正切函数tanx的这个连分数展开式怎么证明？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-09-27 02:15 标签： 三角函数反函数的导数

在介绍对 π 、 e 是无理数的证明之前，我们需要先引入连分数的概念。

或许大多数人比较熟悉的对数的表示形式是如下形式的：

中的某一个元素。在这种表示方法中，使用数字 10 是因为我们在日常生活中常用十进制表示，同样地，我们也可以应用 2 进制表示或 8

但是这种表示是存在缺陷的。其中最大的一个缺陷就是，很多有理数在这种表示方式下是无穷的。例如分数 \frac{1}{3} 的表示方法 \frac{1}{3}=\sum_{i=1}^{+\infty}{3·10^{-i}} 就有无限项。那么，有没有哪种表示方法能够避免这一情况的发生呢？

连分数表示法应运而生。

那么，什么是连分数表示法？

，还可以写成 [4;2,6,7] 。这样，一个有理数就有了有限的表达式。而这种表示方法，也就是连分数表示法。

相比较于实数的小数表示法，实数的连分数表示法有一些非常棒的性质：

1.有理数的连分数表示形式是有限的，并且表示方法是唯一的。

2.无理数的连分数表示形式是无限的，并且表示方法是唯一的。

3.连分数的项会循环，当且仅当它是一个二次无理数（指满足整系数二次方程的无理数）的连分数表示。

4.数 x 的截断连分数所产生的有理数逼近精度通常高于其截断小数产生的有理数逼近精度。

利用连分数的性质1和性质2，我们就可以将对无理数的证明转化为对连分数项数的证明，即如果这个数的连分数表示项数是无穷的，那么这个数就是无理数。

对 π 是无理数的证明最早要追溯到德国数学家约翰·海因里希·兰伯特(Johann Heinrich Lambert)于1761年给出的用连分数的证明方法。

首先，兰伯特给出了 tanx 的连分数表示形式。

现在，我们将应用此函数以获得包括 tanx 在内的多个函数的连续分数展开。

则我们会得到如下通项形式：

将以上两式结合在一起，我们就可以得到 tanx 的连分数展开式。

其次，兰伯特利用 tan\frac{π}{4} 的结果证明了 π 是一个无理数。

，那么这个连分数所表示的分数是无理数。因为假设该分数是有理数，那么我们就可以设

此为矛盾，因此其必为无理数。

而当 n 足够大时，显然有无限多项满足1+a^2<nb ，所以由这个表达式得到的结果应该是无理数。但又显然这个表达式的结果是 1 为有理数，此为矛盾！因此 π 是无理数。 π 的连分数表达式为

1737年，欧拉写下了第一篇证明 e 为无理数的文献，并在7年后发表了它。他对 e 的证明也应用到了连分数的性质，他证明， e 的连分数表示形式

有无穷多项，因此 e 为无理数。又由于其连分数的项不会循环，因此 e 也不是具有整系数的二次多项式的根。同样的还有 e^2

同样有无穷多项，因此 e^2 也是无理数。

如此进行下去，就得到了其连分数形式。

小小的连分数，居然蕴含着如此强大的能量，未来，或许会有更多的无理数在它的“镜子”下露出真面目。让我们期待，在连分数的指引下，继续探索神秘的无理数世界~

1.兰伯特证明 π 是无理数的文献：

2.证明 π 为无理数的英文版：

3.用连分数证明 e 为无理数的文献：

4.用连分数证明黄金比率 \varphi为无理数的文献：

5.一个查阅无理数的连分数表示形式的网站：

（其中 e 的序号为， π 的序号为， \varphi 的序号为）

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