求极限的，详细过程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-11-29 05:49 标签： 求极限的

【摘要】结合在洛必达法则教学中发现的问题，通过实例阐述洛必达法则解未定式极限的方法、技巧以及应用中存在的一些误区，以便更好地使用洛必达法则求极限.

【关键词】极限；洛必达法则；误区

求极限是高等数学中相当重要的一部分内容，而洛必达法则在解未定式极限中发挥了很大的作用，很多学生在使用洛必达法则时不够灵活，甚至由于对定理认识不足而忽略了其使用的条件，下面通过实例来讨论使用洛必达法则的方法和需要注意的问题.

一、00及∞∞型未定式

在文献[1]中定理6.6及定理6.7给出了洛必达法则及其证明，它是导数的一个应用，是对00及∞∞型未定式極限的解法，下面通过例子说明其应用.

=limx→+∞6xex（为∞∞型未定式）

例2说明，洛必达法则在求极限时，只要满足条件，可重复使用.

二、其他类型的未定式极限

未定式的类型还有0·∞、∞-∞、00、∞0、1∞等，在此不一一举例，对于此类未定式，我们一般可以将其转化为00或∞∞型，再用洛必达法则求解.

应用洛必达法则，首先未定式应为00或∞∞型的商的形式，如例3这种乘积形式的未定式，我们先将其转化为商的形式，即00或∞∞，再用洛必达法则求解.

如例4中幂指函数类型的未定式求极限，我们一般可先利用恒等变形uv=evlnu将其化为指数为乘积的形式，再将指数转化为00或∞∞型，最后用洛必达法则求解.

三、应用洛必达法则的误区

1.部分学生在学习了洛必达法则后，见到分式的极限，不考虑是否为00或∞∞型未定式，就盲目地使用洛必达法则求解，这其实是忽略了洛必达法则的条件1.

所以limx→2x3+2x2（x-2）2=∞（无穷小与无穷大的关系）.

2.使用洛必达法则时，发生本质性的错误.个别学生在用洛必达法则时对整个分式求导数，没有搞清楚洛必达法则的结论.

比如，在解例1时出现这样的错误解法：

洛必达法则在满足条件时，应通过分子、分母分别求导，再求极限来确定未定式的值.

3.遇到00或∞∞型未定式极限时，认为洛必达法则一定可以应用，忽略了定理中的条件3，从而盲目地得到错误的结果.

在上面的解法中，原极限虽然是∞∞型，但求导后的极限limx→∞（1+cosx）是不存在的，也不是无穷大量，不满足洛必达法则的条件3，因此，不能用洛必达法则求解.

例6说明在使用洛必达法则求极限时要时刻关注分子、分母分别求导后的极限是不是常数A或无穷大量，若不是，则洛必达法则不能使用.

4.求极限过程中只考虑洛必达法则，忽略其他极限方法，从而导致解题烦琐.

上面两种解法都正确，但解法一反复的利用洛必达法则将极限式变得很烦琐，计算中容易出现错误，且解题过程很长，而解法二首先利用等价无穷小代换将分母变得简单，再用洛必达法则求解，比解法一简便很多.因此，在用洛必达法则解未定式极限时，不能一直盯着洛必达法则，要结合其他方法使计算简便.

洛必达法则是求极限的一种重要工具，但其不是万能的，在使用过程中应注意是否满足条件，再根据题目结合其他求极限的方法灵活运用，才能更好地使用洛必达法则.

[1]华东师范大学数学系.数学分析：上册[M].第三版.北京：高等教育出版社，2001：127-129.

[2]王建林.高等数学及其应用[M].北京：中国农业出版社，2012：100.

[3]同济大学数学系.高等数学：上册[M].第七版.北京：高等教育出版社，2014：137.

大家好，我是宝刀君，今天我们来学习下考研数学里的一个重要的知识点：利用泰勒公式求极限。

好多考研党在利用泰勒公式求极限时，经常搞不清楚的一个问题是：这个泰勒公式，我到底是要展开到第几阶啊？？？

为了解决这个问题，宝刀君先从什么是泰勒公式说起。

泰勒公式本质上是一种函数的近似，将一个函数在某一点展开，展开项越多，越精确。

根据余项的不同，又可以分为带皮亚诺余项的泰勒公式，和带拉格朗日余项的泰勒公式：

需要注意的是：带皮亚诺余项的泰勒公式，由于它是定义在x0这一点的，所以它也被称为是局部泰勒公式。而带拉格朗日余项的泰勒公式，由于它是定义在一段区间上的，所以也被称为是整体泰勒公式。

余项分2种，而x0的选取就很多了，但我们只记住了一种，那就是x0取特殊值0时，这时的泰勒公式有了个新的名字：麦克劳林公式。

这三个名称之间的关系是：

考研里面，有10个麦克劳林公式，是需要大家重点掌握的。

不用再苦苦寻找了，宝刀君已经帮你整理好了，就是它们啦：

需要说明的是，这10个麦克劳林公式里的x，要进行广义化的理解。

也就是说，当包含x的多项式时，只要它是趋于0的，那么就可以将这个多项式看做“X”，也就是大家经常嘴边常说的：狗-sin狗=1/6狗的立方，三个狗要一模一样。

2、利用泰勒公式求极限，函数需要展开到第几阶？

麦克劳林公式大家都会背，但问题是：你在真正求极限时，我这时要展开到第几阶啊？有木有什么准则可以指导下？

难不成是“纸有多长，就展多长？”

我之前在该问题：里讲过2个准则：分式上下同阶原则、加减幂次最低原则。（这两个准则的具体含义，可以点击如下的卡片前去阅读）讲解过程中，并引用了典故“韩信点兵，多多益善”这个故事，通过这个故事告诉大家：“泰勒展开，多多益善”。

好多学生看了该问题的回答后，还是不太明白这个阶数如何定？

下面宝刀君就再讲2个例题，告诉大家这个“阶数”到底该怎么定？

阶数怎么定？--例题1阶数怎么定？--例题2

题目拿到手，是让你求极限，好多种函数混合在一起，直觉上是用泰勒公式做，但是将他们展开到第几阶啊？

看分子，好像看不出什么门道来，那就看分母。

分母是2项相乘，x趋于0时，sin^2x等价无穷小于x^2。而括号里的，可以看做是A-B型，那么这时候思路就有了：我先把分母中括号里的A-B型的阶数确定了，然后再乘以外面的x^2，这时分母整体的阶数就确定了，当分母的阶数确定后，根据分式上下同阶原则，分子的阶数也就确定了。

于是，这道题的正确解题过程就出来了：

也就是说，当确定这道题的阶数时，我们是通过：

先确定分母的阶数，然后才知道分子究竟应该展开到多少阶的。

和第一个例题类似，观察分子不确定到底展开到多少阶，那么就观察分母吧。

分母里，x和cosx相乘后再和sinx做减法运算，那么整体是A-B型，只需要展开到(A-B)的第一个不相等的幂次就可以了（或者说是x^k前面的系数不相等）。运算可知，前两项相乘后，在3次方就和sinx的三次方系数不相等，所以分母的阶数为3阶，因此分子我也要展开到3阶。

所以，第2道例题的正确解法是：

宝刀君在知友提问的问题：“”中给出了两个准则：分式上下同阶原则、加减幂次最低原则，在那个问题的回答中，给出的2道例题及评论区回答中解释了“要注意常数项对展开项的影响”。

而今天给的这2道例题，则进一步解释了“阶数怎么确定”，对于加减型的求极限，大家肯定都会确定，难就难在分式，尤其是遇到结构比较复杂的分式时，你要观察谁的阶数（分子or分母）更容易确定？ 观察的过程中，要注意“整体思想”，如第二题的分母整体可看做是A-B型。

读懂了宝刀君今天呕心沥血写的以上内容，那么下面这道题，你作出的答案就应该是a=2,b=1,而不应该是错误答案：a=2,b=-1.

PS：算出正确答案的同学，麻烦你给本文点个赞，同时在评论区留下你的解答过程，让宝刀君看看有多少同学是真正读懂了本文~

文末，给个学习建议：宝刀君在讲解该知识点时附的这4道例题，建议大家抄写到笔记本上，综合对比，前2个例题着重观察常数项的影响，后2个例题着重观察阶数怎么确定。到强化阶段复习时，该笔记还可以继续看，到那时，相信大家再做类似的题就是a piece of cake了，加油！

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