补充：在此文撰文之后Multiwfn又支持了ICSS方法图形化分析芳香性，极具实用价值，见《通过Multiwfn绘制等化学屏蔽表面研究芳香性》（）。
衡量芳香性的方法以及在Multiwfn中的计算
摘要：本文首先先介绍芳香性的基本概念，然后对比较重要、目前比较流行的和近年来新提出的衡量芳香性的方法依次进行介绍，并谈谈笔者的看法。其中可以在Multiwfn程序中实现的方法会介绍操作过程。最后对实际应用中芳香性指标的选择进行讨论。
顺带一提，笔者对18碳环体系曾做过大量的理论研究，汇总见。其中有两篇文章专门讨论18碳环和18碳环衍生物C18-(CO)6的芳香性，综合运用了本文中不少方法，十分推荐阅读和作为范例引用，分别见Carbon, 165, 468 (2020) DOI:
Bultinck等人的文章鼓吹计算多中心键级时应当将原子序号的各种置换组合都考虑进去，此时计算结果就完全和输入的原子序号顺序无关了。但这样计算多中心键级非常耗时，而且此时的结果并不适合研究芳香性，因为反映的并不是沿着环的路径的离域强弱，不过此时倒是适合研究某个簇状区域的整体离域情况。如果想计算这种多中心键级，将settings.ini里的iMCBOtype设为2之后，照常计算时输出的多中心键级就是这种了。详见Multiwfn手册3.11.2节。
电子定域化函数(Electron localization function, ELF)是Becke提出的衡量电子定域性的实空间函数，目前有极为广泛的应用。此函数的在《电子定域性的图形分析》（）中从图形的角度进行了介绍，在 物理化学学报, 27, )
中作者对ELF的函数形式和物理意义做了详细的讨论，更多相关信息看“ELF综述和重要文献小合集”（）。可以认为，被数值越高的ELF等值面包围的空间，电子越容易在这个空间内离域，同时越难离域到这个空间之外。
在JCP,120,)中，作者提出了ELF-sigma和ELF-pi用于研究sigma和pi芳香性。前者就是在计算ELF时只考虑pi以外的轨道，后者就是计算ELF时只考虑pi轨道。注意哪怕是对平面体系，ELF也不能分解为ELF-sigma和ELF-pi的加和，但使用ELF-sigma和ELF-pi研究问题确实有实际价值，所以也就无视这个理论上的小缺陷了。
ELF等值面的数值(isovalue)取得越大，等值面内的空间（称为域）就会越来越小。如果域内含有多个ELF极大点（叫可约域），则随着isovalue的增加，这个连通的域就会逐渐分解为多个小的孤立的域，最终每个域内只包含一个ELF极大点（叫不可约域）。不同isovalue时苯的ELF-pi和ELF-sigma等值面如下图所示
可见，对于ELF-pi等值面，当isovalue=0.91时，在苯环上方、下方对应离域pi电子的连通的可约域恰好要分解为六个碳原子上的不可约域，故0.91就是讨论芳香性时候苯的ELF-pi值。红箭头所示的位置被称为二分点(bifurcation
point)。不同体系ELF-pi值不同，pi芳香性越强的体系ELF-pi可约域分解得越晚，即ELF-pi值越大。多数体系并非像苯这样是每个键都对称的，因此ELF-pi可约域在环上的某些键上分解得早，在有的键上分解得晚，ELF-pi应当取最先出现分解时的值，而最先分解处也对应了环共轭最弱的位置。
ELF-sigma函数在构成共价键的原子间总有极大点，对应一块ELF-sigma值较高的区域。衡量芳香性所取的ELF-sigma值指的是环上的这些相邻的高ELF-sigma区域之间的二分点，对于苯，就是上图红箭头所示的位置。由于是在isovalue=0.71时恰好在此处从连通的可约域分解开来，因此苯的ELF-sigma值为0.71。
Chem.Rev.,105,)中指出ELF-pi大于0.7的体系可以算作是有pi芳香性的，在0.11~0.35可以算是有pi反芳香性的。对于有机分子，ELF-pi和ELF-sigma平均值大于0.7可以算作有整体芳香性，小于0.55的体系可以算作有整体反芳香性。
在Multiwfn中计算ELF-sigma/pi的方法是：先载入含有波函数信息的文件，利用主功能100里的选项22把pi轨道占据数设为0（对于计算ELF-sigma来说），或把其余轨道占据数设为0（对于ELF-pi来说）。然后进入主功能5，选ELF，再选合适的格点设定（小体系通常选2即可，大一些的体系适合选3）。格点数据算完后选-1，在蹦出来的图形界面里从小到大逐渐调节isovalue，直到ELF-sigma或ELF-pi等值面开始出现二分为止，就确定了ELF-sigma或ELF-pi的数值。另一种方法就是在设完占据数后用主功能2来进行拓扑分析找到精确的二分点位置，并获知相应位置的ELF-sigma/pi值，这样做没有观看等值面那样直观，但是结果更精确。非常具体的分析绘制ELF-pi的操作说明和示例见《在Multiwfn中单独考察pi电子结构特征》（）。
其实寡人并不完全赞同上述这种通过ELF-sigma/pi衡量芳香性的做法，因为只靠空间中个别的点的性质就断定整个环的芳香性，这难免考虑得不够周全，更合理的是诸如考虑一部分区域的ELF-sigma/pi。
在这里特别要指出的是，ELF-sigma/pi数值在目前的众多文献中十分混乱！问题极其严重！！！笔者发现很多文献中的ELF-sigma/pi值根本没法重现，有的明显不合理。主要原因可能是那些作者用的程序和操作步骤可能有误，更主要原因是对于复杂体系（对于苯的例子没体现出来），会涉及到一大堆二分点，取哪个二分点来定义体系的ELF-sigma/pi值（尤其是ELF-sigma）是个很含糊的问题，不同研究者取的二分点经常不一致。这导致文献中的ELF-sigma/pi值乱七八糟，有的体系的芳香性被明显高估或低估。导致目前这种糟糕局面体现了ELF-sigma/pi这个研究方法本身的缺陷，而原作者一开始也没严格地说清楚碰到复杂情况时该怎么选二分点。遗憾的是至今也没有人撰文指出目前文献中的ELF-sigma/pi值已经乱得一塌糊涂，导致鲜有人重视这个严峻问题，取二分点的标准始终没能标准化。这样下去早晚要出大麻烦。
LOL)是Becke在J.Mol.Struct.(Theochem),527,51(2000)当中提出的和ELF在定义及实际功能上都十分相似的实空间函数。现在也有少数文章开始用LOL-sigma和LOL-pi来讨论sigma和pi芳香性，例如PCCP,13,)，但是研究方法还没标准化，还没像ELF-sigma/pi那样得到普遍认知。使用LOL代替ELF研究芳香性可能会有更好的效果。对于大量芳香性体系，LOL-pi不像ELF-pi那样在pi键上有二分点，而是有局部极大值，直接对应了pi键，故分析比较便利（而ELF二分点的性质只能够间接地展现pi键）。苯的LOL-pi等值面如下所示，pi键上的LOL-pi极大点在isovalue=0.7时很鲜明。通过对比也能看出LOL-pi的等值面不像ELF-pi那么鼓，延展不到氢那边去，因此分析pi问题时显得比ELF-pi更干净清晰。
在Multiwfn里计算LOL-sigma/pi的过程和计算ELF-sigma/pi几乎完全一致，唯一不同的就是选择要算的实空间函数时选择LOL而非ELF。
另外还有文章用其它能够衡量电子定域性的实空间函数，如ELI-D来研究芳香性，但ELI-D函数定义比ELF/LOL更复杂，计算更耗时更麻烦，从结果上看也没什么额外的好处，可以无视掉。
电子的交换相关密度Γ(r1,r2)依赖于两个电子坐标，A、B两原子间的离域化指数(DI)定义为∫∫Γ(r1,r2)dr1dr2，其中r1和r2分别是在A和B的原子空间内积分。实际计算中DI的公式可以写为
两个加和号对应令m和n在所有分子轨道中循环。η代表轨道占据数，S_m,n(A)代表m和n号分子轨道在A的原子空间内的积分值。S称为原子重叠矩阵(AOM)。DI最初的定义中原子空间用的是AIM原子空间，也叫原子盆。关于交换相关密度和离域化指数更具体的内容已经分别在Multiwfn手册的2.6节的第17部分和3.18.5节进行了十分详细、清晰的讨论，这里就不重复了。可以简单认为两个原子间DI越大，那么电子在两个原子间离域程度越高。
对于苯的DI研究发现，对位两个原子间的DI明显要比间位的大，尽管间位的两个原子间离得更近。这表现出芳香环上电子离域的独特特点。基于这一点，在Chem.Eur.J.,9,400(2003)当中作者提出了PDI来衡量六元环芳香性，也就是三个对位的DI值的平均值：
芳香性越强，对位的DI越大，PDI也就越大。PDI可以很好地反映化学反应进程中芳香性的变化，但主要缺点是没法用于非六元环，以及没法合理表现出环平面的扭曲造成的芳香性的减弱，比如苯环变成船型。也有文献指出PDI对于带很多正电荷的富勒烯，如C60(10+)的局部芳香性描述有错误。
对于平面体系，由于DI可以精确地分离为sigma和pi部分的加和，因此PDI也可以相应地分离为PDI-sigma和PDI-pi用于单独研究sigma和pi芳香性。
在AIM原子空间中进行积分十分耗时，因为其边界复杂，不容易得到较精确的积分值，这是为什么算AIM电荷很耗时的关键原因。相应地，在AIM空间中计算AOM也十分耗时，而DI的计算耗时几乎全都花费在计算AOM上。所以使用AIM方式定义原子空间导致PDI的计算比较慢，尤其是对于大体系这更要命。模糊空间是另一类划分原子空间的方式，相邻原子空间之间是平滑过渡的，没有明确的边界。模糊空间有许多不同的具体定义方式，如Becke空间、Hirshfeld空间、ISA空间等。在模糊空间内对函数进行积分比较容易（通常用DFT的交换相关泛函的积分方法来做），因此在模糊空间下计算AOM可以使DI和PDI的计算很快地完成。在JPCA,110,)中，作者证明使用模糊空间代替AIM空间来计算PDI研究芳香性是很合理的，这样可以节省大量时间。
indices)。测试表明ATI和PDI（AIM空间下计算的）有很好相关性。实际上，如JPCA,109,)所证明的，Mayer键级可以视为是希尔伯特空间下计算的DI，物理本质上没有区别，所以有这样好的相关性是很自然的事情。此文也证明了模糊空间下的DI和“模糊键级”（CPL,383,368(2004)）是完全等价的。
注意AIM空间和模糊空间下计算DI对基组的敏感性都不高，虽然可以用，但没必要用大基组，算PDI用6-31G*就够了。由于DFT下的离域化指数的物理意义不清楚，所以原则上建议在HF下计算PDI。不过用杂化泛函时，从DI的数值结果上看倒也没什么不妥，实际上很多文章用的就是在B3LYP下计算的DI和PDI。而Mayer键级对基组敏感性略大，尤其不适合在弥散函数存在的情况下计算，算ATI的话通常也用6-31G*就行了。
Multiwfn中计算模糊空间下的PDI的方法是：首先载入含有波函数信息的文件，然后选15进入模糊空间分析功能，然后选5。程序会先在模糊空间下计算AOM并产生各个原子间的DI值，然后用户需要输入环上的六个原子序号，如2,3,4,7,10,11，输入顺序需依照原子连接关系。然后PDI值马上会输出出来。Multiwfn默认用的模糊空间的定义是Becke所提出的。用户也可以通过选项-1切换为Hirshfeld定义的模糊空间，但是它依赖于孤立原子密度，所以用户得提供孤立原子的波函数文件，故略微麻烦，从结果物理意义上来讲并不比Becke空间下计算的有显著优势。
Multiwfn中可以计算Mayer键级，方法是首先载入fch文件，然后选9再选1，此时大于默认阈值0.05的Mayer键级就会被输出出来。如果没有出现所要找的项，那么在启动Multiwfn之前可以在settings.ini文件里将bndordthres阈值设很低，比如设为0，则所有Mayer键级都会输出。程序也会问你是否将键级矩阵输出出来，从键级矩阵里也可以直接找到所有原子间的Mayer键级。得到环上三个对位的Mayer键级后，取平均即得到了ATI。
对于平面体系，Mayer键级和DI都可以精确地分离为sigma和pi部分的加和。因此ATI和PDI都可以分离为sigma和pi部分以单独研究sigma和pi芳香性。在Multiwfn中的做法是在计算PDI/ATI之前，按照前面提到过的，先用主功能100里的功能22来设定占据数，之后再照常计算PDI/ATI即可。
在密度泛函理论框架中定义了线性响应核(Linear response kernel, LRK)，并且基于二阶微扰理论可以得到闭壳层下KRL的近似形式：
其中ε代表分子轨道能量，φ代表分子轨道波函数。occ和vir分别代表占据和空轨道。
LRK体现了在r2处对外势的扰动产生的对r1处电子密度的影响值，某种程度上也表现了r1和r2处的电子耦合程度，这一点和自旋相同电子间的费米穴函数有相似之处。对于定域性较强的电子结构，比如烷烃，那么只有r1和r2较近时LRK才可能较大。而如果电子离域性很强，并且离域范围明显涵盖r1和r2，那么哪怕r1和r2离得较远，LRK数值仍然可能较大。由于LRK能用于探测离域程度，而离域又是芳香性的基础，近来有人受这个启发，利用LRK衡量芳香性。
其中A、B代表原子空间，PCCP,14,)中用的是Becke模糊空间。S是前面已提到的原子重叠矩阵。两个原子间的CLRK定量地表现出两个原子间相互作用强度，也隐含地表现了两个空间内电子相互离域程度。形式上可以看出CLRK计算方式和DI十分类似，在doi:10.612D文中作者从数学上分析了二者间的密切关系。
类似于DI，在苯环上，也是对位间的CLRK比间位的大很多。因此基于CLRK，在PCCP,14,)中进一步定义了对位线性响应指数(PLR)。PLR和CLRK之间的关系和PDI与DI之间的关系完全一致，也就是六元环当中对位间的CLRK值取平均，即
在衡量芳香性问题上，现有的文章显示PLR和PDI几乎没有差别，线性相关性高达R^2=0.96，缺点和优点完全一样。由于CLRK也可以像DI那样分离为sigma和pi部分，故PLR也可以分离为PLR-pi和PLR-sigma。PLR和PDI用谁都可以，但从计算量上来说，由于LRK要涉及到虚轨道，DI只涉及占据轨道，而虚轨道数目往往比占据轨道多很多，所以PDI比PLR更省时。PLR刚刚提出不久，在有更多文章表明PLR比PDI在某方面有显著优点之前，在我看来只用PDI就行了。
在doi:10.612D中，作者也直接通过CLRK而非PLR来衡量芳香性，这样就不局限于六元环。通过对不同四元环到八元环的体系的研究，作者提出一套假设：
(1)对于芳香性环体系，相对着的两个原子间CLRK值为最大。比如六元环就是指1-4位原子间，七元环指1-4或1-5位，八元环指1-5位。
(2)对于反芳香性体系，相对着的两个原子间CLRK值为最小（原文说的是“局部极小值”），并且双键上的两原子间CLRK值为最大。
如果芳香性/反芳香性来自pi电子，应考察的是CLRK-pi；如果是sigma电子，应考察CLRK-sigma。
CLKR和PLR都可以在Multiwfn中直接计算。首先载入含有基函数信息的文件如fch、molden（不能用wfn/wfx文件，因为其中无虚轨道信息），然后进入主功能15，选9即可计算并输出CLRK矩阵。选10的话，会自动先计算并输出CLRK矩阵，然后让你输入环上的原子序号，如3,4,5,7,10,11，需符合原子连接关系。然后PLR值立刻会立刻显示出来。如果想只考察sigma或pi电子贡献的CLKR或PLR，依然是先用主功能100里的22先设占据数后再做计算。
在Chem.Eur.J.,9,400(2003)中作者除了提出PDI用于衡量六元环芳香性，还提出了一种靠DI衡量五元环芳香性的方法，称作ΔDI。如下图所示，五元环的最典型Lewis结构式包含C-C单键和C=C双键
令C=C双键的DI减去C-C单键的DI，就是ΔDI。显然，环的芳香性越强，单双键的区别就越不明显，因此ΔDI也越小。对于C5H5-，已经无法区分单双键，所以ΔDI达到最小值0。通过测试发现ΔDI与NICS有一定相关性，但是也有少数体系二者相关性并不好。
原文计算ΔDI时用的是在AIM空间下计算的DI。在模糊空间下计算DI，或者改用Mayer键级来计算也都是可以的。文中也发现哪怕直接用键长求差值得到的Δr，也和ΔDI相关性很好。
ΔDI计算极其便利，但笔者认为ΔDI称不上是很可靠的方法，关键一点是它只考虑了五元环的碳碳键部分，却忽略了上图中C-X键部分，这明显很不周到。
index)来衡量芳香性，它和HOMA挺类似，也是以理想芳香性环上的键的性质作为参考，来衡量实际的环上的键与它的偏离。相对于参考值偏离（波动）越大，说明芳香性越弱。FLU基于的是DI，既可以是AIM空间下计算也可以是模糊空间下计算，实际上换成Mayer键级估计也没问题。FLU的定义如下：
加和号循环环上所有键。n是环上原子数，δ(A,B)代表AB间的DI。δ_ref是相应类型的键的参考DI值，取自理想芳香性环（C-C、C-N、B-N键的参考值分别来自苯、嘧啶、borazine）。V代表原子价，对于闭壳层体系，V(A)也就是对B≠A的所有δ(A,B)的加和。当V(B)>V(A)，α为1，反之为-1。将V(B)/V(A)引入式子中的目的是惩罚电子定域性较高的情况，而HOMA式子中没有与之对应的项。
FLU可以用于任意尺寸的环。缺点是不适合用于非平衡状态的体系，包括反应过程中芳香性的变化。更主要的缺点是引入了参考体系，这导致普适性差。
在同一篇文章中作者也提出了FLU-pi。和FLU的区别一方面是把所有DI值都替换为了DI的pi部分，另外就是把参考值换成了当前环上的所有键的DI-pi的平均值：
和FLU一样，依然是数值越低表明芳香性越强。FLU-pi相对于FLU的好处是避免了引入参考体系而能够适用于包含更多元素的体系，而缺点是FLU-pi只能用于平面体系，也只能体现pi电子芳香性。注意这里说的平面只是指所要研究的环是平面的，但不要求整个体系都是平面，因为利用轨道定域化方法，可以得到定域在感兴趣的环上的pi轨道，而DI也是可以基于定域化轨道来计算的。
在Multiwfn中可以在模糊空间下计算FLU。首先载入含有波函数信息的文件，然后选15，再选6，程序就会先在模糊空间下计算AOM并输出DI矩阵。然后用户按照连接关系输入环上的原子序号即可，FLU值和每个键对它的贡献都会立刻输出，由后者可以考察哪些键对芳香性有主要削弱效应。计算FLU所涉及到的参考值可以通过选项-4来设，默认参考值是笔者在HF/6-31G*下对苯、嘧啶、borazine计算的。如果用户用的方法和基组与此有明显不同，建议用户自行用这些参考体系计算一下DI参考值并在计算FLU前输入Multiwfn，否则FLU会有偏差（比如算得的苯的FLU将不是精确的0）。
在Multiwfn计算模糊空间下的FLU-pi的步骤是：首先载入含有波函数信息的文件，选15，再选7。待AOM和DI计算完毕后，输入占据的pi轨道的编号，比如输入17,20,21，然后再按照连接顺序输入环上的原子序号即可。读者可以利用主功能0来图形化观察分子轨道以确定哪些轨道是pi轨道，也可以利用主功能100里的选项22，来让程序自动找出pi轨道的编号（之后选0直接退回）。
2016年提出的AV1245可以视为是多中心键级的一个近似，目的是解决多中心键级因为算大环耗时太高而难以研究大环的芳香性的问题。AV1245在此文有专门介绍《使用Multiwfn计算AV1245指数研究大环的芳香性》（），因此此处不再累述。AVmin与AV1245密切相关，它不是像AV1245那样体现给定的环上的平均电子离域程度，而体现的是在环上离域程度最弱处的情况，即衡量的是离域的瓶颈位置，因此在衡量环的芳香性上有其独特的意义。如前文所述，由于2020年Multiwfn引入的新的多中心键级计算代码已可以非常快速计算哪怕非常大的环，因此AV1245已经没什么实际意义了。
7 基于电子分布的方法
本节介绍的方法基于电子密度分布来间接地衡量体系的芳香性。
7.1 AIM环临界点处电子密度及其曲率
在Can.J.Chem,75,)当中，作者指出环临界点(RCP)位置的电子密度和环的芳香性有对应关系。芳香性越强的环RCP处电子密度越大。而RCP的电子密度在垂直于环方向的曲率则与芳香性关系对应性更好，曲率越负（即RCP处电子密度在垂直于环方向上聚集程度越强），表明芳香性越强。
在Multiwfn中，这两个量都可以直接输出。首先将含有波函数信息的文件载入Multiwfn，选主功能2进入拓扑分析界面。通常只要依次选2、3、4即可找出所有电子密度临界点，然后选0进入图形界面查看环中心的RCP的编号。随后选21，输入RCP的编号，然后输入三个原子的序号（如3,5,6）来定义环的平面，之后RCP处的电子密度连同它在垂直于这个面方向的曲率都会输出出来。如果你不熟悉Multiwfn中的电子密度拓扑分析操作的话，建议参看或手册4.2节的例子。
注意不要用这种方法比较大小不同的环的芳香性，比如4元环和6元环比较芳香性没有意义。因为环越小，高电子密度区域离RCP越近，必定RCP处电子密度数值越大，聚集程度越高。
在PCCP,12,)当中，作者提出了Shannon芳香性的概念，之所以叫做这个名字，是因为这个芳香性指标依赖于Shannon信息熵。其公式如下
其中i循环构成芳香环的键上的AIM键临界点(BCP)，N是环上BCP总数，r_BCP是BCP的坐标。SA的加和符号里的项就是BCP处的电子的局部信息熵。Ln(N)对应于完美芳香性分子所具有的最大信息熵。芳香性越强，SA值越小，对于苯这样的完美芳香性分子SA为0；反芳香性越强，SA就越大。小于0.003可认为具有芳香性，大于0.005可认为具有反芳香性。
在Multiwfn的拓扑分析界面里可以直接计算SA值。首先在主功能2里做拓扑分析找出BCP，然后选20，再把环上的BCP序号输入进去即可，如输入14,23,18,13,16,15。之后SA值会立刻输出，每个BCP的局部信息熵也会一起输出出来。
加和符号循环环上的每个BCP。ε_i是第i个BCP的电子密度椭率，ε_ben是理想芳香性体系（苯）的BCP的椭率。n是环上BCP总数，c是归一化常数，目的是让EL对于典型非芳香性体系的结果为0，即
其中ε_i,nonaromatic是非芳香性参考体系环上BCP的椭率。EL中这个体系取的是kekule形式的苯，其中单双键键长来自(3E)-1,3,5-己三烯。
实际上EL和HOMA在形式上十分相似，主要区别就是把键长指标换成了BCP椭率而已，数值范围依然是对于理想芳香性体系EL为1，非芳香性体系为0，反芳香性体系EL为负值。EL的基本思想是pi键越明显，BCP处电子密度越偏离轴对称分布，故此处电子密度椭率越大，于是用它来区分开普通sigma键和芳香环上的键。其实这种定义方式实在是了无新意。
EL虽然在原文中测了一些环状不含杂原子的有机分子结果还不错，但是缺点显而易见。EL公式中的c和ε_ben是依赖于计算所用的理论方法和基组的，因此对于每种计算级别先得自己用己三烯和苯计算一下c和ε_ben才能用EL衡量别的体系，这挺麻烦。另外，由于引入了参考值，所以EL有和HOMA同样的缺点，也就是研究的体系必须有对应的参考分子才行，而诸如金属团簇，由于没法找到合适的参考体系，EL就不能用。另外当键的极性较强，BCP处电子密度椭率变得不那么明确，EL也就不那么可靠。
总之笔者不认为EL是一个比较有理论意义或者有较大实用价值的方法，可靠性也还没被广泛检验。
计算EL所需的BCP处电子密度的椭率可以在Multiwfn里获得。首先载入含有波函数信息的文件，用进入主功能2做拓扑分析找出BCP，然后选7，并输入BCP对应的编号，就会输出电子密度的Hessian矩阵和本征值。如苯的C-C键BCP：
令λ1和λ2代表绝对值最大和第二大的本征值，则椭率定义为ε=λ1/λ2-1，故此BCP处的ε=-0.64392/(-0.5.19744。而对于乙烷的C-C sigma键由于密度分布是轴对称的，所以BCP处λ1=λ2，此时ε=0。
静电势的负梯度是电场（矢量），电场的导数就是电场梯度EFG，是个二阶张量。在J.Mol.Model.,17,)里作者提出可以用化学键上的EFG的分量来衡量芳香性。EFG可以在空间任意一处计算，比较重要的是EFG(0)，它指的是键的正中间处的EFG值，以及EFG(0.5)，是以键的正中间为起点，向垂直于环平面方向上挪0.5埃处的EFG值。EFG(0)或EFG(0.5)和键的pi特征相关，比如乙烷、乙烯、乙炔、苯的C-C键的EFG(0.5)分别为0.9140、1.3874、1.8810、1.1986，可见pi特征越明显数值越大，因此可以利用这个特点来衡量芳香性。
EFG方法衡量芳香性最大弱点是需要确定定域化Lewis结构，并且要有合适的参考体系来得到相应的定域化的键的EFG值，这使得它的适用范围大大受限。
其中i、j分别循环取代苯和未取代苯的六元环上每个原子。π_i代表第i个原子上价层pz自然原子轨道(NAO)的布居数，σ_i是原子的价层s、px和py的NAO布居数的总和。这里假定分子平面处在XY平面上。pEDA和sEDA表现了由于取代基效应，使得pi电子数和sigma电子数偏离未取代状态的量。pEDA、sEDA也可以用在其它类型环上研究取代基效应，比如吡啶，只要把公式中的苯环换成相应的环就行了。
NAO的布居数可以由NBO程序获得。比如在Gaussian里，用pop=NPA关键词就会调用NBO3.1模块进行自然布居分析，给出NAO的布居数。
这个方法只适合研究取代基对芳香性的影响，不同类型的环的芳香性没法比较。就算只考察取代基的影响，靠这两个量来分析芳香性是否靠谱，笔者尚持怀疑态度。尽管某些文章号称有成功的应用，并表示和其它个别芳香性指标有不错相关性。
共轭区域的几何结构的平面性和这个区域的电子共轭程度、芳香性有很大关系。对特征相同的环，由于特殊因素使得它越偏离平面，pi共轭就会越大程度地削弱，导致芳香性越低。笔者提出了一种非常简单、直观、严格的方法展现平面性，可以直接通过Multiwfn很容易地计算，对于从平面性角度讨论芳香性很有用处，参看《使用Multiwfn定量化和图形化考察分子的平面性（planarity）》（）。
有个芳香性分析方法叫CiLC（CI/LMO/CASSCF）。这个方法计算过程复杂，分析芳香性过程也十分麻烦，需要考察CI组态系数和组态构成来分析是否键的均衡性被很好地满足以判断芳香性。这方法对于更深入探究电子结构或许有价值，但分析过于繁琐而对于分析芳香性没多少实际应用意义。详见JPCA, 104, 922 (2000)、JPCA, 106, 1)、JPCA, 107,
除本文体提到的之外，还有一些其它的五花八门的衡量芳香性的标准，比如I_NB、I_NG（JPCA,111,6521），还有人用源函数(Source function)分析芳香性，但都没什么意思，就不提了。
一个完美的衡量芳香性的指标应当具备这些条件：（1）可靠性高（2）计算量小（3）不依赖于参考体系（4）普适性好，可以用于种类多样的体系，如金属/半金属体系，任意尺寸的环，含任意元素、成键模式的体系。还应可以研究非平衡结构、不同电子态、不同外场环境下、化学反应过程中的芳香性（4）可以分离sigma和pi的贡献（5）可以同时衡量反芳香性（6）操作过程简便，有现成好用的程序可以支持。现有的各种芳香性指标互有优劣，没有一个完全满足这些条件。不过能满足大多数条件的指标是值得推荐的。
以下是本文涉及的主要的衡量芳香性的指标的综合对比。有些本文提及的方法，如LOL-sigma/pi、BOIA、HOSE、NICS-rate、θ指数、直接通过CLRK衡量芳香性、CiLC等等，要么目前用得很少，要么可靠性尚未检验，要么没什么新意，故不值得一提，就没列在表里。
注意本节的NICS是指RCP处NICS_zz(0)。FLU、FLU-pi、PDI、PLR、ΔDI都是指模糊空间下的。计算便利度是指使用Multiwfn程序的情况下。综合价值指的是方法的重要性、意义，如果某方法的提出无关痛痒，那么综合价值就比较低。耗时是指的计算芳香性指标本身的耗时，而诸如波函数计算、几何优化阶段的耗时不算在内。耗时是相对而言，对于小体系、中等基组的情况其实各种方法耗时都不大，但对于中、大尺寸体系或大量体系的计算就表现出明显差异了。
这些方法中基于几何结构的方法计算最为简单，但局限性最大，由于没有直接与电子相对应，没法表现诸如不同电子态、外电场下的芳香性，除非在相应条件下先优化几何结构。凡是依赖于参考体系的芳香性指标普适性都不很理想，用于金属团簇、非平衡结构几乎是不可能的。注意一些方法，如SA、Bird、FLU是基于键的均衡性来衡量芳香性，这类方法都有个通病，就是如果键的均衡性是来自于外因被迫产生的，那么就会明显高估芳香性。例如coronene中央的环的六个C-C键的特征均等的，但这实际上是由于周围六个环的对称排列所致，因此如SA、Bird、FLU这类方法就会误认为这个环的芳香性和苯一样强。
对于一般的芳香性研究，笔者首推多中心键级或AV1245。如果需要研究反芳香性，首推NICS。这两个方法的普适性、可靠性都令人满意，计算NICS对于小体系耗时不多。由于一开始提到的芳香性的多维性，笔者推荐同时选用三种或更多的方法来考察芳香性，比如同时用多中心键级、NICS、PDI、FLU、HOMA来一起衡量。如果结论是一致的，表明结论十分可靠；如果结论有所不同，那么可以再进一步分析、解释、探讨。
如果想图形化地考察芳香性，可以给出MO或AdNDP图形，指出各轨道对芳香性/反芳香性的贡献。也鼓励给出ELF-pi、LOL-pi或AICD图，电子离域路径由此可以展现得十分直观。
