向量组线性两个向量相关的充要条件件是向量个数大于向量维数吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-07-04 08:53 标签： 两个向量相关的充要条件
抽象情况下，维数的标准定义是最大线性无关向量组的大小。你这里的维数应该指的是\mathbb{R}^n的n，即向量作为一个tuple的长度。只考虑\mathbb{R}^n的情况，因此要证明\mathbb{R}^n的维度(最大线性无关向量组的大小)就是n。显然，我们已经有一个标准基底e_1,e_2,\cdots,e_n。因此任意n+1个矢量v_1,v_2,\cdots,v_n,v_{n+1}都可用标准基底唯一线性表示。假设这n+1个矢量是线性无关的，即不存在不全为零的\alpha_1,\cdots,\alpha_n,\alpha_{n+1}使得\sum_i\alpha_iv_i=0将这些矢量用标准基来表示v_i=\sum_{j=1}^{n}\beta_{ij}e_j,\quad i=1,2,\cdots,n+1.考虑n个方程构成的(n+1)元线性方程组\sum_{i=1}^{n+1}\beta_{ij}x_i=0必有不全为零的解c_1,c_2,\cdots,c_n,c_{n+1}(用消去法)。于是，\sum_{i=1}^{n+1}c_iv_i = \sum_{i=1}^{n+1}c_i\left(\sum_{j=1}^n\beta_{ij}e_j\right)=\sum_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^{n+1}(\beta_{ij}c_i)\right)e_j=0这与v_1,\cdots,v_n,v_{n+1}线性无关相矛盾。因此，所有n+1个向量都是线性无关的。即\mathbb{R}^n中最大线性无关组的大小至多为n。上述证明过程也适用于一般矢量空间，如果已知一个由n个向量构成的基底，则其它线性无关组的向量个数至多为n。

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