行列式这个问题在知乎上已经有了许多高票回答以及文章，写本文的主要目的还是加深自己的理解，如有错误，欢迎指正。定义行列式的目的历史上，行列式的出现是为了求解线性方程组。一般地，对于这样一个二元一次方程组：如果存在唯一解，那么通过高斯消元法，我们可以得到：对于三元一次方程组：如果它有唯一解，同样可以根据高斯消元法得到下式：看到这个式子，我已经晕了...如果继续扩展到 n 元方程组，解的上述表达形式将会变得无比复杂。因此数学家们自然要去研究如何简化方程组的求解，在这个过程中就产生了行列式。无所不能的种花家这又是一个种花家不得不说的故事。中国传统数学中的方程术与线性方程组消元法的思想、方法对行列式的起源与发展有一定的影响和推动，尤其是宋元时期的天元术和四元术。天元术和四元术的发明是中国数学在代数符号化方面的一个尝试，他们给出了一种更为普遍的列方程的解法。用天元术来列方程，根据问题给出的条件列出两个相等的多项式，令两者相减，即可得到一个一端为零的方程。这种方法一般称为“同数相减”或“如积相消”。而天元术的使用必然带来两种结果，一种是数学代数化程度的提高，另一种则是数量关系的复杂化。于是，当问题不止一个未知数的时候，天元术就被自然的二元、三元以及四元的高次联立方程组代替。这也是我国中世纪数学家们继天元术之后的又一杰出创造，至此诞生了四元术（四元高次联立方程）。而天元术与四元术的创立，相伴而生的是多项式的概念、表达方式、运算法则，以及一般消元法的建立，到元朱世杰的《四元宝鉴》，已经可解多至四个未知数的高次联立方程组，只是由于我国古代不用笔算而用算筹，计算需在筹算板上进行，才只能局限于四个未知数，就其理论和方法的实质而论，应该可以推广到任意高次联立方程组。只是受当时中国的社会制度以及社会现象的制约，未能一直研究下去，后来四元术和天元术传入日本，被日本的和算家们深入研究，并据此创立和发展了行列式的早期理论。行列式的公式定义截图自百度百科，哈哈，知乎打公式真的太痛苦了~不过为了展示我的诚意，还是动动手吧，对于 3 \times 3 的矩阵 A ，其行列式可以通过det(A)=det \left[\begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right] =a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13} \\ =a_{11}(-1)^{1+1}\left|\begin{array}{ccc} a_{22}&a_{23}\\ a_{32}&a_{33} \end{array}\right
+
a_{12}(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{ccc} a_{21}&a_{23}\\ a_{31}&a_{33} \end{array}\right
+
a_{13}(-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ccc} a_{21}&a_{22}\\ a_{31}&a_{32} \end{array}\right
\\ =a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{32}a_{23})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{32}a_{23})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}) \\ 毕竟行列式的计算公式真的太基本了，相信大家也都知道，所以这个点就不详细讲啦~行列式的几何意义这算是本文的第一个重点，如何理解行列式的几何意义。（当然，也有好多大神已经写过了）为了讨论问题方便，首先分析二阶行列式，对于矩阵 A A=\left[\begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22} \end{array}\right] \\ 我们来观察 A 的列向量所构成的平行四边形的面积。如图所示，向量 x=(a_{11},a_{21}) 和向量 y=(a_{12},a_{22}) 所围成的平行四边形的面积如图所示。我们可以选定一边为底，然后作出另一边到这条边的垂线，然后该四边形的面积就等于底乘高计算公式如下：S = \left
x \right
\left
y \right
sin\theta =
\left
x \right
\left
y \right
\sqrt{ 1-cos^{2} \theta } = \left
x \right
\left
y \right
\sqrt{ 1- (\frac{x y}{\left
x\right
\left
y\right|})^{2} } \\ =\sqrt{ (a_{11}^{2}+a_{21}^{2} )(a_{12}^{2}+a_{22}^{2} )-(a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22} )^{2} } \\ =\left|a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \right
因此， A 的列向量所围成的平行四边形的面积就等于 det(A) 。接下来，我们也可以推导三阶行列式。我们首先要明确一点，一个六面体的体积等于这个六面体的三个边所代表的向量的混合积。也就是说，对于这样一个矩阵 A A=\left[\begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22} &a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\right] \\ 它的三个列向量所围成的平行六面体的体积等于这三个列向量的混合积，即V = a_{1} \cdot (a_{2} \times a_{3} ) \\ 如果大家知道向量点乘和叉乘的含义的话，上式是很容易理解的，我在此仅简单概括一下。1.两个向量的叉乘的结果是这两个向量所在平面的法向量，并且模长等于这两个向量所围成的面积。2.两个向量的点乘是将一个向量投影到另一个向量，然后模长相乘因此，根据三阶行列式的定义式我们就会发现，三阶行列式就是所围成的六面体的体积。（具体推导过程略）上面我们分析了矩阵 A 的行列式代表的面积以及体积意义，接下来，我们从线性变换的角度来对行列式进行分析。行列式代表线性变换的缩放程度我们知道，一个矩阵可以视作一次线性变换，并且行列式是和面积体积密切相关的，那么当我们分析一个线性变换的行列式时，很自然的，我们就是分析线性变换前后面积体积的变化程度。首先我们来分析线性变换中的旋转操作，将两条向量围成的平行四边形旋转任意角度之后，面积都不会发生变化。那么，我们可以来验证一下任意旋转矩阵的行列式：det(T)=det \left|\begin{array}{ccc} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta\end{array}\right
= cos^{2}\theta+sin^{2}\theta = 1\\ 也就是说任意旋转矩阵的行列式等于1，这也印证了旋转操作不会改变矩阵的面积体积。那么，我们可以很自然地推测，如果一个线性变换(矩阵)的行列式大于1，那么就会放大面积体积；反之就会缩小面积体积。而且，事实也的确是这样的。特别地，我们也会想到行列式等于0这种特殊情况。说起行列式等于0，大家一定会联想到矩阵奇异，不可逆等字眼，那么我们接下来就说一下为什么行列式等于0，该线性变换矩阵不可逆呢？什么是可逆矩阵？如果将矩阵视作一次线性变换，以上图的旋转矩阵为例， A 代表旋转矩阵， B
代表原始矩阵， AB 就代表对 B 施加旋转操作，那么 A^{-1} 就是代表将 B 矩阵再转回去，也就是一步还原操作。为什么行列式等于0代表矩阵不可逆呢？这里要引用 @马同学 的说法，行列式为0的线性变换相当于一次“降维打击”，如果对于一个一般的六面体，施加这种降维打击之后，相当于变成了一条线段或者一个平面，自然体积也就变为0了，并且该过程是不可逆的，正所谓覆水难收嘛。总结一下，为了通俗易懂的理解行列式，一方面可以观察矩阵所围成的面积体积与行列式的联系；另一方面，将矩阵视作一次线性变换的话，行列式可以与该线性变换对面积体积的缩放程度联系起来。上面白话了这么多，可能有的同学已经不耐烦了，因此，下面给同学们整理一点干货。关于行列式的等式关系如果矩阵的两行（或列）互换位置，则行列式数值保持不变，但符号改变。若矩阵的某行（或列）是其他行（或列）的线性组合，则 det(A)=0 。单位矩阵的行列式等于1任何一个正方矩阵 A 和它的转置矩阵 A^{T} 具有相同的行列式，即 det(A)=det(A^{T}) ，但 det(A^{H})=[det(A^{T})]^{*} 两个矩阵乘积的行列式等于它们的行列式的乘积给定任意一个常数 c ，则 det(cA) = c^{n}A 若 A 非奇异，则 det(A^{-1}) = 1 / det(A) 三角（上三角或者下三角）矩阵 A 的行列式等于其主对角线所有元素的乘积关于行列式的不等式关系1. Cauchy-Schwartz 不等式：若 A,B 都是 m \times n 矩阵，则 \left
det(A^{H}B) \right|^{2} \leq det(A^{H}A)det(B^{H}B)\\ 2. Hadamard 不等式：对于 m \times m 矩阵 A ，有 det(A) \leq \prod_{i=1}^{m}(\sum_{j=1}^{m}{|a_{ij}|^{2}})^{1/2} \\ 3. Fischer 不等式：若 A_{m \times m} , B_{m \times n} , C_{n \times n} ，则 det\left( \left[\begin{array}{ccc} A & B \\ B^{H} & C\end{array}\right]\right) \leq det(A)det(C) \\ 4. Minkowski 不等式：若 A_{m \times m} \ne O_{m \times m},
B_{m \times m} \ne O_{m \times m} 半正定，则 \sqrt[m]{det(A+B)} \geq \sqrt[m]{det(A)} +
\sqrt[m]{det(B)} \\ 5.正定矩阵A的行列式大于0，即 det(A)>0 6.半正定矩阵 A 的行列式大于或等于0，即 det(A) \geq 0 7.若 m \times m 矩阵 A 半正定，则 (det(A))^{1/m} \leq \frac{1}{m}det(A) 8.若矩阵 A_{m \times m},B_{m \times m} 均半正定，则 det(A+B) \geq det(A) + det(B) 9.若 A_{m \times m} 正定， B_{m \times m} 半正定，则 det(A +B ) \geq det(A) 10.若 A_{m \times m} 正定， B_{m \times m} 半负定，则 det(A+B) \leq det(A) 欢迎关注我的公众号【达布牛学习笔记】这次先写到这里，如果这篇文章能够得到大家的认可的话，后续再更新更多关于行列式的干货。

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展开全部行列式，一般是将矩阵初等变换，化成三角阵，然后主对角线元素相乘，即可得到。列三种变换称为矩阵的行初等变换：（1）对调两行；（2）以非零数k乘以某一行的所有元素；（3）把某一行所有元素的k倍加到另一行对应元素上去。将定义中的“行”换成“列”，即得到矩阵的初等列变换的定义。矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换。性质①行列式A中某行(或列)用同一数k乘，其结果等于kA。②行列式A等于其转置行列式AT(AT的第i行为A的第i列)。③若n阶行列式|αij|中某行(或列);行列式则|αij|是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列),一个是b1,b2,…,bn；另一个是с1，с2,…,сn；其余各行（或列）上的元与|αij|的完全一样。以上内容参考：百度百科-行列式已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论
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