一．三角形的面积（共1小题）
1．（2021春 闵行区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），点B（0，3），点C（3，0）．
（1）△ABC的面积为 　 　；
（2）已知点D（1，﹣2），E（﹣2，﹣3），那么四边形ACDE的面积为 　 　．
（3）奥地利数学家皮克发现了一类快速求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用m表示格点多边形内的格点数，n表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S和m与n之间满足一种数量关系．例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表中信息：
形内格点数m 边界格点数n 格点多边形面积S
根据上述的例子，猜测皮克公式为S＝　 　（用m，n表示），试计算图②中六边形FGHIJK的面积为 　 　（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）．
二．全等三角形的判定与性质（共5小题）
2．（2019春 浦东新区期末）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，试说明BD＝CE的理由．
所以　 　（等边对等角）．
所以∠AED＝∠ADE（等边对等角）．
所以△ABE≌△ACD（　 　）
所以　 　（全等三角形对应边相等），
所以BD＝CE（等式性质）．
3．（2021春 奉贤区期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝ED，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B和∠C的大小关系如何？为什么？
解：因为∠FDC＝∠B+∠DFB　 　，
又因为∠FDE＝∠B（已知），
所以∠　 　＝∠　 　．
所以△DFB≌△EDC　 　．
（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
5．（2021春 静安区期末）如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，
求证：AD是∠BAC的平分线．
6．（2021春 奉贤区期末）把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．
（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；
（2）图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，连接BD、连接EC并延长与BD交于点F．请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；
①画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形；
②写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系；
③上面第②题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗？
三．等腰三角形的性质（共1小题）
7．（2021春 杨浦区期末）已知在△ABC与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED．
（1）如图1，试说明AC＝CE的理由；
（2）如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由；
（3）当AH∥EI时，求∠B的度数．
四．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2020秋 大安市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
五．三角形综合题（共5小题）
9．（2021春 嘉定区期末）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．
（1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．
（2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？
答：　 　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
（3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．
10．（2021春 静安区校级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，以BC、AC为边向△ABC外作等边△BCD和等边△ACE．
（1）如图1，连接AD、BE，AD与BE相交于点O．
①说明AD＝BE的理由．
②∠AOB＝　 　°．（直接填答案）
（2）如图2，连接DE，交BC于点F，DF与EF相等吗？为什么？
11．（2021春 静安区期末）如图，在直角坐标平面内有点A（0，2）、B（﹣2，0）、C（2，0）．
（1）△ABC的形状是否是等腰直角三角形？为什么？
（2）课文阅读材料告诉我们，古希腊的希帕斯经过探索，发现了如此情况下AB的长是一个无理数，请你（不用勾股定理等后面所学习的方法）求出AB的长，以此向古代先贤致敬；
（3）点P在y轴上，如果△PAB是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
12．（2021春 浦东新区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（﹣2，﹣2），将线段AB平移到线段DC．
（1）如图1，直接写出线段AB和线段CD的位置和数量关系；
（2）如图2，若线段AB平移到线段DC，D、C两点恰好分别在y轴、x轴上，求点D和点C的坐标；
（3）若点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限内，且S△ACD＝5，直接写出点C、点D的坐标．
13．（2021春 奉贤区期末）已知△ABC、△AED均为等边三角形，点E是△ABC内的一点．
（1）如图①，说明BD＝CE的理由；
（2）如图②，当点E在线段CD上时，∠CDB＝　 　度（直接写出答案）；
（3）当△DBE为等腰直角三角形时，∠ABD＝　 　度（直接写出答案）．
六．几何变换综合题（共2小题）
14．（2021春 静安区校级期末）已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．
（2）如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．
（3）当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系．
15．（2021春 黄浦区期末）如图1，以AB为腰向两侧分别作全等的等腰△ABC和△ABD，过顶角的顶点A作∠NAN，使∠MAN＝∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将∠MBN的边AM与AC叠合，绕点A按逆时针方向旋转，与射线CB、BD分别交于点E、F．设旋转角度为β．
（1）如图1，当0°＜β＜α时，说明线段BE＝DF的理由；
（2）当α＜β＜2α时，在图2中画出符合题意的图形并写出此时线段CE、FD与线段BD的数量关系是 　 　．（直接写出答案）
（3）联结EF，在∠MAN绕点A逆时针旋转过程中（0°＜β＜2α），当线段AD⊥EF时，用含α的代数式表示∠CEA＝　 　（直接写出答案）．
一．三角形的面积（共1小题）
1．（2021春 闵行区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），点B（0，3），点C（3，0）．
（1）△ABC的面积为 　10.5　；
（2）已知点D（1，﹣2），E（﹣2，﹣3），那么四边形ACDE的面积为 　12.5　．
（3）奥地利数学家皮克发现了一类快速求解格点多边形的方法，被称为皮克定理：如果用m表示格点多边形内的格点数，n表示格点多边形边上的格点数，那么格点多边形的面积S和m与n之间满足一种数量关系．例如刚刚求解的几个多边形面积中，我们可以得到如表中信息：
形内格点数m 边界格点数n 格点多边形面积S
根据上述的例子，猜测皮克公式为S＝　m+﹣1　（用m，n表示），试计算图②中六边形FGHIJK的面积为 　30　（本大题无需写出解题过程，写出正确答案即可）．
【解答】解：（1）根据题意可知：
△ABC的底7，高为3，
（3）根据题意可知：皮克公式为S＝m+﹣1，六边形FGHIJK的形内格点数m＝27，边界格点数n＝8，
故答案为：m+﹣1，30．
二．全等三角形的判定与性质（共5小题）
2．（2019春 浦东新区期末）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，试说明BD＝CE的理由．
所以　∠B＝∠C　（等边对等角）．
所以∠AED＝∠ADE（等边对等角）．
所以　BE＝CD　（全等三角形对应边相等），
所以BD＝CE（等式性质）．
【解答】解：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C（等边对等角）．
所以∠AED＝∠ADE（等边对等角）．
所以 （全等三角形对应边相等），
所以BD＝CE（等式性质）．
故答案为∠B＝∠C，AD＝AE，∠B＝∠C，AAS，BE＝CD．
3．（2021春 奉贤区期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝ED，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B和∠C的大小关系如何？为什么？
解：因为∠FDC＝∠B+∠DFB　三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和　，
又因为∠FDE＝∠B（已知），
所以∠　DFB　＝∠　EDC　．
所以△DFB≌△EDC　（SAS）　．
【解答】解：因为∠FDC＝∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），（2分）
又因为∠FDE＝∠B（已知），
所以∠DFB＝∠EDC．（2分）
在△DFB和△EDC中，（2分）
所以△DFB≌△EDC（SAS）．（1分）
（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
【解答】证明：（1）延长BD交CE于F，
（2）延长BD交CE于F，
∵在△EAC和△DAB中，
5．（2021春 静安区期末）如图，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，
求证：AD是∠BAC的平分线．
【解答】证明：∵BD＝DC，
∴AD是∠BAC的平分线．
6．（2021春 奉贤区期末）把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：“在同一平面内将直角顶点叠合”．
（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；
（2）图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，连接BD、连接EC并延长与BD交于点F．请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；
①画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形；
②写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系；
③上面第②题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗？
【解答】解：（1）△ABD≌△ACE．（1分）
∵△ABC是直角三角形，
即∠BAD＝∠CAE．（1分）
（2）在△ABD和△ACE中，
∴∠ADB＝∠AEC．（全等三角形对应角相等）（1分）
∵∠ACE＝∠DCF，（对顶角相等）
∴∠EAC＝∠EFD．（1分）
∴BD⊥EC．（垂直定义）（1分）
（3）①如图：（1分）
三．等腰三角形的性质（共1小题）
7．（2021春 杨浦区期末）已知在△ABC与△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，∠ACE＝∠B，点B、C、D在同一直线上，射线AH、EI分别平分∠BAC、∠CED．
（1）如图1，试说明AC＝CE的理由；
（2）如图2，当AH、EI交于点G时，设∠B＝α，∠AGE＝β，求β与α的数量关系，并说明理由；
（3）当AH∥EI时，求∠B的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD＝∠A+∠B，
（2）解：3α﹣2β＝180°．理由如下：
如图1所示，连接GC并延长至点K．
∵∠ACK为△ACG的外角，
又由（1）中证明可知∠ECD＝∠BAC＝2a，
由三角形内角和公式可得∠ECD+∠DEC+∠D＝180°，
（3）当AH∥EI时，如图2所示，
由（1）中证明可得∠ECD＝∠BAC＝2a，∠D＝∠B＝α．
在△CED中，根据三角形内角和定理有∠ECD+∠CED+∠D＝180°，
即3α＝180°，解得：α＝60°．
四．等腰三角形的判定与性质（共1小题）
8．（2020秋 大安市期末）已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．
【解答】证明：延长BE交AC于M
同理，∠4＝90°﹣∠2
∵∠4是△BCM的外角
五．三角形综合题（共5小题）
9．（2021春 嘉定区期末）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系．
（1）如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．
（2）如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？
答：　一定成立　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．
（3）如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴△PMN为等边三角形，
同理可得，CN＝PN，
理由如下：如图②，延长AC至H，使CH＝BM，连接PH，
由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，
（3）解：如图③，在AC上截取CK＝BM，连接PK，
10．（2021春 静安区校级期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，∠BCA＝30°，以BC、AC为边向△ABC外作等边△BCD和等边△ACE．
（1）如图1，连接AD、BE，AD与BE相交于点O．
①说明AD＝BE的理由．
②∠AOB＝　120　°．（直接填答案）
（2）如图2，连接DE，交BC于点F，DF与EF相等吗？为什么？
【解答】解：（1）①∵△BCD和△ACE是等边三角形，
②设AD与BC交于H，
理由如下：过E作EM⊥AC交BC于M，交AC于N，
∵△BCD和△ACE是等边三角形，
11．（2021春 静安区期末）如图，在直角坐标平面内有点A（0，2）、B（﹣2，0）、C（2，0）．
（1）△ABC的形状是否是等腰直角三角形？为什么？
（2）课文阅读材料告诉我们，古希腊的希帕斯经过探索，发现了如此情况下AB的长是一个无理数，请你（不用勾股定理等后面所学习的方法）求出AB的长，以此向古代先贤致敬；
（3）点P在y轴上，如果△PAB是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，
理由如下：∵点A（0，2）、B（﹣2，0）、C（2，0），
∴△ABC是等腰直角三角形；
∴AB＝2，AB＝﹣2（舍去），
（3）若PB＝PA，则点P与点O重合，即点P坐标为（0，0）；
若AB＝AP＝2，且点A（0，2），
∴点P（0，2+2）或（0，2﹣2），
综上所述：点P的坐标为（0，0）或（0，﹣2）或（0，2+2）或（0，2﹣2）．
12．（2021春 浦东新区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（﹣2，﹣2），将线段AB平移到线段DC．
（1）如图1，直接写出线段AB和线段CD的位置和数量关系；
（2）如图2，若线段AB平移到线段DC，D、C两点恰好分别在y轴、x轴上，求点D和点C的坐标；
（3）若点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限内，且S△ACD＝5，直接写出点C、点D的坐标．
【解答】解：（1）由平行的性质可知，线段AB＝CD，AB∥CD．
（2）如图2中，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则∠AEB＝∠COD＝90°，
∵A（﹣3，0），B（﹣2，﹣2），
∴点C坐标为（1，0），点D坐标为（0，2）．
（3）如图1中，连接AC，OC．设D（0，m），则C（1，m﹣2）．
∴点C（1，2）点D（0，4）．
13．（2021春 奉贤区期末）已知△ABC、△AED均为等边三角形，点E是△ABC内的一点．
（1）如图①，说明BD＝CE的理由；
（2）如图②，当点E在线段CD上时，∠CDB＝　60　度（直接写出答案）；
（3）当△DBE为等腰直角三角形时，∠ABD＝　15或30或45　度（直接写出答案）．
【解答】（1）证明：如图①中，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
由（1）可知△CAE≌△BAD，
∵△ADE是等边三角形，
（3）解：如图③﹣1中，当∠EDB＝90°，DE＝DB时，
∵△ADE是等边三角形，
如图③﹣2中，当∠DEB＝90°，ED＝EB时，同法可得∠EAB＝∠EBA＝15°，
如图③﹣3中，当∠EBD＝90°，BE＝BD时，
∴AB垂直平分线段DE，
综上所述，满足条件的∠ABD的值为15°或30°或45°．
故答案为：15或30或45．
六．几何变换综合题（共2小题）
14．（2021春 静安区校级期末）已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．
（1）如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．
（2）如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．
（3）当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
（2）如下图，设G点在FE的延长线，AF与DE交点为H，
（3）①若E在线段BC上，设DE延长线交AC于点I，
②若E在BC延长线上，
综上，若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3．
15．（2021春 黄浦区期末）如图1，以AB为腰向两侧分别作全等的等腰△ABC和△ABD，过顶角的顶点A作∠NAN，使∠MAN＝∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将∠MBN的边AM与AC叠合，绕点A按逆时针方向旋转，与射线CB、BD分别交于点E、F．设旋转角度为β．
（1）如图1，当0°＜β＜α时，说明线段BE＝DF的理由；
（2）当α＜β＜2α时，在图2中画出符合题意的图形并写出此时线段CE、FD与线段BD的数量关系是 　CE﹣FD＝BD　．（直接写出答案）
（3）联结EF，在∠MAN绕点A逆时针旋转过程中（0°＜β＜2α），当线段AD⊥EF时，用含α的代数式表示∠CEA＝　90°﹣α　（直接写出答案）．
【解答】解：（1）如图1中，
∵等腰△ABC和△ABD全等，
（2）线段CE、FD与线段BD的数量关系是CE﹣FD＝BD，
理由如下：如图2中所示，∵∠MAN＝∠BAD，
故答案为CE﹣FD＝BD；
（3）如图3中，设AE交BD于点O，连接EF．
故答案为：90°﹣α．