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1、1、连通区域、连通区域是是连连通通区区域域：D全全内任意两点都可以用完内任意两点都可以用完D的的折折线线连连接接起起来来。属属于于 D域域：单单连连通通区区域域和和复复连连通通区区所所围围成成的的区区域域内内的的任任一一条条封封闭闭曲曲线线若若包包含含于于CDDDDD为为单单连连通通区区域域，否否则则称称，则则称称都都包包含含于于 为为复复连连通通区区域域。DD.D的的方方向向、连连通通区区域域的的边边界界D 2由由一一条条封封闭闭曲曲线线构构成成；单单连连通通区区域域的的边边界界D 由由两两条条或或两两条条以以上上封封闭闭复复连连通通区区域域的的边边界界D 曲曲线线构构成成。的的正正方方向向

2、的的规规定定：连连通通域域 D 的的方方向向行行当当观观察察着着沿沿 D 的的走走时时，观观察察者者附附近近的的D。内内部部总总在在观观察察者者的的左左侧侧D定理定理1 1)()(,),(21xyxbxayxD 证明证明(1)(1)若区域若区域D既是既是 X型型又是又是

沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.注：注：导数连续，公式都成立导数连续，公式都成立域，只要偏域，只要偏是单连通域还是复连通是单连通域还是复连通不管不管D)1(为反向，则为反向，则为闭曲线且取正向，若为闭曲线且取正向，若必须是闭区域，必须是闭区域，LLD)2(格格林林公公式式的的实实质

6、质: : 沟沟通通了了沿沿闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系., 9)4()1(,)3()(122取取逆逆时时针针方方向向是是圆圆周周其其中中：求求例例 yxLdyyxdxxyLxyo ,3,yxQxyP 解解：由由格格林林公公式式， DDdxdydxdy2131. 1. 简化曲线积分的计算（常用）简化曲线积分的计算（常用）Green公式的简单应用

22222)(.记记L所所围围成成的的闭闭区区域域为为D,解解.,322方方向向为为逆逆时时针针方方向向的的的的连连续续闭闭曲曲线线，分分段段光光滑滑且且不不经经过过原原点点为为一一条条无无重重点点，其其中中：计计算算例例LLyxydxxdyL L(1) (1) 当当D )0, 0(时时, ,(2) 当当D )0 , 0(时时,1D

),(),(保守力保守力题题等等价价：内内连连续续，则则下下述述四四个个命命一一阶阶偏偏导导数数在在及及其其是是平平面面单单连连通通区区域域，设设定定理理DyxQyxPD),(),(2)3()4(2)1(）（证证明明：.),(,)4(DyxyPxQ ;),(,),(3DyxQdyPdxduyxu 使使得得存存在在二二阶阶连连续续可可导导函函数数）（内与积分路径无关；内与积分路径无关；在在DQdyPdxL )2

dyyDCdxxAD的的方方程程：的的方方程程：）的的一一段段有有向向弧弧，）到到（，上上从从（是是圆圆其其中中计计算算曲曲线线积积分分例例11002,)()21(12222yyxLdyyxdxyxyL Oxy)0

18、xCBdyyyACCBAC常常数数，的的方方程程的的方方程程：、关关，选选取取积积分分路路径径因因为为曲曲线线积积分分与与路路径径无无.dd,),(:2222的原函数的原函数求求是保守力场是保守力场证明证明例例yyxxxyj yxixyyxF .),(2:是是保保守守力力场场解解yxFxQxyyP ABOAyxyyxxxyyxu),()0 , 0(22dd),(

20、则称称其其为为内内处处处处成成立立，在在单单连连通通区区域域如如果果设设有有微微分分方方程程DyPxQdyyxQdxyxP 0),(),(:全微分方程全微分方程，或者，或者恰当微分方程恰当微分方程。全微分方程的解法全微分方程的解法：dyyxQdxyxPduyxuyPxQ),(),(),( 使使得得的的通通解解。即即为为方方程程的的隐隐函函数数形形式式Cyxu ),(得得则则由由隐隐函函数数求求导导公公式式可可确确定定的的隐隐函函数数，为为由由方方程程事事实实上上，设设Cyxuxyy ),()(满满足足方方程程。)(xyy ),(),(yxQyxPyuxudxdy 2.2.解法解法: :0),(

连续可微函数，使方程连续可微函数，使方程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx成为全成为全微分方程微分方程. .则称则称),(yx 为方程的为方程的积分因子积分因子. .问题问题: 如何求方程的积分因子如何求方程的积

yxxyyxyxyyxxyx得得两边乘以两边乘以.arctan)ln(2122Cxyyx 通通解解的的值值。时时，求求当当无无关关；与与路路径径证证明明曲曲线线积积分分记记）终终点点为为（）为为（分分段段光光滑滑曲曲线线，其其起起点点）内内的的是是上上半半平平面面（

.格林公式格林公式; ; LDQdyPdxdxdyyPxQ)(计算平面图形的面积；简化曲线积分的计算计算平面图形的面积；简化曲线积分的计算; ;推出曲线积分与路径无关的等价条件；全微推出曲线积分与路径无关的等价条件；全微分方程求解

28、。分方程求解。与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与与路路径径无无关关内内在在)1( CDCQdyPdx闭闭曲曲线线, 0)2(QdyPdxduyxuD 使使内内存存在在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题 若区域若区域 如图为如图为复连通域，试描述格复连通域，试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。 LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFGD 思考题思考

29、题思考题解答思考题解答由两部分组成由两部分组成L外外边界：边界：内内边界：边界：BCDABEGFED 一、一、 填空题填空题: :1 1、 设闭区域设闭区域D由分段光滑的曲线由分段光滑的曲线L围成围成, , 函数函数),(,),(yxQyxP及在及在D上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数, ,则则有有 DdxdyyPxQ)(_；2 2、 设设D为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域为 平 面 上 的 一 个 单 连 通 域 , , 函 数函 数),(,),(yxQyxP在在D内有一阶连续偏导数内有一阶连续偏导数, ,则则 LQdyPdx在在D内与路径无关的充要条件是内与路径无关的充要条

30、件是_在在D内处处成立；内处处成立；3 3、 设设D为由分段光滑的曲线为由分段光滑的曲线L所围成的闭区域所围成的闭区域, ,其面其面积为积为 5,5,又又),(yxP及及),(yxQ在在D上有一阶连续偏上有一阶连续偏导数导数, ,且且1 xQ, ,1 yP, ,则则 LQdyPdx_. .练 习 题二、二、 计算计算 Ldyyxdxxxy)()2(22其中其中L是由抛物线是由抛物线2xy 和和xy 2所围成的区域的正向边界曲线所围成的区域的正向边界曲线, ,并并验证格林公式的正确性验证格林公式的正确性 . .三、三、 利用曲线积分利用曲线积分, ,求星形线求星形线taytax33sin,cos

31、 所所围成的图形的面积围成的图形的面积 . .四、证明曲线积分四、证明曲线积分 )4,3()2, 1((dyxyyxdxyxy在整个在整个xoy面面内与路径无关内与路径无关, ,并计算积分值并计算积分值 . .五五、利利用用格格林林公公式式, ,计计算算下下列列曲曲线线积积分分: :1 1、 Ldyyxdxyx)sin()(22其其中中L是是在在圆圆周周

32、的的差差. .其其中中AMB是是过过原原点点和和)1,1(A, ,)6,2(B且且其其对对称称轴轴垂垂直直于于x轴轴的的抛抛物物线线上上的的弧弧段段, , AMB是是连连接接BA ,的的线线段段 . .六六、计计算算 Lyxydxxdy22, ,其其中中L为为不不经经过过原原点点的的光光滑滑闭闭曲曲 线线 . .( (取取逆逆时时针针方方向向)

33、yx 22 是某个函数是某个函数),(yxu的全微分的全微分, ,其中其中22yxr , ,并求并求),(yxu. .九、设在半平面九、设在半平面0 x内有力内有力)(3jyixrkF 构成力构成力场场, ,其中其中k为常数为常数, , 22yxr . .证明在此力场中证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关场力所作的功与所取的路径无关 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、

高等数学第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 *三、全微分方程三、全微分方程高等数学LD区域区域 D 分类分类单单连通区域连通区域 ( 无无“洞洞”区区域域 )多多连通区域连通区域 ( 有有“洞洞”区区域域 )域域 D 边界边界L 的的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,LDyxyQxPyxQPdddd或或一、一、 格林公式格林公式高等数学证明证明:1) 若若D 既是既是 X - 型区域型区域 , 又是又是 Y - 型区域型区域 , 则可通过加辅助线将其分割则可通过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域为有限个上述形式的区域 , 如图如图)(的正向边界表示kkDD证毕证毕yxO定理1 高等数学推论推论: 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 对区域对区域1D应用格应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dl记记 L 和和 l 所围的区域为所围的区域为林公式林公式 , 得得yxO高等数学二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 高等数学(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分LyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 内具有连续的偏导数内具有连续的偏导数,从而在从而在D内每一点都有内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,定理2 高等数学 (4) (1)设设L为为D中任一分段光滑闭曲线中任一分段光滑闭曲线,DD (如图如图) ,上因此在DxQyP利用利用格林公式格林公式 , 得得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为所围区域为证毕证毕 (1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有.0ddLyQxP(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyP定理2 高等数学说明说明: 根据定理根据定理2 , 若在某区域若在某区域D内内,xQyP则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段,AOD它与它与L 所围所围原式原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周圆周区域为区域为D , 则则O6483高等数学例例5. 验证验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函数. 证证: 积分路径是否可以取积分路径是否可以取?OBAO取圆弧取圆弧为什么？为什么？注意注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关无关 !LBAyxO内容小结 高等数学判别判别: P, Q 在某单连通域在某单连通域D内有连续一阶偏导数内有连续一阶偏导数,xQyPDyx),(为全微分方程为全微分方程 则则求解步骤求解步骤:方法方法1 取因此方程的通解为因此方程的通解为Cyyxyxx35yyxx22233yyxyx)(3322yyxyx高等数学例例9. 求解求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xyP 这是一个全微分方程这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解用凑微分法求通解. 将方程改写为将方程改写为0ddd2xxyyxxx即即, 0d21d2xyx故原方程的通解为故原方程的通解为021d2xyx或或Cxyx221,xQ高等数学思考思考: 如何解方程如何解方程?0dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程这不是一个全微分方程 ,12x就化成例就化成例9 的方程的方程 .,0),(yx使使0d),(),(d),(),(yyxQyxxyxPyx为全微分方程为全微分方程,),(yx则称在简单情况下在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的为原方程的积分因子积分因子.但若在方程两边同乘但若在方程两边同乘注注:若存在连续可微函数若存在连续可微函数 积分因子积分因子.高等数学内容小结内容小结1. 格林公式格林公式LyQxPdd2. 等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.yPxQ在在 D 内有内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有0ddLyQxP在在 D 内有内有设设 P, Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则有则有为全微分方程为全微分方程0ddyQxP高等数学思考与练习思考与练习1. 设设,4:, 1:222412yxlyxL且都取正向且都取正向, 问下列计算是否正确问下列计算是否正确