线性代数问题？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-06-18 08:16 标签： 线性代数解题

求一个矩阵A的特征值和特征向量，判断它是否可以对角化，若能，写出相似的对角矩阵

不要着急，我给你计算一下

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复习下。。。copy 线性代数及其应用

考虑两条平行直线，相交的直线，完全重合的直线。

行初等变换 （倍加，对换，倍乘）

1. 是否至少有一个解？

2.如果有解，是否是唯一的呢？

行化简，阶梯型矩阵，增广矩阵，主元

可以用行初等变换类似解方程组的过程，将任意一个线性方程组转换成一个阶梯型矩阵，如下

1. 是否至少有一个解？

增广矩阵的最后列不是主元列，即没有[0 … 0 b] b!=0 这样的行

2.如果有解，是否是唯一的呢？

满足1相容的情况下，如果没有自由变量则有唯一解，如果有则有无穷个解。

上面的解方程其实可以看成是求解的[x_1…x_n]作用到一组向量上得到最终的结果解向量。

线性代数一个主要思想是研究可以表示为某一固定向量集合{v_1, v_2..v_p}的线性组合的所有向量。

也就等价于判断增广矩阵为 [v_1 v_2 … v_p b] 的线性方程组是否有解。

第三个看解方程的角度就是矩阵方程的角度。即将向量的线性组合看做矩阵和向量的积。

所以线性代数问题，解线性方程组可以有三个不同角度看待

b. R^m中每个b都是A的列的一个线性组合

d. A的每一列都有一个主元位置

  1. 齐次方程类似Ax=0 全0向量即平凡解肯定是一个解，是否有其它解取决方程是否有自由变量，所以如果有非平凡解则肯定不止一个。

定义 一组向量 {v_1, … v_p}线性无关等价于

矩阵A各列线性无关， 当且仅当 Ax = 0 只有平凡解

线性相关其实表明了向量组有冗余，即至少有一个向量可以被其它向量的线性组合表示出来。。。

对于一组向量如果线性相关那么存在非零的权c_x 对应c_x v_x，  v_x 就可以用其它向量的线性组合来表示 （把其它的移到等式右边再除以c_x即可）

Ax=b 可以看做矩阵A是一个对象，通过乘法作用于向量x,映射成为一个新的向量b

这里说明了对于每个维度的单位向量（0 0 .. 1)类似的变换其实构成了变换矩阵A。参考P71,P72.

满射（值域向量都存在某从定义域过来的映射），单射（一对一映射）

这个矩阵是满秩的，每行都有主元位置，意味着它可以完整生成 R^3 , 对于R^3中的每一个向量都存在映射过去（满射），但是由于存在一个自由变量，所以从R^4到R^3的映射不是单射，(那必须的。。。)

T:R^n –> R^m线性变换，则T是单射 当且仅当 Ax=0仅有平凡解 也就是说A各列线性无关,像上面A 3 * 4 行数3 < 列数4 (向量个数超过每个向量元素个数)

必然是0向量，与假设X != Y矛盾

也可能不是满射但是能确保一对一

下面是我的一些结论，仅供参考

如果是扁长形m*n m < n 则必然线性相关非单射，但也不保证每行都有主元位置，如果都有主元则满射。

如果正方形，如果每行都有主元位置，满射，且单射，因为没有自由变量。反之不是满射也不是单射。

如果是竖长行 m > n 不可能每行都有主元位置，必然不是满射， 必然不能生成 R^m, 可能是线性无关的 则单射 反之非单射(不是满秩，阶梯矩阵有全0行，有自由变量，Ax=0有平凡解，A各列线性相关)。

是否单射 取决于是否线性无关， 是否满射取决于是否满秩。

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