可以和这一篇配合食用。
我们都蛮喜欢用等价无穷小量的替换的,因为在记下了常见的等价无穷小量之后,这种方法我们基本不用复杂的计算。
如果用洛必达法则,我们就要算很长的时间。
但用等价无穷小量的替换需要特别注意两点(常出错的两点)
①被替换的量,必须是无穷小量(在取极限时为0)。
②被替换的量,必须是作为被乘或被除的元素,不能是被加减的元素。
③替换时必须整体替换,而不能替换局部
整体替换是什么意思呢?
其实等价无穷小量的替换,我们可以看做是原极限乘以一个极限为1的
整体替换,就是要对整个求极限的式子乘1。
这一点其实是很多人不容易注意到的。
注:这里只写x=0处的泰勒展开,仅仅是因为懒。
我们用泰勒展开式,来对函数在一点附近的函数进行近似,近似式的阶数越高,近似程度越好。
都是近似,等价无穷小量和泰勒展开的关系是什么呢?
无穷小量的等价,不过取了泰勒展开式的第一项去等价罢了。
等价无穷小量就是精度较低的泰勒展开。
仅仅从做题的角度来说,就是你能用等价无穷小量去做的题,用泰勒展开一定可以,但反过来未必。
我们用泰勒展开的方法做一下上面的例3:
我们清楚了等价无穷小量和泰勒展开之间的关系之后,这个问题的答案我们很容易得到。
本质是因为加减可能会导致项的抵消,抵消后,根据分母的阶数可能会需要泰勒展开第一项后的高阶近似,但因为等价无穷小量只取了泰勒展开的第一项,对后续的近似无能为力。
因为乘除不会消去第一项近似,你等价的那个无穷小量(即泰勒展开的第一项)总会在,在就意味着轮不到你后面的高阶近似上场。
这个时候,我不需要你分子的等价无穷小量一直等价到和分母相同。
知道为什么不能用,那什么时候能用就很简单了——我们不让相加减的两个函数的泰勒展开式的第一项(等价的无穷小量)消去就可以了呗。
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