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二阶以及二阶以上的导数，统称高阶导数高阶导数四大解法：变形成 n 阶四公式形式 莱布尼茨公式（常需利用 n 阶四公式）泰勒公式化得多项式观察规律法首先，要想解高阶导数又快又准，n 阶四公式绝对是基础中的基础，所以，请务必记住 n 阶四公式：{(x^m)}^{(n)}=m(m-1)(m-2)\cdots(m-n+1)x^{m-n}\quad(m\geq n) {(a^x)}^{(n)}=(\ln a)^{n}a^x (\ln x)^{(n)}=\frac{{(-1)}^{n-1}(n-1)!} {x^n} （由 (\ln x)'=\frac{1} {x} ，有 {(\frac{1} {x})}^{(n)}=\frac{(-1)^nn!} {x^{n+1}} ）{(\sin x)}^{(n)}=sin (x+\frac{n\pi} {2}) （ {(\cos x)}^{(n)}={cos (x+\frac{n\pi} {2})} ）所谓 n 阶四公式，即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数最简单形式的 n 阶导数的值。但是通常，题目不会直接让我们求这四个函数，一般我们要求的，都是 n 阶四公式形式的函数，比如说，求的是 {(ax+b)}^{(n)} ，{[\ln (ax+b)]}^{(n)} ， {[sin (kx+b)]}^{(n)} 。我们只要记住了形式简单的 n 阶四公式，就可以很快地推出 n 阶四公式形式的函数。所以，现在，请立刻开始把 n 阶四公式记住，不要说留到后面再背，告诉自己，我现在就要记住 n 阶四公式，并且我不会忘了。只有我们有坚定说要去记住，才真的更容易记牢，这是我自己的感受。好，现在我们记住了 n 阶四公式。因为是最简单的形式，所以记起来也还行。ok，前面说了这么多，其实就讲了一样东西，叫 n 阶四公式。为了检验你是否掌握，请你拿出纸笔，求：f(x)=\ln (1-x) 的 n 阶导数。（答案在文末，题号为 ① ）上面的问题你答对了吗？答对了就点个赞吧！好，现在，停下来，休息一下，放松地思考一下，下面两个问题：{[(ax+b)^m]}^{(n)} ，{[\ln (ax+b)]}^{(n)} ， {[sin (kx+b)]}^{(n)} 上面的三个 n 阶导数求出来是什么？它们比对应的原来的 n 阶四公式多出了什么？或者说有什么联系和区别。问题难度适中，相信你能思考出来。如果你已经掌握了 n 阶四公式，我们就进入本文的正题吧——高阶导数题的四大解法。（注：本文的例题和习题都是经过挑选，觉得很经典和不错的题目，绝对值得一做）1. 变形成 n 阶四公式形式例题：已知函数 f(x)=\ln \frac{1-3x} {1+2x} ，则 f^{(n)}(0)=(\quad) .解：如果按原来的 f(x) 的形式一次次求导，感觉会有点复杂，尝试将其化成 n 阶四公式形式，即f(x)=\ln \frac{1-3x} {1+2x}=\ln (1-3x)-\ln (1+2x) 这样一来，对 f(x) 求 n 阶导就相当于分别对 \ln (1-3x) 和 \ln (1+2x) 求 n 阶导然后相减。根据 n 阶四公式中对数函数的 n 阶导数的值，我们可以快速推导出{[\ln (1+ax)]}^{(n)}=\frac{{(-1)^{n-1}a^n(n-1)!}} {{(1+ax)}^{n}} ，所以f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!\left[\frac{(-3)^n} {(1-3x)^n}-\frac{2^n} {(1+2x)^n}\right] ，则有f^{(n)}(0)=(-1)^{n-1}(n-1)!\left[(-3)^n-2^n\right] 小结：问题解答完成，由此可见，对于一个复杂的函数，可以化成 多个n 阶四公式形式的函数，再利用 n 阶四公式，快速推导其出 n 阶导数的值，进而求得复杂函数的 n 阶导数的值。拿出纸笔，快速做一下下面这道题练练手吧。习题：已知函数 f(x)=\frac{1} {x^2-1} ，求 f^{(5)}(x) .（答案在文末，题号为②）耐心一点，请确保能解开上一道习题再继续阅读。开始第二种方法之前，请问自己，是否了解过莱布尼茨公式，公式是怎么样的，是用来干什么的。如果答案是否定的，请停止阅读本文，通过书本或上网对莱布尼茨公式进行初步了解，能够回答这两个问题后，再继续阅读。（学习不总是“线性”的。通过一个问题，可以牵带出相关的问题。然后带着对相关问题的好奇，去了解它们，逐步深入，这是我自己很喜欢的一种学习的方式，好奇和求知欲也应该并且可以成为我们学习的动力。）2. 莱布尼茨公式例题：已知函数 f(x)=x^2ln(1-x)，当 n\geq3
时， {f}^{(n)}(0)=( \quad) .解：看着像两个函数相乘的形式，并且 x^2 在导数大于2后为0，所以可以考虑一下使用莱布尼茨公式。则有，f^{(n)}(x)=\mathrm{C}_n^0x^2[ln(1-x)]^{(n)}+\mathrm{C}_n^1(x^2)'[ln(1-x)]^{(n-1)}+\mathrm{C}_n^2(x^2)''[ln(1-x)]^{(n-2)} 因为 [ln(1-x)]^{(n)}=\frac{(n-1)!(-1)} {(1-x)^n} ，[ln(1-x)]^{(n-1)}=\frac{(n-2)!(-1)} {(1-x)^{n-1}} ，[ln(1-x)]^{(n-2)}=\frac{(n-3)!(-1)} {(1-x)^{n-2}} ，(x^2)'=2x ， (x^2)''=2
.所以 f^{(n)}(x)=x^2\frac{(n-1)!(-1)} {(1-x)^n}+2x*n\frac{(n-2)!(-1)} {(1-x)^{n-1}}+2*\frac{n(n-1)} {2}\frac{(n-3)!(-1)} {(1-x)^{n-2}} 故 f^{(n)}(0)=-\frac{n!} {n-2} .小结：例题解答完成，通过观察我们可以发现，莱布尼茨公式解 n 阶导数适用于： 两个函数相乘其中一个函数在求高阶导数后会变为 0这样的函数。当遇到这样的函数时，使用莱布尼茨公式。对于求其中需要求 n 阶导数的（本题中是 \ln (1-x) ），需要变形成 n 阶四公式形式（即方法一），然后利用 n 阶四公式推导进行解决。此外，当要求的是 f^{(n)}(0) 时，有的项其实并不需要计算。比如在本题中， f^{(n)}(x) 的前面两项是不需要计算的。例题讲完了，你现在能解决下面这一道习题吗？习题：函数 f(x)=x^22^x 在 x=0 处的 n 阶导数 {f}^{(n)}(0)=(\quad) .（答案在文末，题号为③）能够看到这里，高阶导数的类型题基本也能解决一大半了，在坚持一下吧，后面的内容不会很难。下面的方法会涉及泰勒公式和麦克劳林公式，统称为泰勒公式化多项式法。这里还是默认大家已经掌握了泰勒公式。3. 泰勒公式化多项式例题：已知函数 f(x)=x^{100}e^{x^2} ，则 f^{(200)}(0)=(\quad) .解：使用前面两种方法似乎解决不了本题，尝试使用泰勒公式。由麦克劳林公式，得f(x)=x^{100}\left(\sum_{k=0}^n \frac{x^{2k}} {k!}+o(x^{2n})\right)=\sum_{k=0}^n \frac{x^{2k+100}} {k!}+o(x^{2n+100}) 取 n=50 ，根据多项式求导的性质，由展开式中 x^{200} 项的系数是 \frac{1} {50!}\Rightarrow{f^{200}(0)=200!\frac{1} {50!}} 小结：根据我个人的经验，利用莱布尼茨公式法和泰勒公式化多项式是考察比较多的，而且常常这两种方法是同一道题的两种解法。之所以把变形成 n 阶四公式法放在第一个，是因为这种方法最基础的方法，并且在一些时候，这种方法也是后面这两种方法的基础，起到辅助解题的作用。这次，请你尝试用泰勒公式化多项式法，解决一下，上面莱布尼茨公式法的习题吧。习题：函数 f(x)=x^22^x 在 x=0 处的 n 阶导数 {f}^{(n)}(0)=(\quad) .（答案在文末，题号为④）当上面三种方法，三种通用套路，看起来都没办法解决的时候，我们只能祭出观察规律法。数学难题常常就出现在需要观察的题目上。有时候，一个函数，你观察到它潜在的某种特点、或者可以进行某种不常见的变形、或者有某种几何性质，便能够很快速地解决掉题目，但如果观察不出来，就真的绞经脑汁也解不出来。观察题和套路题一定程度上是对立的（当然对于身经百战的解题者，观察题也是套路题）。观察题是让人又爱又恨的，它常常是让人困惑的，但也常常是美妙的。废话有点多了，下面进入第四种方法——观察规律法。4. 观察规律法例题：已知函数 f(x) 在 (-\infty, +\infty) 上连续，且 f(x)=(x+1)^2+2\int_{0}^{x}f(t)dt ，当 n\geq2 时， {f}^{(n)}(0)=(\quad).解：尝试按上面三种套路思考，发现似乎都行不通，于是尝试使用观察规律法。观察、思考，不难想到 (x+1)^2 在导数等于 3 后会变成 0。于是尝试对 f(x) 求前 3 次导数。f'(x)=2(x+1)+2f(x) ，f''(x)=2+2f'(x) ，f'''(x)=2f''(x) ，则f^{(n)}(x)=2f^{(n-1)}(x)=2^2f^{(n-2)}(x)=\dots=2^{n-2}f''(x)\quad(n\geq2) 而 f(0)=1 ， f'(0)=2+2=4 ， f''(0)=10 因此 f^{(n)}(0)=5*2^{n-1} 小结：观察规律法，通常是尝试求前几阶导数，然后进行观察，总结导数可能存在的规律。而且有时后，在求解前一二阶导数后，便可以使用前面的三种方法解决了。习题：已知函数 f(x)=\arctan x ，求 f^{(n)}(0) .5. 下一步做什么找书本或者网上的高阶导数的题来做吧。认真做个15道高阶导数的题感觉就没什么太大问题了。最后的提醒，解决高阶导数的问题，几乎就这四种方法不会错。不过有的时候，稍微复杂的题目并不一定是一定用单一的方法解决的，对这四种方法融会贯通，学会综合运用，方能立于不败之地。答案①
\frac{(n-1)!(-1)} {{(1-x)}^n} ② 60\left[\frac{1} {(x+1)^6} - \frac{1} {(x-1)^6}\right] ③ n(n-1)(\ln 2)^{n-2}(n=1,2,3\dots) ④ n(n-1)(\ln 2)^{n-2}(n=1,2,3\dots) 。注意化 f(x)=x^22^x=x^2e^{x\ln 2} ，然后再泰勒展开。⑤ \begin{cases}0, &n=2k \cr (-1)^k(2k)!, &n=2k+1\end{cases} ～～作者水平有限，难免存在错误，欢迎指正～～～～求点赞、求收藏～～

\begin{aligned}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^2\cos^2x-\sin^2x}{x^4}&= \lim_{x\to0}\frac{x^2\left(\cos^2x-1\right)+\left(x+\sin x\right)\left(x-\sin x\right)}{x^4}\\&=\lim_{x\to0}\left[-\frac{\sin^2x}{x^2}+\left( 1+\frac{\sin x}x \right) \cdot\frac{x-\sin x}{x^3}\right]\\&=-1+2\times\frac16=-\frac23.
\end{aligned}\\