微分几何？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-07-17 08:02 标签： 微分几何难吗

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第三节空间曲线空间曲线的密切平面空间曲线的基本三棱形空间曲线的曲率、挠率和伏雷内公式空间曲线在一点临近的结构空间曲线论的基本定理一般螺线空间曲线的密切平面定义：过空间曲线上点的切线和点邻近一点可作一平面，当点沿着曲线趋于时，平面的极限位置称为曲线在点的密切平面。且把过点与密切面垂直的直线称为曲线在点的副法线。思考：平面曲线的密切面？密切平面的方程设曲线是类曲线，上的点及其邻近一点，根据泰勒公式有：其中，由于切向量及都在平面上，因此他们的线性组合也在平面上，即在平面上，从而知在所求密切面上。当时，就是所求密切面的一个法向量，所以曲线在点的密切面方程为即其中表示点的密切平面上任一点的向径。也可以用行列式表示：如果曲线是平面曲线，那么它在每一点的密切平面都是曲线所在的平面。反之，如果一条曲线的密切平面固定，则曲线是平面曲线。例：求螺线上点的密切平面例：求曲线在点的密切面命题：空间曲线为平面曲线的充要条件是空间曲线的基本三棱形给出类曲线和上一点。设曲线的自然参数表示是其中是自然参数，则是一单位向量，称为曲线上点的单位切向量由于，由第一节命题可知即在上取单位向量称为曲线上点的主法向量。再作单位向量称为曲线上点的副法向量。我们把两两正交的单位向量称为曲线上点的伏雷内标架。由知伏雷内标架构成右手系。因为，所以切向量和主法向量所确定的平面就是曲线在点的密切平面，又因为和都垂直于切向量，所以和所确定的平面是曲线上点的法平面，和所确定的平面则称为曲线上点的从切平面方程分别为：密切平面或法平面或从切平面或单位向量称为曲线的基本向量。由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面所够成的图形称为曲线的基本三棱形对于曲线的一般参数表示有空间曲线论的基本公式定义：空间曲线在点的曲率为其中为点及其邻近点间的弧长，为曲线在点和的切向量的夹角。曲率刻画了曲线的弯曲程度。对于空间曲线，曲线不仅弯曲而且还要扭转，所以有刻画曲线弯曲程度的量－－－挠率。用副法向量（或密切平面）的转动速度来刻画曲线的扭转程度。现在设曲线上一点的自然参数为，另一邻近点的自然参数为，在两点作曲线的副法向量和，此两个副法向量的夹角是由第一节命题知（）几何意义是它的数值为曲线的副法向量对于弧长的旋转速度。定义：曲线在点的挠率为挠率的绝对值是曲线的副法向量（或密切平面）对于弧长的旋转速度。空间曲线的伏雷内公式这组公式是空间曲线论的基本公式。它的特点是基本向量关于弧长的微商可以用的线性组合来表示。系数组成反称的方阵曲率和挠率的一般参数表示式给出类的空间曲线曲率的一般参数表示式一般参数表示的挠率计算公式空间曲线在一点的密切圆（曲率圆）是过曲线上一点的主法线的正侧取线段使的长为。以为圆心，以为半径在密切平面上确定一个圆，这个圆称为曲线在点的密切圆（曲率圆），曲率圆的中心称为曲率中心，曲率圆的半径称为曲率半径。例求圆柱螺线的曲率和挠率。例证明曲率恒等于零的曲线是直线。例证明挠率恒等于零的曲线是平面曲线。练习：求半径为的圆的曲率。利用基本公式求曲线的基本向量、曲率、挠率。设曲线的挠率曲率曲率半径为则在以原点为中心的球面上的充要条件是空间曲线在一点邻近的结构我们研究空间曲线在一点临近的形状。在类曲线上取一点，为了研究点临近的形状，在它临近再取一点利用泰勒公式有其中由于所以其中而等表示在点的值。由上式可得在的每一个分量中只取第一项，则有现在取为新坐标系，并取为计算弧长的始点，则有，如果为曲线上点的临近点的新坐标，则有它可以看作在点邻近，曲线的近似方程。由此看出，曲线在某点的曲率和挠率完全决定了曲线在该点邻近的近似形状。下面我们通过曲线在基本三棱形的三个平面上的投影来观察曲线在一点邻近的形状。近似曲线在法平面上的投影是消去参数后有它是半立方抛物线曲线在从切平面上的投影是消去参数后，有它是立方抛物线曲线在密切平面上的投影是它是抛物线通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似形状。从以上分析可以看出：曲线穿过法平面和密切平面，但不穿过从切平面。主法向量总是指向曲线凹入的方向，这就是主法向量正向的真正意义。当时，曲线在附近是右旋的；当时，曲线在附近是左旋的，这就是挠率的几何意义。空间曲线论的基本定理曲线的每一点都有确定的曲率和挠率，如果以弧长为参数，则有这两个关系式只与曲线本身有关，而与曲线的刚体运动及空间曲线坐标变换无关。我们把称为空间曲线的自然方程。空间曲线论的基本定理：给出闭区间上的两个连续函数，则除了空间的位置差别外，惟一地存在一条空间曲线，使得参数是曲线的自然参数，并且和分别为曲线的曲率和挠率，即曲线的自然方程为为了确定曲线的位置，设时，曲线对应空间点（即），并且在该点的基本向量为给定的两两正交的右手系的单位向量证明（）以和为系数建立微分方程组（）根据微分方程组解的存在定理，此方程对于初始条件时有唯一一组解：这是以为端点的曲线。下证是两两正交的右手系的单位向量（）再作微分方程组：利用（），则上述微分方程组可成为（）由已知条件在连续；时是两两正交的右手系的单位向量，即根据微分方程组解的存在定理，存在唯一的一组解。但是当（）时方程组（）被满足，所以它们是（）的一组解。由上述（）可知是两两正交的单位向量。于是有但是混合积是的连续函数，由于当时它等于，所以对于所有的都为，即成右手系。由此得出是两两正交的构成右手系的单位向量。（）由于已得到，把（）中的第一个式子两端积分，利用初始条件即得曲线的方程（）（）因为所以弧长即若取则得为曲线的自然参数（）由可知为曲线的切向量，再由，可得为曲线的曲率。有（）中的第二式可知是所求曲线的主法向量。再根据（），是曲线的副法向量。所以是曲线的基本向量。（）曲线的挠率为由以上可见，由方程（）所确定的曲线是以为自然参数，为曲率，为挠率的曲线。现在证明唯一性设和是两条曲线，它们在对应点有相同的曲率和挠率，经过适当的刚体运动，可以使曲线和在对应于自然数为的点连同在这点的基本三棱形相重合。我们设和为分别对应于曲线和的基本向量。两组向量函数和都是方程组（）的解，并且这些解具有相同的初始条件，根据微分方程论的解的存在定理，这两组解是完全相同的。特别是即，积分后得但是，于是有，所以得到因此，曲线与重合，这就是说，曲线和在空间只有位置的差别根据上述定理，曲线除了在空间中的位置外，由它的自然方程唯一确定。

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