1.导数的四则运算法则

(1)定义:一般地,已知函数y=f(u)与u=g(x),给定x的任意一个值,就能确定u的值.如果此时还能确定y的值,则y可以看成x的函数,此时称f(g(x))有意义,且称y=h(x)=f(g(x))为函数f(u)与g(x)的复合函数,其中u称为中间变量;

1．下列函数是复合函数的是________．(填序号)

1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

类型一　利用运算法则求函数的导数

2.求下列函数的导数:

2.运用导数的四则运算法则求导.

运用导数四则运算法则求导需要注意哪些问题?

提示:(1)分清所求导函数由哪些基本初等函数组成,是函数的和、差还是积、商.

(2)准确运用法则求导.

利用导数运算法则的策略

(1)分析待求导式子符合哪种求导法则,每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的,确定求导法则,基本公式.

(2)如果待求导式子比较复杂,则需要对式子先变形再求导,常用的变形有乘积式展开变为和式求导,商式变乘积式求导,三角函数恒等变换后求导等.

(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差,能利用和差的求导法则求导的,尽量少用积、商的求导法则求导.

【解析】由函数的解析式可得:

2.若函数f(x)=在x=x处的导数值与函数值互为相反数,则x的值等于 (　　)

类型二　复合函数的导数

【典例】求下列函数的导数.

【思维·引】先把复合函数拆分成基本初等函数,再运用复合函数求导法则进行求导.

求复合函数的导数的步骤

提醒:(1)内、外层函数通常为基本初等函数.

(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导,这是求复合函数导数时的易错点.

(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理,使导数式尽量简洁.

类型三　导数运算法则的综合应用

【思维·引】利用切点处的导数等于切线的斜率,切点坐标既满足曲线方程,也满足切线方程.

又切点(2,-1)在抛物线上,

运用导数解有关切线问题应特别注意什么?

提示:(1)导数的双重性;(2)切点坐标的双重性.

关于求导法则的综合应用

(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化,从而转化为这三个要素间的关系.

(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步,也是解题的关键,务必做到准确.

易错警示:分清已知点是否在曲线上,若不在曲线上则要设出切点.

若曲线y=x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则此时该切点的坐标为 (　　)

【解析】选A.y=x2+aln x的定义域为(0,+∞),由导数的几何意义知y′=2x+≥2=4,得a=2,当且仅当x=1时等号成立,代入曲线方程得y=1,故所求的切点坐标是(1,1).

3.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内.已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为________.

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　　我们大家在学习数学的时候我们要知道我们的思想该从哪里开始学习，今天小编就给大家来分享一下高二数学，就给大家一起阅读哦

　　下学期高二年级数学期中试卷题

　　第Ⅰ卷(选择题 共50分)

　　一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

　　1. 平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆”，那么( )

　　A.甲是乙成立的充分不必要条件 B.甲是乙成立的必要不充分条件

　　C. 甲是乙成立的充要条件 D.甲是乙成立的非充分非必要条件

　　2.下面说法正确的是( )

　　A.实数 是 成立的充要条件

　　B. 设p、q为简单命题，若“ ”为假命题，则“ ”也为假命题。

　　C. 命题“若 则 ”的逆否命题为真命题.

　　D. 给定命题p、q，若 是假命题，则“p或q”为真命题.

　　3. 双曲线 的焦距是( )

　　4.命题“两条对角线不垂直的四边形不是菱形”的逆否命题是(　　)

　　A.若四边形不是菱形，则它的两条对角线不垂直

　　B.若四边形的两条对角线垂直，则它是菱形

　　C.若四边形的两条对角线垂直，则它不是菱形

　　D.若四边形是菱形，则它的两条对角线垂直

　　5.在同一坐标系中，方程 的曲线大致是( )

　　6. 抛物线 的焦点坐标为( )

　　8. 与直线 平行的抛物线 的切线方程是( )

　　9.已知两点M ,N ,给出下列曲线方程：① ;② ;

　　③ ;④ 。在曲线上存在点P满足 的所有曲线方程是( )

　　10. 双曲线 的两焦点为 ， 在双曲线上且满足 ，则 的面积为( ).

　　第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

　　二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分)

　　11.命题“ 使得 ”的否定是 .

　　12.已知函数 ，则 .

　　13.已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为 .

　　14.如图是 的导数的图像，则正确的判断是

　　(1) 在 上是增函数

　　(2) 是 的极小值点

　　(3) 在 上是减函数，在 上是增函数

　　(4) 是 的极小值点

　　以上正确的序号为 .

　　三、解答题(本大题6小题，满分75分)

　　16.(12分) 抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线 的一个焦点，并于双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为 ，求抛物线的方程和双曲线的方程。

　　17.(12分)命题p：关于 的不等式 的解集为 ;

　　命题q：函数 为增函数.

　　分别求出符合下列条件的实数 的取值范围.

　　(1)p、q至少有一个是真命题;(2)p∨q是真命题且p∧q是假命题.

　　(1)求函数的单调递减区间;

　　(2)若 在区间 上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

　　19.(13分)已知动点 与平面上两定点 连线的斜率的积为定值 .

　　(1)试求动点 的轨迹方程 ;

　　(2)设直线 与曲线 交于M.N两点，当 时，求直线 的方程.

　　20.(13分)已知函数 的图象过点(-1，-6)，且函数 的图象关于y轴对称.

　　(1)求 、 的值及函数 的单调区间;

　　(2)若函数 在(-1，1)上单调递减，求实数 的取值范围。

　　(1)求椭圆E的方程;

　　(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ?若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由。

　　数学(文科)参考答案

　　16. 解：由题意可知，抛物线的焦点在x轴，又由于过点 ，所以可设其方程为 ∴ =2 所以所求的抛物线方程为

　　所以所求双曲线的一个焦点为(1，0)，所以c=1，所以，设所求的双曲线方程为 而点 在双曲线上，所以 解得 所以所求的双曲线方程为 .

　　(1)p、q至少有一个是真命题，即上面两个范围的并集为a<- 或a> .

　　故p、q至少有一个为真命题时a的取值范围是 .

　　(2)p∨q是真命题且p∧q是假命题，有两种情况：p真q假时， ≤1;p假q真时，-1≤a

　　故p∨q是真命题且p∧q是假命题时，a的取值范围为 .

　　18. 解：(1)因为 ，令 ，解得 或 ，

　　所以函数的单调递减区间为

　　(2)因为 ，且在 上 ，

　　所以 为函数的单调递增区间，而

　　所以 和 分别是 在区间 上的最大值和最小值

　　所以 ，即函数在区间 上的最小值为

　　19. 解：(1)设点 ，则依题意有 ，

　　整理得 ，由于 ，

　　所以求得的曲线C的方程为 .

　　(2)由 ，消去 得 ，

　　得 ，所以直线 的方程 或 .

　　而g(x)图象关于y轴对称，所以- =0，所以m=-3,代入①得n=0.

　　故f(x)的单调递增区间是(-∞，0)，(2，+∞);

　　故f(x)的单调递减区间是(0，2).

　　所以 解得 所以 椭圆E的方程为

　　(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 ,设该圆的切线方程为 解方程组 得 ,即 ,

　　, 要使 ,需使 ,即 ,所以 ,所以 又 ,所以 ,所以 ,即 或 ,因为直线 为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 , , ,所求的圆为 ,此时圆的切线 都满足 或 ,而当切线的斜率不存在时切线为 与椭圆 的两个交点为 或 满足 ,综上, 存在圆心在原点的圆 ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且 .

　　高二数学文下学期期中试题文科

　　一、选择题：(共10小题，每小题5分，共50分)

　　1.下列属于相关现象的是(　　)

　　A.利息与利率 B.居民收入与储蓄存款

　　C.电视机产量与苹果产量 D.某种商品的销售额与销售价格

　　2.一个物体的运动方程为 其中 的单位是米， 的单位是秒，那么物体在 秒末的瞬时速度是( )

　　3.复数的 模为 (　 　)

　　4.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是(　 　)

　　①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误

　　5.在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形

　　则第 个三角形数为( )

　　A.都不大于 B.都不小于

　　C.至少有一个不大于 D.至少有一个不小于

　　7.已知盒中装有3只螺口与2只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 (　 )

　　8.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i=1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是(　 　)

　　A.y与x具有正的线性相关关系

　　B.回归直线过样本点的中心(x-，y-)

　　C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

　　D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

　　9.若函数 在 内有极小值，则( )

　　10.设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )

　　二、填空题：(共5小题，每小题5分，共25分)

　　11.设 , 是纯虚数,其中 是虚数单位,则 .

　　12.函数 的单调递减区间 .

　　13.某市派出男子、女子两支球队参加全省足球冠军赛，男、女两队夺取冠军的概率分别是 和 .则该市足球队夺得全省冠军的概率是 .

　　14.已知 的三边长为 ，内切圆半径为 (用 )，则 ;类比这一结论有：若三棱锥 的内切球半径为 ，则三棱锥体积 .

　　15.若以曲线y=f(x)任意一点M(x，y)为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N(x1，y1)，以点N为切点作切线l1，且l∥l1，则称曲线y=f(x)具有“可平行性”.下列曲线具有可平行性的编号为 .(写出所有满足条件的函数的编号)

　　一、选择题：(每小题5分、共计50分)

　　二、填空题：(每小题5分，共计25分)

　　三.解答题(本大题 共6个小题，75分，解答应写出文字说明、演算步骤)

　　16.(本小题满分12分)

　　在曲线 上过哪一点的切线

　　(1)平行于直线 (2)垂直于直线

　　17.(本小题满分12分)

　　已知 均为实数，且 ，

　　求证： 中至少有一个大于

　　18.(本小题满分12分)

　　已知ΔABC的三条边分别为 求证：

　　19.(本小题满分12分)

　　设函数 在 及 时取得极值.

　　(2)若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围.

　　20.(本小题满分13分)

　　已知数列 满足 ,

　　(1)求 (2)猜想 的通项公式，并证明.

　　21.(本小题满分14分)

　　(1)若曲线 在点 处与直线 相切，求 与 的值;

　　(2)若曲线 与直线 有两个不同交点，求 的取值范围.

　　数 学 试 卷(文科)

　　时间：120分钟 满分：150分 命题人：钮杰 审题人：彭严 2014.4

　　一、选择题：(共10小题，每小题5分，共50分)

　　1.下列属于相关现象的是(　B　)

　　A.利息与利率 B.居民收入与储蓄存款

　　C.电视机产量与苹果产量 D.某种商品的销售额与销售价格

　　2.一个物体的运动方程为 其中 的单位是米， 的单位是秒，那么物体在 秒末的瞬时速度是( A )

　　3.复数的 模为 (　B　)

　　4.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是(　C　)

　　①若K2的观测值满足K2≥6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病;②从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病;③从统计量中得知有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误

　　5.在古腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形

　　则第 个三角形数为( B )

　　A.都不大于 B.都不小于

　　C.至少有一个不大于 D.至少有一个不小于

　　7.已知盒中装有3只螺口与2只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为 (　C )

　　8.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i=1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是(　D　)

　　A.y与x具有正的线性相关关系

　　B.回归直线过样本点的中心(x-，y-)

　　C.若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

　　D.若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg

　　9.若函数 在 内有极小值，则( A )

　　10.设 是函数 的导函数，将 和 的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(D )

　　二、填空题：(共5小题，每小题5分，共25分)

　　11.设 , 是纯虚数,其中 是虚数单位,则 .

　　12.函数 的单调递减区间 .

　　13.某市派出男子、女子两支球队参加全省足球冠军赛，男、女两队夺取冠军的概率分别是 和 .则该市足球队夺得全省冠军的概率是 .

　　14.已知 的三边长为 ，内切圆半径为 (用 )，则 ;类比这一结论有：若三棱锥 的内切球半径为 ，则三棱锥体积 .

　　15.若以曲线y=f(x)任意一点M(x，y)为切点作切线l，曲线上总存在异于M的点N(x1，y1)，以点N为切点作切线l1，且l∥l1，则称曲线y=f(x)具有“可平行性”.下列曲线具有可平行性的编号为 .(写出所有满足条件的函数的编号)

　　一、选择题：(每小题5分、共计50分)

　　二、填空题：(每小题5分，共计25分)

　　三.解答题(本大题 共6个小题，75分，解答应写出文字说明、演算步骤)

　　16.(本小题满分12分)

　　在曲线 过哪一点的切线

　　(1)平行于直线 (2)垂直于直线

　　因为切线平行于直线

　　(2)因为切线垂直于直线

　　17.(本小题满分12分)

　　已知 均为实数，且 ，

　　求证： 中至少有一个大于

　　证明：假设 中没有一个大于

　　又因为 所以假设不成立

　　所以原命题成立，即 中至少有一个大于 - - - - - 12

　　18.(本小题满分12分)

　　已知ΔABC的三条边分别为 求证：

　　证明：因为 为ΔABC的三条边

　　19.(本小题满分12分)

　　设函数 在 及 时取得极值.

　　(2)若对于任意的 ，都有 成立，求c的取值范围.

　　因为 在 及 时取得极值

　　20.(本小题满分13分)

　　已知数列 满足 ,

　　(1)求 (2)猜想 的通项公式，并证明.

　　21.(本小题满分14分)

　　(1)若曲线 在点 处与直线 相切，求 与 的值;

　　(2)若曲线 与直线 有两个不同交点，求 的取值范围.

　　因为曲线 在点 处与直线 相切，

　　于是当 时， ，故 单调递增.

　　当 时， ，故 单调递减.

　　所以当 时， 取得最小值 ，

　　故当 时，曲线 与直线 有两个不同交点.

　　15.解析：由题意可知，对于函数定义域内的任意一个x值，总存在x1(x1≠x)使得f′(x1)=f′(x).对于①，由f′(x1)=f′(x)可得x21=x2，但当x=0时不符合题意，故不具有可平行性;对于②，由f′(x1)=f′(x)可得1x21=1x2，此时对于定义域内的任意一个x值，总存在x1=-x，使得f′(x1)=f′(x);对于③，由f′(x1)=f′(x)可得cos

　　高二年级数学考试期中题

　　A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

　　C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

　　7.下列四个命题中正确的是( )

　　①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行;

　　②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直;

　　③垂直于同一直线的两条直线相互平行;

　　④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

　　9.设α,β表示两个不同平面,l,m表示两条不同的直线,则下列命题正确的是(　　)

　　10.某几何体的三视图如右图所示，则它的表面积是( )

　　11.已知 是虚数单位，若 ，则实数 的值为( )

　　12.因为无理数是无限小数，而 是无理数，所以 是无限小数.属于哪种推理( )

　　A.合情推理 　 B.类比推理　 C.演绎推理　 D.归纳推理

　　第II卷(非选择题)

　　14.若 < ,则a的取值范围是　　　　.

　　15.过点(1，2)且与直线 平行的直线方程是 .

　　16.若一个球的体积为 ，则它的表面积等于 .

　　安徽省霍邱县河口中学学年高二下学期文科期中考试答题卷

　　考试范围：数学必修1,2;选修1-2;考试时间：120分钟

　　一、选择题：(12×5=60分)

　　二、填空题：(4×4=16分)

　　三、解答题(74分)、

　　(2)若 ，求实数a的取值范围.

　　18.(12分)已知 是定义在R上的奇函数，当 时， ，其中 且 .

　　19.(本小题12分)已知函数 是定义在 上的偶函数，已知 时， .

　　(1)画出偶函数 的图象;

　　(2)根据图象，写出 的单调区间;同时写出函数的值域.

　　20.(本小题12分) 不用计算器求下列各式的值

　　21.(13分)如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 底面 ， 是 的中点，已知 ， ， ，

　　求：(Ⅰ)三角形 的面积;(II)三棱锥 的体积

　　22.(13分)已知四棱锥 中， 是正方形，E是 的中点，

　　(1)若 ，求 PC与面AC所成的角

　　(2) 求证： 平面

　　(2) 的递减区间是 ，递增区间是 ，值域为

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