高数求微分方程的通解例题怎么学

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2023-07-01 15:10 标签： 求微分方程的通解例题
不经意间，五月就到来了，最近常常会在朋友圈中看很多同学都在回忆从前。为什么我们时常会想到小时候的点滴呢，我想那是因为越长大越烦恼了。我时常说，小时候的生活是不经意过着每一天，而长大后我们更加懂事时，便会细细回忆从前。我想大概是这样子的。而对于我们考研的同学，唯一能做的就是学习，再学习。这个时期，我们一阶的高等数学差不多都要结束了，此时此刻，跨考教育想跟大家聊聊关于考研数学高等数学中的常微分方程问题。要想学好微分方程这一章节，我们首先要把前面的导函数和不定积分学会，因为，微分方程这一章节，我们可以把它看做导数和不定积分的结合。数一、二、三的考研大纲中的要求是不一样的，因此，我们在学这一章节前，一定要看清自己所考试的范围和内容。这些，在我们相关老师的课堂上也会经常提到。在一阶基础阶段时，微分方程这一块的要求是同学们要知道微分方程的定义、结构性质以及微分方程的分类和解法。等到后面暑期强化阶段时便会有更高的要求，微分方程在几何和物理方面的应用就是在暑期强化阶段讲的。微分方程这一章节是考研所要求考的内容，包括解的结构性质、求解二阶、三阶常系数线性微分方程，以及与其他知识结合出现的综合题(物理和几何方面的应用)。关于微分方程的历年真题中，填空、选择、解答题等都有出现过。题目难度大都是中等偏难的。具体考察的内容：在一阶微分方程中，数学一、二、三都需要掌握可分离变量微分方程、齐次微分方程以及一阶线性微分方程。其中的一阶线性微分方程考研考过多次，是重点，同学们必定要掌握。对于数学一、二还需要掌握伯努利微分方程，其解法是替换转化为一阶线性微分方程来做。另外，数学一还需要掌握全微分方程。对于二阶微分方程，二阶线性微分方程同学们只用掌握性质就可以了。而二阶常系数微分方程是数学一、二、三都需要掌握的。同学们要知道方程的结构以及求法。二阶常系数微分方程的解法是考研的重点。另外数学一、二还需要掌握的是可降阶微分方程，同学们要知道关于可降解微分方程的三种类型和解法。还有就是数学一还需要掌握欧拉微分方程，数学三需要掌握的是差分方程，关于欧拉方程和差分方程同学们要掌握其基本的解法。关于考研数学中的微分方程问题，同学们在掌握各类方程的解法后多做习题，加以巩固掌握。还是那句老话：考研，我们是认真的。加油!
也欢迎关注我的知乎账号 @石溪 ，将持续发布机器学习数学基础及算法应用等方面的精彩内容。微积分与最优化，是机器学习模型中问题最终解决方案的落地手段。当我们分析具体问题，并建立好算法模型后，问题的最终求解过程往往都会涉及到优化问题，因此我们需要去探寻数据空间中的极值。这一切如果没有微分理论和计算方法作为支撑，任何漂亮的模型都无法落地。因此夯实多元微分的基本概念，掌握最优化的实现方法，是通往问题最终解决方案的必经之路。在机器学习的实践中，对于一个函数，尤其是多元函数而言，读者需要面对许多非常重要的概念和方法问题：我们常说的导数和微分的背后的几何含义是什么？我们常常听说的链式法则又是如何运转的？对于一个连续的函数，我们是如何基于不同阶数的导数，在指定点处，利用有限的级数项之和对函数进行近似？多元函数中的梯度指示出了怎样的重要信息？我们如何利用它去寻找函数的极值？利用程序进行函数极值求解时，如何利用不断迭代的方法在连续的函数中实现我们的目标？梯度法、最速下降法、牛顿法，这些极值求解的具体方法是如何实现的？各有什么优点和不足？这些微积分中的重要问题和概念，是理解和实现优化方法的重中之重。因此，在《机器学习中的数学：微积分与最优化》中，我们将重点落实微分基础、多元分析、优化基础和多元极值这四部分内容，一次讲清楚优化算法中最为关键的基本概念和方法。亮点和特色篇幅短小精悍，帮你提炼重点：这不是一个大而全的高等数学课程，而是一个简明扼要的专栏，解决的是机器学习中最优化问题所需要的核心基础概念，但对于最重要的微分基础、多元分析、优化基础和多元极值四部分知识，我们则进行庖丁解牛式的透彻讲解。使用 Python 工具，无缝对接工程：教你用熟、用好 NumPy、SciPy、Matplotlib、Pandas 等工具库，无缝对接工程实践应用。结合优化算法，提升学习效率： 结合实际的典型优化算法，分析、讲解微积分内容，通过更强的导向性和目标性，大幅度提升学习效率。设计思路我们将通过专栏的四大核心板块向你依次展现机器学习所需的微积分核心内容。第 1 部分：微分基础。这一部分从一元函数的导数和微分入手，快速理清连续与可微、切线与导数等重要概念，巩固核心基础，同时从切线的几何意义出发顺势引出微分的数值求法。在此基础上进一步讨论一元函数的泰勒近似，引导读者利用高阶导数基于有限的级数项，在指定点对函数进行近似处理。第 2 部分：多元分析。这一部分由一元过渡到多元函数，导数与微分的概念得以进一步完善和深化，引出多元函数的极限、连续以及偏导数，并在多元微分的几何意义的基础上，讨论了多元函数的泰勒近似。同时从偏导数的几何意义出发，引出这一部分最为重要的概念：多元函数的梯度向量和黑塞矩阵，探究梯度与函数值变化的重要关系，为后面的优化方法打好基础。第 3 部分：优化基础。这一部分讨论了最优化的概念基础，首先我们分析最优化问题的由来和背景，然后重点讨论函数极值存在的条件以及探索函数极值过程中常用的迭代法。第 4 部分：多元极值。这一部分面向几个典型的实际算法，分别举了多元函数极值求取的一阶方法和二阶方法的典型例子，对许多材料中耳熟能详、反复出现的梯度法、最速下降法以及牛顿法都进行了深入的介绍和完整的实现。同时综合整个四部分内容，整合微分与优化的完整知识闭环。让我们一起开始这段学习旅程！当然还有《机器学习中的数学（全集）》系列专栏，欢迎大家阅读，配合食用，效果更佳~有订阅的问题可咨询微信：zhangyumeng0422

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