摘要：纵观当前使用大多数测量学教材中，基本上都是按照左角推算，最终得到有关它的误差公式，也就是f=Ac终-A终。到这一环节，可进行整理综合：“在闭合差允许范围内，将闭合差正负反号平均分配到导线转折角和连接角上。”这种观点给很多技术人员或教学者造成了困扰。文章明确工程测量中附和导线测量存在的误差分配需求，并在此基础上按照观测角存在的差异进行分析推算，得到附和导线测量的计算过程，最终得到两个实用计算公式。

关键词：公式推算；工程测量；附和导线

一项工程项目的建设中，最为常见的测量方式即为上文中提到的附和导线。附和导线能够对前进方向的相关各点进行有顺序的观测，并通过左、右角进行标记和记录，后期根据设定的程序进行数据的处理和计算。目前使用的大多数测量学教材或文献中，一般都是根据左角进行推算，最终得到有关它的误差公式，也就是f=Ac终- A终。到这一环节，可进行整理综合：“在闭合差允许范围内，将闭合差正负反号平均分配到导线转折角和连接角上。”这一观点给很多工程技术人员都指出了一条曲折的弯路。这是由于附和导线的右角是无法完全符合上述内容的。针对这一客观实际，笔者在长期的测量学教学工作和实际的工程实践中积累了一定经验，结合这种经验重新对附和导线在左角和右角两处的测量误差公式进行推到并比较，以期为日后工程技术人员或测量学教学工作者的工作提供帮助和便利。

有关闭合差概念，在测量学中是一项十分重要的内容。目前所使用的大部分测量学教科书或资料中对于闭合差都是这样规定的：（1）闭合差是观念值与理论值的差，或（1）闭合差等于推算值减去已知值。通过这两项内容不难看出，闭合差即为真误差。以三角形内角和来讲，实际测的三个内角度数之和与三角形内角和的理论值180°的差就是三角形内角和的闭合差；而就单纯的水准路线而言，实际测量得到的高差与两端已知点的高差存在差异，那么这差异即为单一水准路线的闭合差；就闭合导线来讲，我们都知道，一条闭合的导线必然会在某一平面上形成一个几何图形，此时就可以将闭合导线闭合差当作类似三角形闭合差看待，因此可以根据上述关系（1）计算闭合导线的角度闭合差fβ=Σβ-180°(n±2)，在处理这一闭合差问题时，普通情况下根据角度观测得到的是同精度观测，应平均分配反符号，而针对附和导线来讲，受到角度观测过程中左右角的不同选择的影响，闭合差的计算也会存在两种结果。

工程测量的内容包括多种，其中的导线测量内业计算，是通过明确的起点坐标、初始边坐标方位角、通过测量得到的导线长度和转折角，对导线点的坐标进行计算。进行附合导线的内业计算时，主要是对以下几个数据进行计算：角度闭合差、各边坐标方位角、坐标增量、导线点。针对后三项数据的计算，所采用的计算方法都是完全一致的，而角度闭合差的计算会随着观测角的不同有所变化和调整。在此前提下，笔者遵循时机的工程操作实践经验，详细介绍了各个观测角的导线角度闭合差的计算和调整。

那么，如何进行附合导线角度闭合查的调整呢？首先通过初始边已经得到的坐标方位角α和观测右角β，进一步计算出终边CD的坐标方位角α′CD。然后，进行如下的公式推算：αAB为已知起始边坐标方位角；αCD为已知终边坐标方位角；α′CD为最终推算得到的终边坐标方位角；n为需要计算的点数。

假定所有转角右角的和的理论值都是Σβ理，那么起始边可以确定已知坐标方位角α始和α终二者的表达式为：

测量时导线测角的误差是必然存在的，因此转角测量值Σβ测和理论值Σβ测也是存在差异的，两者的差就是角度闭合差，也就是：

把上述文中的（1）和（2）代入到上式中，得到

fβ=-（α′终-α终） （4）

同样，假定所有转角左角的和的理论值都是Σβ理，那么起始边可以确定已知坐标方位角α始和α终二者的表达式为：

把上述文中的（5）和（6）代入到上文中的（3）中，得到

fβ=（α′终-α终） （8）

各等级工程建设中，附和导线测量在三四等级最为多见，应用范围比较广。绝大多数情况下左右角的测量都是成对出现的，并作为对方检验和比较的对象。上述文中，笔者在长期实践的基础上对附和导线左角、右角误差公式进行了推导，那么通过这些过程以及结论，可以在日后工程测量的教学和实践中，用来引导学生学习，或帮助教师进行教学测量和等，从而降低由于计算不正确导致的二次甚至是多册测量验证的返工率，很大程度上减少精力和时间的浪费。此外，这两项公式笔者已在多次的工程项目测量实践中应用，简便易用，使用效果良好，减少误差，降低了返工率，并缩减了工作量。

[2] 赵桂生,焦有权.全站仪附合导线坐标测量近似平差方法及点位精度分析[J].北京农业职业学院学报,-46.

[4] 杨宝祥.浅谈建筑工程测量常见的问题及对策[J].科技创新与应用,6-196

[5] 邢建国,魏长明,郭昌平.工程测量坐标系的转换及精度分析[J].陕西煤炭,-17.

作者简介：强育锋（1984.02- ），男，陕西韩城人，本科，助理工程师，中国水电建设集团十五工程局第二工程公司。

导线测量的内业工作_测量

6.3　导线测量的内业工作

导线测量的内业计算，即在导线测量外业工作完成后，合理地进行各种误差的计算和调整，计算出各导线点坐工作。

在进行导线内业计算之前，一是要全面检查外业观测数据有无遗漏，记录、计算是否正确，成果是否符合精度要求。当发现记录、计算有错时，不要改动原始数据，要认真反复校核。二是要根据已知数据和观测结果绘制外业成果注记图。见图6.11。当确定外业成果符合要求后，才进行内业的计算。

图6.11　坐标计算图示

6.3.1　测量坐标正反算

(1)定义:设已知点A的坐标为(x_A、y_A)，测得AB之间的距离D及α_AB，推求待定点B的坐标(x_B，y_B)。

(1)定义:已知A、B两点的坐标(x_A，y_A)，(x_B，y_B)，计算两点间的距离D及方位角α_AB的过程。

(2)公式:如图6.11所示，列公式如下:

6.3.2　闭合导线的内业计算

1.角度闭合差的计算和调整

(1)角度闭合差f_β的计算:

内角和观测值∑β_测与理论值∑β_理之差f_β称为闭合导线角度闭合差;

(2)计算角度闭合差允许值f_β允:按导线转折角观测和限差表的规定计算。

(3)判断精度:当f_β≤f_β允时，满足精度要求，超过则重测。

(4)计算角度改正数:闭合差按相反符号平均分配到各角上;当f_β不能整除时，分在短边上。

2.导线边方位角的计算

可根据第一条边的方位角和调整后的内角(左角)，推算其他各边的方位角，其公式为:

式中，β_左为改正后的左角。

当采用上式算得的α值超过360°时，应减去360°。由最后一边的方位角推算而得第一边的方位角，其值应等于它的起始值，如不等，表明计算有错误。

3.坐标增量计算及坐标增量闭合差的调整

(1)坐标增量的计算:

按坐标正算公式计算各边的坐标增量，其公式如下:

(2)坐标增量闭合差的计算:

式中，f_x为纵坐标增量闭合差;

　f_y为横坐标增量闭合差。

(3)导线全长闭合差的计算:

(4)导线相对闭合差:

在通常情况下，图根导线的K值不应超过1/2000，困难地区也不应超过1/1000。

(5)计算坐标增量改正值:

δx_i、δy_i为第i条边纵、横坐标增量改正值;D_i为第i条边的边长。

根据起点的已知坐标及调整之后的坐标增量，逐一推算。算完最后一点，还要再推算起点的坐标，推算得出的坐标应等于已知坐标。

5.闭合导线的内业计算算例

表6.6为一闭合导线计算算例，外业观测数据均标注在示意图中。

闭合导线坐标推算时，从已知点A开始，推算出B、C、D点的坐标，最后推算回到A点，应与原来A点坐标相同，作为推算坐标的检核。

6.3.3　附合导线的内业计算

1.附合导线的内业计算

如图6.12所示为一附合导线，它的起点1和终点3分别与高一级的控制点A、B和C、D连接，后者的坐标为已知，可按坐标反算公式计算起始边和终了边的方位角，即:

附合导线与闭合导线的计算步骤基本相同，但几何条件不同，角度闭合差和坐标增量闭合差的计算就有所不同。

(1)角度闭合差的计算:

根据两端方向已知的特点，可由导线起始边的方位角α_AB和左角β_i，推算得终了边的方位角，即:

由上式计算得到的方位角应减去若干个360°，使其角值在0～360°之间。

附合导线的角度闭合差为:

(2)坐标增量闭合差的计算:

附合导线各导线点坐标计算的其他内容，同闭合导线一样。

2.附合导线内业计算算例

如图6.12所示为一附合导线算例，外业观测数据均标注在图中，内业计算见表6.7。

图6.12　附合导线算例

6.3.4　支导线计算

支导线中没有检核条件，因此没有闭合差产生，导线转折角和计算的坐标增量均不需要进行改正。支导线的计算步骤为:

(1)根据观测的转折角推算各边的坐标方位角。

(2)根据各边坐标方位角和边长计算坐标增量。

(3)根据各边的坐标增量推算各点的坐标。

6.3.5　测角交会定点

小区域平面控制网的布设，一般采用导线测量和小三角测量的方法。当测区内已有控制点的数量不能满足测图或施工放样需要时，也经常采用交会法测量来加密控制点。测角交会法布设的形式有前方交会法、侧方交会法和后方交会法。

前方交会法如图6.13所示，AB为两个相邻的已知点，待求点P，通过观测α和β角，计算P点坐标，称为前方交会。为了进行检核和提高测量P点的精度，在实际工作中，采用三个已知点进行交会，由两个三角形分别计算待求点(P)的坐标，符合要求，取两组坐标的平均值作为P点的坐标。

根据两个已知点的坐标，计算两点间的边长c及坐标方位角α_AB，得

2)待边长和坐标方位角计算

按正弦定律计算已知点至待定点的边长a，b:

按下式计算待定边的坐标方位角:

根据已算得的待定边的边长和坐标方位角，按坐标正，分别从已知点A，B计算至待定P的坐标增量:

然后分别从A，B点计算待定点P的坐标，两次算得的坐标可以作为检核:

4)直接计算待定点坐标的公式

以上公式经过化算，可以得到直接计算待定点P的坐标的公式。推导如下:

按正弦定律=计算，将等号左边已知数据X_A、X_B移到右边，可推算出直接计算代定点坐标的余切公式:

如果将cotα=1/tanα，cotβ=1/tanβ代入式(6.24)进行计算，则得到前方交会直接计算待定点坐标的正切公式:

由于可以直接用计数器进行正切函数计算，因此使用正切公式比使用余切公式更方便。前方交会的算例见表6.8。

表6.8　前方交会计算表

如图6.14所示是侧方交会测量的布设形式，侧方交会的计算先解出控制点A上的角α，由图可知，α=180°－(β－γ)，其交会点P的坐标值可根据三角形ABP用余切公式进行计算，计算格式和前方交会相似，见算例表6.9。

表6.9　侧方交会算例

为了检查侧方交会点点位的精度，应根据算得的P点坐标和B、K两点的已知坐标反算出方位角α_PB、α_PK及距离D_PK。∠BPK的计算值ε算=α_PB－α_PK，与实测的角值ε_测，有一个角度差Δε，即

在1∶5000及1∶10000比例尺测图中，∣Δε∣应小于或等于0.15Mρ/D_PC;在1∶5000～1∶2000比例尺测图中，∣Δε∣则应小于或等于0.20Mρ/D_PK(M为测图比例尺的分母)。

从一待定点P向三个已知点A、B、C观测方向值R_a，R_b，R_c，计算P点的坐标的方法，称为后方交会，如图6.15所示。已知点A，B，C按顺时针排列，待定点P可以在已知点所组成的△ABC之内，也可以在其外。但是，当A，B，C，P处于四点共圆的位置时，用后方交会这种方法就无法确定P点的位置(坐标)。因此，四点共圆称为危险圆。

图6.15　后方交会布设形式

4.后方交会坐标计算的重心公式

设已知点A、B、C所构成的已知三角形的三个内角即命名为A、B、C角，如图6.15所示，在P点对A、B、C三点观测的水平方向值R_a，R_b，R_c也构成三个水平角为α，β，γ，并规定:

则待定点P的坐标值为:

上式中，X_A，Y_A，X_B，Y_B，X_C，Y_C为三个已知点的坐标。如果把P_A，P_B，P_C看做三个已知点A，B，C的权，则待定点P的坐标值是三个已知点坐标的。见算例表6.10。

表6.10　后方交会算例