续型数据资料。2.2 相关系数矩阵初探关系在“通用方法”栏目下，选择“相关”，将GDP等7个经济指标拖拽至【定量分析项】框内，默认要求输出Pearson相关系数矩阵。图2 经济指标间的相关性上图展示了7个指标两两之间Pearson相关系数，相关程度范围为0.10~0.97。农业总产值、固定资产投资总额、消费品零售总额与其他指标相关性普遍低于0.3，而其他指标之间的相关性则相对较高，总体看指标间有一定的相关性基础。3.主成分分析操作过程3.1 主成分分析对数据的要求之所以要使用主成分分析，是因为可用来评价研究对象的指标过多，如果现有数据中仅有少数比如1~3个指标，那大概率来说，我们做主成分分析的必要性并不大。因此，有较多的评价指标有待于被降维处理或信息浓缩处理，这是基本出发点，要求这些指标须是连续型数据资料，且有一定的相关性基础。还有一个需要了解的知识点，原则上我们应该先对这些指标变量进行标准化处理，以统一众多指标变量量纲单位。但在SPSSAU中，大家需要知道一下，它在执行主成分分析时会对数据默认进行标准化操作，因此我们并不需要单独地提前去做这一项工作。3.2 SPSSAU主成分分析操作在SPSSAU的“进阶方法”栏目下选择“主成分”，将GDP等7个连续型指标变量数据拖拽至【定量分析项】，也就是说现在我们要对这7个指标进行信息浓缩，那么，浓缩为几个主成分呢？图3 SPSSAU主成分分析操作SPSSAU可以自动智能化帮助我们做出决策，如果说你对未来主成分有较成熟的专业认识或经验判断，那么可以自定义主成分的个数。本例选择让SPSSAU自动决策。当然，我们也可以执行一个类似于“回马枪”的做法。让SPSSAU先做自动主成分，然后我们根据输出的特征值、方差比例、碎石图等信息再行讨论和决策，返回主成分操作界面，直接指定主成分的个数。总的来说，主成分个数的确认主要有三个依据，第一个特征值大于1；第二个是累计方差贡献达到能接受的水平（比如80%以上）；第三个是碎石图陡坡信息（看到明显拐点）。SPSSAU还提供了两项计算，可以计算并另存出成分得分数据，以及综合得分数据，该两项可帮忙自动计算主成分得分和综合得分，下述有具体说明。最后点【开始分析】，执行主成分分析。3.3 主成分分析旋转操作上面进行的主成分分析操作，我们发现整个过程没有“旋转”主成分的功能或提示，这里要和因子分析进行区别。主成分分析并不刻意强调主成分的实际合理性，没有严格规定必须要对主成分做命名或实际意义的提炼。这与因子分析是有区别的，因子分析强调公共因子命名，即给公因子实际含义进行信息归纳总结。小结一下，主成分分析可以做命名也可以不做。如果你的研究需要对主成分进行合理性命名，可以借助SPSSAU的因子分析功能，经因子旋转操作来给主成分进行命名（SPSSAU默认直接执行旋转操作）。稍后，本例会进行示范。4.主成分分析结果解读来看结果。4.1 KMO值与Bartlett检验主成分和因子分析都要求多维度指标间存在一定的相关性，如何做出判断呢？目前主要基于KMO值和Bartlett检验。本例结果如下表所示。图4 kmo和bartlett检验结果KMO值如果高于0.8，则说明非常适合进行分析；介于0.7~0.8之间，则说明比较适合进行分析；如果此值介于0.6~0.7，则说明可以进行分析；如果此值小于0.6，说明不适合进行分析。另有说法是KMO指须大于0.5。Bartlett检验对应p值小于0.05通过检验，也说明适合进行主成分分析。本例，KMO值=0.658，Bartlett检验对应p值＜0.05，均说明案例数据适合做主成分。4.2 特征值、方差解释率及碎石图主成分分析是基于相关系数矩阵或协方差矩阵计算的，而矩阵运算有一个非常重要的概念叫做特征值或特征根。根据特征根，可以计算每个主成分的方差贡献比例（或称之为方差解释率，下同），特征根，方差解释率是我们判断主成分个数的核心依据。原本我们有众多指标，假设是k个，做主成分分析的目的是为了降维、信息浓缩，从k个指标中构建（或称为提取）出少数几个主成分，问题是，我们构建几个主成分合适呢？常见或一般地做法是，选择那些特征根大于1的成分，而且要求这少数几个成分的累积方差解释率足够高。有时为强调更高的累积方差解释率，选择特征根接近1（小于1）的成分也是可以的。SPSSAU会根据特征根大于1的标准，自动确认主成分的个数，本例结果如下表所示。图5 特征根、方差解释率表格从上表可知：主成分分析将构建出3个主成分（前3个成分做累积方差计算），特征根值均大于1，依次为3.519、1.646、1.047。此3个主成分的方差解释率分别是50.266%、23.512%、14.954%，累积方差解释率为88.733%。这表示，第一主成分可解释我们待降维的7个指标50.266%的信息量，第二主成分可解释23.512%的信息量，第三主成分可解释14.954%。累积方差解释率多大合适呢？常见的说法是80%，当然这并非一个严格标准，实践中70%以上，或60%也并非不可。我们总是期望累积方差解释率高一些，但实际当中往往并非如此，还需要根据实际情况综合决策。SPSSAU将为本例构建三个主成分，如果给他们各自一个权重，可以用各自的方差比例除以累积方差来计算。本例的三个主成分权重依次为50.266/88.733=56.65%、23.512/88.733=26.50%和14.954/88.733=16.85%。碎石图在主成分和因子分析中应用极广，它其实就是各成分的特征根的可视化图形。本例碎石图如下：图6 碎石图碎石图形象展示各成分特征根“陡坡势能”的变化过程，落差幅度越大说明对应的成分越重要，解释能力越强。碎石图一般是前几个特征根陡坡落差幅度比较大，越往后越平缓。本例，前三个陡坡落差幅度较大，提示构建三个主成分是合适的。4.3 载荷系数与共同度SPSSAU将构建三个主成分，这些主成分各自与哪些指标有关系呢？总体上如何评价三个主成分的效果呢？载荷系数和共同度指标可以回答以上问题。载荷系数反映了主成分与指标间的相关关系，共同度总体上反映所构建的主成分的解释能力。本例对应的结果，见下表：图7 载荷系数、共同度表格可以看到，本案例的共同度指标在0.707~0.969之间，表现良好（一般要求大于0.4或0.5）。而各指标与三个主成分载荷系数，尤其是第一主成分与第二主成分的载荷系数纠缠不清，同一个指标在第一和第二主成分上都有较高的载荷。如果是强调主成分命名，那么这样的载荷是不利于命名的。应当采取“旋转”策略，让载荷系数向0和1两极化，以提高主成分命名的能力。图8 SPSSAU因子分析旋转后的载荷系数如果确需旋转处理，则需使用SPSSAU的因子分析（默认采取正交旋转法），工作界面和操作和主成分基本类似。本例旋转后的载荷表格如上表所示。可以发现，第一主成分与GDP、工业总产值、第三产业总产值有关；第二主成分与固定资产投资总额、消费品零售总额、城乡居民储蓄年末余额有关；第三主成分与农业总产值有关。本案例并不关心命名问题，所以暂不考虑旋转处理，我们直接读取SPSSAU主成分结果即可。5.计算主成分得分构造综合得分5.1 线性组合系数与权重前面我们用载荷系数形容指标与主成分间的关系。从原理上，主成分是指标变量的线性组合，即给指标变量数据线性组合的系数，就可以计算主成分得分数据。图9 主成分表达式ZX表示指标变量的标准化值，u表示线性组合系数，F为主成分，本例中我们采用PC表示F。SPSSAU直接帮我们计算出线性组合系数，见下表。我们只需要将原始数据标准化获得标准化数据，那么就可以计算主成分得分PC。图10 SPSSAU计算的线性组合系数据上表可写出三个主成分得分数据的表达式。以第一主成分为例：PC1=0.393*ZX1+0.103*ZX2+0.404* ZX3+0.454*ZX4+0.342 *ZX5+0.379* ZX6+0.452* ZX75.2 计算主成分得分数据刚才我们以第一主成分为例写出来主成分计算公式，据此公式可以计算得到三个主成分的得分数据。线性组合的系数SPSSAU已经直接提供了，根据公式，我们还需要自己准备好原始数据的标准化值。这项工作也可以在SPSSAU中直接实现。在“数据处理”栏目下，选中7个指标，选择“生成变量”，在右侧的功能中选择【Z标准化】，点击【确认处理】即可。图11 标准化后的指标数据可以在“我的数据”中浏览到标准化结果，然后利用上述部分的公式自行进行计算。更省事的方式是直接使用SPSSAU的“主成分”保存功能，它会直接将主成分得分保存为新的标题操作如下图所示：然后我们就会得到3个标题，类似名称为“PcaScore_****”,可通过右上角“我的数据”进行查看，或者下载使用，如下图：图12 SPSSAU自动生成PC值查看5.3 构造综合得分数据获得主成分得分数据后，我们给各主成分分配权重系数，即可构造综合得分数据。本例的综合得分可表示为：PC综合=0.5665*PC1+0.265*PC2+0.1685*PC3三个主成分的归一化权重系数0.5665、0.2650、0.1685从何而来呢？它是用各主成分的方差除以累积方差计算的结果。这项计算工作，也可以让SPSSAU自动完成，选择“综合得分”复选框，就会得到一个类似为“CompScore_****”的数据标题，当然也可通过点击SPSSAU右上角“我的数据”进行查看或者下载综合得分数据。6.完成综合评价及小结6.1 综合得分数据做排名主成分或因子分析用作综合评价研究，最后一步主要是基于主成分或公因子得分数据，以及构造的综合得分数据，对研究对象进行排名，根据各得分数据、排名的表现展开对研究对象的评价工作。借助SPSSAU输出的综合得分数据，接着按PC综合得分数据对15图13 综合得分与排名个地区进行降序排列，给出15个地区经济发展的综合排名。最终，本案例主成分得分、综合得分、综合排名的结果见上表。接下来就是专业人士对该结果的解读和结论的讨论。这部分由具体研究人员根据上述表格结果完成即可。本例略。读者可参考阅读下方这篇论文：马力, 史锦凤. 15个副省级城市区域经济发展水平的实证分析[J]. 科技进步与对策, 2006, 23(12):3.6.2 本篇小结主成分分析，是考察多个变量间相关性的一种多元统计方法，基本思想是在保留原始数据尽可能多的信息前提下达到降维目的，简化问题并抓住主要矛盾。最后构建出少数几个替代原始数据的主成分，它们是原始变量的线性组合。总体来说，主成分分析和因子分析在数据要求上，分析目的上是一致的，能使用主成分分析的研究，也一定能用因子分析实现研究目的。但从统计工具实现的角度来说，显然常见统计工具对因子分析的支持更完善，对主成分分析的支持则各有不同。SPSSAU既可以做主成分分析也可以实现因子分析，且可以直接帮我们计算指标权重系数。SPSSAU主成分分析还可以直接获得线性组合的系数、主成分得分和综合得分，为用户实现主成分分析提供了便利。PS：案例数据如下：SPSSAU 案例数据更多干货请登录SPSSAU官网进行查看。