考研数学一数学三考纲参考资料

　　考研数学分为数学一、数学二和数学三，其中数学一和数学三虽然难度差别大，但是考察内容都涵盖高数、线性代数和概率三部分，且占比一样，复习也很有类比性。以下是小编为大家精心准备了考研数学一数学三考纲指南攻略，欢迎大家前来阅读。

　　考研数学一数学三考纲

　　考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计

　　考试形式和试卷结构

　　一、试卷满分及考试时间

　　试卷满分为150分，考试时间为180分钟

　　答题方式为闭卷、笔试

　　概率论与数理统计约22%

　　单项选择题选题8小题，每小题4分，共32分

　　填空题6小题，每小题4分，共24分

　　解答题(包括证明题)9小题，共94分

　　一、函数、极限、连续

　　函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立

　　数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限

　　函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质

　　1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系

　　2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性

　　3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念

　　4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念

　　5、了解数列极限和函数极限(包括左极限与右极限)的概念

　　6、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法

　　7、理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法.了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系

　　8、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型

　　9、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质

　　二、一元函数微分学

　　导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达(L'Hospital)法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值

　　1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义(含边际与弹性的概念)，会求平面曲线的切线方程和法线方程

　　2、掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数，会求反函数与隐函数的导数

　　3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数

　　4、了解微分的概念、导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分

　　5、理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理，了解泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用

　　6、会用洛必达法则求极限

　　7、掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用

　　8、会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数.当时，的图形是凹的;当时，的图形是凸的)，会求函数图形的拐点和渐近线

　　9、会描述简单函数的图形

　　三、一元函数积分学

　　原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法反常(广义)积分定积分的应用

　　1、理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法与分部积分法

　　2、了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部积分法

　　3、会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应用问题

　　4、了解反常积分的概念，会计算反常积分

　　四、多元函数微积分学

　　多元函数的概念二元函数的几何意义二元函数的极限与连续的概念有界闭区域上二元连续函数的性质多元函数偏导数的概念与计算多元复合函数的求导法与隐函数求导法二阶偏导数全微分多元函数的极值和条件极值、最大值和最小值二重积分的概念、基本性质和计算无界区域上简单的反常二重积分

　　1、了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义

　　2、了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质

　　3、了解多元函数偏导数与全微分的概念,会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分,会求多元隐函数的偏导数

　　4、了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决简单的应用问题

　　5、了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解无界区域上较简单的反常二重积分并会计算

　　常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何级数与级数及其收敛性正项级数收敛性的判别法任意项级数的绝对收敛与条件收敛交错级数与莱布尼茨定理幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数的和函数的求法初等函数的幂级数展开式

　　1、了解级数的收敛与发散、收敛级数的和的概念

　　2、了解级数的基本性质及级数收敛的必要条件，掌握几何级数及级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法

　　3、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系，了解交错级数的莱布尼茨判别法

　　4、会求幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域

　　5、了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)，会求简单幂级数在其收敛区间内的和函数

　　6、了解及的麦克劳林(Maclaurin)展开式

　　六、常微分方程与差分方程

　　常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程微分方程的简单应用

　　1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念

　　2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法

　　3、会解二阶常系数齐次线性微分方程

　　4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程

　　5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念

　　6、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法

　　7、会用微分方程求解简单的经济应用问题

　　行列式的概念和基本性质行列式按行(列)展开定理

　　1、了解行列式的概念，掌握行列式的性质

　　2、会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式

　　矩阵的概念矩阵的线性运算矩阵的乘法方阵的幂方阵乘积的行列式矩阵的转置逆矩阵的概念和性质矩阵可逆的充分必要条件伴随矩阵矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩矩阵的等价分块矩阵及其运算

　　1、理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质

　　2、掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质

　　3、理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵

　　4、了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的逆矩阵和秩的方法

　　5、了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则

　　向量的概念向量的线性组合与线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法

　　1、了解向量的概念，掌握向量的.加法和数乘运算法则

　　2、理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法

　　3、理解向量组的极大线性无关组的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩

　　4、理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系

　　5、了解内积的概念.掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法

　　线性方程组的克拉默(Cramer)法则线性方程组有解和无解的判定齐次线性方程组的基础解系和通解非齐次线性方程组的解与相应的齐次线性方程组(导出组)的解之间的关系非齐次线性方程组的通解

　　1、会用克拉默法则解线性方程组

　　2、掌握非齐次线性方程组有解和无解的判定方法

　　3、理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法

　　4、理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念

　　5、掌握用初等行变换求解线性方程组的方法

　　五、矩阵的特征值和特征向量

　　矩阵的特征值和特征向量的概念、性质相似矩阵的概念及性质矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵

　　1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法

　　2、理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法

　　二次型及其矩阵表示合同变换与合同矩阵二次型的秩惯性定理二次型的标准形和规范形用正交变换和配方法化二次型为标准形二次型及其矩阵的正定性

　　1、了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换与合同矩阵的概念

　　2、了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，会用正交变换和配方法化二次型为标准形

　　3、理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。

　　一、随机事件和概率

　　随机事件与样本空间事件的关系与运算完备事件组概率的概念概率的基本性质古典型概率几何型概率条件概率概率的基本公式事件的独立性独立重复试验

　　1、了解样本空间(基本事件空间)的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算

　　2、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯(Bayes)公式等

　　3、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算;理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法

　　二、随机变量及其分布

　　随机变量随机变量分布函数的概念及其性质离散型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率密度常见随机变量的分布随机变量函数的分布

　　1、理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率

　　2、理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松(Poisson)分布及其应用

　　3、掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布

　　4、理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用

　　5、会求随机变量函数的分布

　　三、多维随机变量的分布

　　多维随机变量及其分布函数二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度随机变量的独立性和不相关性常见二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布。

　　1、理解多维随机变量的分布函数的概念和基本性质

　　2、理解二维离散型随机变量的概率分布和二维连续型随机变量的概率密度，掌握二维随机变量的边缘分布和条件分布

　　3、理解随机变量的独立性和不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件，理解随机变量的不相关性与独立性的关系

　　4、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义

　　5、会根据两个随机变量的联合分布求其函数的分布，会根据多个相互独立随机变量的联合分布求其简单函数的分布

　　四、随机变量的数字特征

　　随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质随机变量函数的数学期望切比雪夫(Chebyshev)不等式矩、协方差、相关系数及其性质

　　1、理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征

　　2、会求随机变量函数的数学期望

　　3、了解切比雪夫不等式

　　五、大数定律和中心极限定理

　　1、了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律(独立同分布随机变量序列的大数定律)

　　2、了解棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理(二项分布以正态分布为极限分布)、列维-林德伯格中心极限定理(独立同分布随机变量序列的中心极限定理)，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率.

　　六、数理统计的基本概念

　　总体个体简单随机样本统计量经验分布函数样本均值样本方差和样本矩分布分布分布分位数正态总体的常用抽样分布

　　1、了解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念

　　2、了解产生变量、变量和变量的典型模式;了解标准正态分布、分布、分布和分布的上侧分位数，会查相应的数值表

　　3、掌握正态总体的样本均值、样本方差、样本矩的抽样分布

　　4、了解经验分布函数的概念和性质

　　点估计的概念估计量和估计值矩估计法最大似然估计法

　　1、了解参数的点估计、估计量与估计值的概念

　　2、掌握矩估计法(一阶矩、二阶矩)和最大似然估计法。

　　考研数学高分做题顺序很重要

　　首先是确定做题顺序，可以采用填空、计算、选择、证明的顺序。因为尽管选择题的分数相对要少一些，但它们一般对基础知识要求较高，选项迷惑性大，有时需要花很多时间去分析也难以取舍，而且有些选择题的计算量也是很大的，如果在做题的开始就感觉不顺而花太多时间的话，会影响考试的心理状态。证明题考查的是严密的逻辑推理，难度也比较大。因此，建议这两类题型可以放在后面做，而先做相对简单的。

　　一般来说，平时复习的时候要尽量从自己薄弱的方面“榨取”分数，而正式考试时，先通观整个试卷，迅速客观地评估自己的实力，明确哪些分数是必得的，哪些是可能得到的，哪些是根本得不到的，再采取不同的应对方式，才能镇定自若，进退有据，最终从整体上获胜。

　　同学们可以先解答填空题，一般讲填空题是基本概念，基本运算题，得分比较容易，当然试题中计算题或者证明题以平时看书或者参加辅导班老师所讲的例题类似的也可以先做;其次做计算题;最后解单项选择题，因为有些单项选择题概念性非常强，计算技巧也比较高，

　　求解单项选择题一般有以下几种方法：

　　(1)推演法：它适用于题干中给出的条件是解析式子。

　　(2)图示法：它适用于题干中给出的函数具有某种特性，例如奇偶性、周期性或者给出的事件是两个事件的情形，用图示法做就显得格外简单。

　　(3)举反例排除法：排除了三个，第四个就是正确的答案，这种方法适用于题干中给出的函数是抽象函数的情况。

　　(4)逆推法：所谓逆推法就是假定被选的四个答案中某一个正确，然后做逆推，如果得到的结果与题设条件或尽人皆知的正确结果矛盾，则否定这个备选答案。

　　(5)赋值法：将备选的一个答案用具体的数字代入，如果与假设条件或众所周知的事实发生矛盾则予以否定。

　　做选择题的时候，考生可以巧妙地运用图示法和赋值法。这两种方法很有效。同学们平时用得很多，但很多人进考场一紧张就忘了，而用一些常规方法去硬算，结果既浪费了时间又容易出错。

　　计算题的题目结果一般不会特别复杂，一旦出现了很复杂的结果，就需要重点检查一下。如果遇到自己不会做和没有把握的题目，千万不要留空白，可以多写一些相关内容来得一些“步骤分”。

　　拿到试卷检查无误后先看一下有没有自己熟悉的题，先解决掉自己有把握的再说，省得最后没有时间了把自己会的忽略了。针对数学一，一般而言，考研数学第一道大题填空题基本上全是概念性的题目，计算量不大，考生只要复习过，没有遗漏知识点，基本全都可以很快做出来;第二道大题选择题，其中有三四道题是大家都会做的，还有几道偏难的选择题，一时拿不准可以先放一放，实在不会还可以猜一猜;而第三道、第四道大题，一般来说难度不大，可以先做。历年试题这两道主要是高等数学的基本问题，如极限、偏导数或定积分应用题。接下来的高等数学的题目可能有些难度，如果考生对线性代数和概率统计比较擅长，可以先各做一个大题，这样整个卷面分数就可以达到70分左右，分数线可以通过。

　　考研数学一命题五年规律

　　计算能力可以说是现在考研的第一能力。年的题的计算量都比较大，良好的计算习惯，同学们要从打草稿开始。今年，2016年命题专家在数学考试分析中又说了一句话：考生在复习的过程中要克服满足于知晓运算过程眼高手低的毛病，要真正动手计算，在实践中提高计算能力，这一点希望要引起大家的重视。

　　计算，是命题专家这两年一直强调一个点，就是说考研数学考试的计算，不是简单的数字计算，是对概念和算理的一个考察，同学们计算上的共性，一个是计算能力弱，第二个是我们觉得计算没有找到好方法，以致于算得慢，做得烦。这一点需要大家注意。

　　70%的题是考察三基本。数学基础知识的考察要求既全面又突出重点，注意层次，重点知识是学习支撑体系的主要内容，考察时要达到较高的比例并要达到必要的深度。重点内容重点考，还要达到一定的深度。

　　在2015年的真题中，大家可以看到考试中心比较强调基础的。在数一数三的题当中有一个公用大题十分是同济教材六版88页的定理的证明，这是比较基础的，直接考教材中定理。这个题的得分率，数一只有0.5，数三0.42，说明其实考的并不理想。所以现阶段同学们复习还要注重核心的，基础的内容。

　　再比如说利用泰勒公式求极限，这一届命题组是很稳定的，每年必考的这种问题。那么即便是数三的同学也要注意，泰勒公式可能是了解的。但是这是求极限的一种核心的方法，这个题用泰勒公式做显然是简单的，2015年数一数三这个题也是利用泰勒公式，核心方法重点考察，重复考察，所以这一点。

　　继续加强应用性的考察，应用性是数学学科的特点。解答数学应用题是分析问题和解决问题能力的高层次的反应，反应出考生的创新意识和实践能力，所以实践中应该有所体现。2015年试卷中数二的物理应用得分率是0.319，数三一个经济应用，这个还是比较常见的，得分率只有0.488。所以可见同学们对应用的重视还是不够的。物理应用很多年没有出现了，考一下得分率比较低，所以数一数二的同学应该重视的是物理应用与几何应用。数三同学应该重视的是经济应用与几何应用，这一点希望大家要加强。

　　注重本质，注意定理的适用条件

　　强调数学考察三基，注重对概念本质的考察，考察大家对数学的理解和掌握，淡化对特殊的结题技巧的考察，往往注重定理的结题和应用，往往不看定理的前提，这是不注意的地方。比如说在一点存在导数，不能用罗贝塔法则，这个法则是在这一点的零域内，这需要辨析，这就可以拉开差距。

　　基本上每年阅卷都会发现，数三的填空题的得分率比大题还来得低，数一数二也是如此。所以同学们，客观题，小题的得分率要重视，毕竟这个题要么四分，要么零分，三个小题相当于一个大题。客观题做的时候也要注意是有特殊的方法的。比如说抽象的问题，一般的问题我们可以找特例处理。

　　全面复习，杜绝应试的倾向

　　从大家的作答题情况来看，常见试题和知识点的得分情况比较好;对大纲中要求的，以前考试中出现频率比较低的试题和内容的得分情况不好，说明同学们有一种急功近利应试想法。这一点希望考高分的同学要注意了，是要全面复习。比如说我这里给大家看几个例子。2013年数一的时候考了一个空间解析几何的大题，这个题得分率希望是0.289，是当年得分率最低几个题之一，因为前面的卷子中空间解析几何都不出大题的。考纲中仔细看一下，同学们现在要回归考纲。考纲中解析几何部分并不是都是要求不高的，也有理解和掌握的内容。建议对于要考高分的同学，原来评论比较低，但是在考纲中又级别比较高，在原增题中出现过的，还是要会。每年都会有这种类型的题。比如说2014年数三，考了一个类似于证明的问题，这是比较少的，又是概念性的考察，强调的概念，得分率只有0.5。再比如2014年的数一数三，线性代数出现了负惯性指数，这个内容很多年没有出现了，就是杜绝这种应试的倾向。2014年数一数三这两个题，这证明两个矩阵相似，证明两个矩阵相似的一般的判别方法在教材中比较少，真题中也比较少，难度只是0.386，考试情况并不理想。

　　这就是近五年这一届命题组的特征。想请大家注意，重视计算，强调三基，应用必考，注重本质，客观得分低，要全面复习，杜绝应试猜题的倾向。

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这是万有引力的微积分推导，是优秀的物理教案文章，供老师家长们参考学习。

万有引力的微积分推导第 1 篇

　　(1)了解地球表面物体的万有引力两个分力的大小关系，计算地球质量;

　　(2)行星绕恒星运动、卫星的运动的共同点：万有引力作为行星、卫星圆周运动的向心力，会用万有引力定律计算天体的质量;

　　(3)了解万有引力定律在天文学上有重要应用。

　　(1)培养学生根据数据分析找到事物的主要因素和次要因素的一般过程和方法;

　　(2)培养学生根据事件的之间相似性采取类比方法分析新问题的能力与方法;

　　(3)培养学生归纳总结建立模型的能力与方法。

　　3.情感态度与价值观：

　　(1)培养学生认真严禁的科学态度和大胆探究的心理品质;

　　(2)体会物理学规律的简洁性和普适性，领略物理学的优美。

　　地球质量的计算、太阳等中心天体质量的计算。

　　根据已有条件求中心天体的质量。

　　一、计算天体的质量

　　(1)地球质量的计算

　　①依据：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力，即

　　只要知道g、R的值，就可计算出地球的质量.

　　(2)太阳质量的计算

　　①依据：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力，即

　　只要知道卫星绕行星运动的周期T和半径r，就可以计算出行星的质量.

　　(1)地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力.(×)

　　(2)绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力.(√)

　　(3)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量.(×)

　　若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗?能否求出月球的质量呢?

　　【提示】能求出地球的质量.利用

　　为中心天体的质量.做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量.

　　(1)海王星的发现

　　英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的加勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星.

　　(2)其他天体的发现

　　近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体.

　　(1)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.(√)

　　(2)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析.(√)

　　航天员翟志刚走出“神舟七号”飞船进行舱外活动时，要分析其运动状态，牛顿定律还适用吗?

　　【提示】适用.牛顿将牛顿定律与万有引力定律综合，成功分析了天体运动问题.牛顿定律对物体在地面上的运动以及天体的运动都是适用的.

　　三、天体质量和密度的计算

　　1.求天体质量的思路是什么?

　　2.有了天体的质量，求密度还需什么物理量?

　　3.求天体质量常有哪些方法?

　　1.求天体质量的思路

　　绕中心天体运动的其他天体或卫星做匀速圆周运动，做圆周运动的天体(或卫星)的向心力等于它与中心天体的万有引力，利用此关系建立方程求中心天体的质量.

　　2.计算天体的质量

　　下面以地球质量的计算为例，介绍几种计算天体质量的方法：

　　(1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为T，半径为r，根据万有引力等于向心力，即

　　(2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径r和月球运行的线速度v，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得

　　(3)若已知月球运行的线速度v和运行周期T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律，得

　　(4)若已知地球的半径R和地球表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力，得

　　3.计算天体的密度

　　若天体的半径为R，则天体的密度ρ

　　1.计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体.注意方法的拓展应用.明确计算出的是中心天体的质量.

　　2.要注意R、r的区分.R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径.以地球为例，若绕近地轨道运行，则有R=r.

　　例：要计算地球的质量，除已知的一些常数外还需知道某些数据，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的有哪些?()

　　A.已知地球半径R

　　B.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v

　　C.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T

　　D.已知地球公转的周期T′及运转半径r′

　　归纳总结：求解天体质量的技巧

　　天体的质量计算是依据物体绕中心天体做匀速圆周运动，万有引力充当向心力，列出有关方程求解的，因此解题时首先应明确其轨道半径，再根据其他已知条件列出相应的方程.

　　四、分析天体运动问题的思路

　　1.常用来描述天体运动的物理量有哪些?

　　2.分析天体运动的主要思路是什么?

　　3.描述天体的运动问题，有哪些主要的公式?

　　1.解决天体运动问题的基本思路

　　一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立基本关系式：

　　设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动

　　以上结论可总结为“越远越慢，越远越小”.

　　1.由以上分析可知，卫星的an、v、ω、T与行星或卫星的质量无关，仅由被环绕的天体的质量M和轨道半径r决定.

　　2.应用万有引力定律求解时还要注意挖掘题目中的隐含条件，如地球的公转周期是365天，自转一周是24小时，其表面的重力加速度约为9.8m/s2.

　　例：)据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55Cancrie”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的480(1)，母星的体积约为太阳的60倍.假设母星与太阳密度相同，“55Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55Cancrie”与地球的()

　　归纳总结：解决天体运动的关键点

　　解决该类问题要紧扣两点：一是紧扣一个物理模型：就是将天体(或卫星)的运动看成是匀速圆周运动;二是紧扣一个物体做圆周运动的动力学特征，即天体(或卫星)的向心力由万有引力提供.还要记住一个结论：在向心加速度、线速度、角速度和周期四个物理量中，只有周期的值随着轨道半径的变大而增大，其余的三个都随轨道半径的变大而减小

　　五、双星问题的分析方法

　　例：天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星.双星系统在银河系中很普遍.利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量.已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量.(引力常量为G)

　　归纳总结：双星系统的特点

　　1.双星绕它们共同的圆心做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变;

　　2.两星之间的万有引力提供各自需要的向心力;

　　3.双星系统中每颗星的角速度相等;

　　4.两星的轨道半径之和等于两星间的距离.

万有引力的微积分推导第 2 篇

万有引力定律的教学设计

　　1、知道月—地检验的结果

　　2、理解万有引力定律的含义并会用万有引力定律进行简单的计算

　　3、知道万有引力常量的大小及意义。

　　太阳与行星间的引力遵循什么规律？

　　引导学生阅读教材P39“月－地检验”部分的内容，完成下列问题

　　问题： 太阳、行星间的引力、月球受到的地球间的引力以及地面物体所受的引力是不是同一性质的力？为什么？

　　引导学生阅读教材P40万有引力定律部分，完成问题下面三个问题：

　　问题1、万有引力定律的内容是什么？写出表达式。

　　问题2、如何理解表达式中的r？

　　引导学生阅读教材P40引力常量部分，完成下面两个问题：

　　问题1、引力常量的'数值是多大？它的单位是如何导出的？?

　　问题2、测定引力常量有何意义？

　　1、万有引力定律的内容

万有引力的微积分推导第 3 篇

　　1、了解万有引力定律得出的思路和过程。

　　2、理解万有引力定律的含义并会推导万有引力定律。

　　3、知道任何物体间都存在着万有引力，且遵守相同的规律

　　1、培养学生研究问题时，抓住主要矛盾，简化问题，建立理想模型的处理问题的能力。

　　2、训练学生透过现象(行星的运动)看本质(受万有引力的作用)的判断、推理能力

　　1、通过牛顿在前人的基础上发现万有引力定律的思考过程，说明科学研究的长期性，连续性及艰巨性，渗透科学发现的方*教育。

　　2、培养学生的猜想、归纳、联想、直觉思维能力。

　　月——地检验的推倒过程

　　任何两个物体间都存在万有引力

　　太阳对行星的引力是行星做圆周运动的向心力，，这个力使行星不能飞离太阳;地面上的物体被抛出后总要落到地面上;是什么使得物体离不开地球呢?是否是由于地球对物体的引力造成的呢?

　　若真是这样，物体离地面越远，其受到地球的引力就应该越小，可是地面上的物体距地面很远时受到地球的引力似乎没有明显减小。如果物体延伸到月球那里，物体也会像月球那样围绕地球运动。地球对月球的引力，地球对地面上的物体的引力，太阳对行星的引力，是同一种力。你是这样认为的吗?

　　一.牛顿发现万有引力定律的过程

　　(引导学生阅读教材找出发现万有引力定律的思路)

　　假想——理论推导——实验检验

　　(1)牛顿对引力的思考

　　牛顿看到了苹果落地发现了万有引力，这只是一种传说。但是，他对天体和地球的引力确实作过深入的思考。牛顿经过长期观察研究，产生如下的假想：太阳、行星以及离我们很远的恒星，不管彼此相距多远，都是互相吸引着，其引力随距离的增大而减小，地球和其他行星绕太阳转，就是靠劂的引力维持。同样，地球不仅吸引地面上和表面附近的物体，而且也可以吸引很远的物体(如月亮)，其引力也是随距离的增大而减弱。牛顿进一步猜想，宇宙间任何物体间都存在吸引力，这些力具有相同的本质，遵循同样的力学规律，其大小都与两者间距离的平方成反比。

　　(2)牛顿对定律的推导

　　首先，要证明太阳的引力与距离平方成反比，牛顿凭着他对于数学和物理学证明的惊人创造才能，大胆地将自己从地面上物体运动中总结出来的运动定律，应用到天体的运动上，结合开普勒行星运动定律，从理论上推导出太阳对行星的引力F与距离r的平方成反比，还证明引力跟太阳质量M和行星质量m的乘积成正比，牛顿再研究了卫星的运动，结论是：

　　它们间的引力也是与行星和卫星质量的乘积成正比，与两者距离的平方成反比。

　　(3)。牛顿对定律的检验

　　以上结论是否正确，还需经过实验检验。牛顿根据观测结果，凭借理想实验巧妙地解决了这一难题。

　　牛顿设想，某物体在地球表面时，其重力加速度为g，若将它放到月球轨道上，让它绕地球运动时，其向心加速度为a。如果物体在地球上受到的重力F1，和在月球轨道上运行时受到的作用力F2，都是来自地球的吸引力，其大小与距离的平方成反比，那么，a和g之间应有如下关系：

　　已知月心和地心的距离r月地是地球半径r地的60倍，得。

　　从动力学角度得出的这一结果，与前面用运动学公式算出的数据完全一致，

　　牛顿证实了关于地球和物体间、各天体之间的引力都属于同一种性质力，都遵循同样的力学规律的假想是正确的。牛顿把这种引力规律做了合理的推广，在1687年发表了万有引力定律。可以用下表来表达牛顿推证万有引力定律的思路。

　　(引导学生根据问题看书，教师引导总结)

　　(1)什么是万有引力?并举出实例。

　　(2)万有引力定律怎样反映物体之间相互作用的规律?其数学表达式如何?

　　(3)万有引力定律的适用条件是什么?

　　自然界中任何两个物体都是互相吸引的,引力的大小跟这两个物体的质量乘积成正比,跟它们的距离的二次方成反比;引力的方向沿着二者的连线。

　　3.各物理量的含义及单位：

　　F为两个物体间的引力，单位：N.

　　m1、m2分别表示两个物体的质量，单位：kg

　　r为它们间的距离，单位：m

　　4.万有引力定律的理解

　　①万有引力F是因为相互作用的物体有质量而产生的引力，与初中学习的电荷间的引力、磁极间的引力不同。

　　A.万有引力的普遍性.万有引力不仅存在于星球间，任何客观存在的有质量的物体间都存在这种相互吸引的力.

　　B.万有引力的相互性.两个物体相互作用的引力是一对相互作用的作用力与反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上.

　　C.万有引力的宏观性.在通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义.

　　D.万有引力的独立性.两物体间的万有引力只与它们本身的质量有关，而与所在空间的性质无关，也与周围有无其他物体无关.

　　②r为两个物体间距离：

　　A、若物体可以视为质点，r是两个质点间的距离。

　　B、若是规则形状的均匀物体相距较近，则应把r理解为它们的几何中心的距离。

　　C、若物体不能视为质点，则可把每一个物体视为若干个质点的集合，然后按万有引力定律求出各质点间的引力，再按矢量法求它们的合力。

　　③G为万有引力常量，在数值上等于质量都是1kg的两物体相距1m时的相互作用的引力

　　1、探究：叫两名学生上讲台做两个游戏：一个是两人靠拢后离开三次以上，二个是叫两人设法跳起来停在空中看是否能做到。然后设问：既然自然界中任何两个物体间都有万有引力，那么在日常生活中，我们各自之间或人与物体之间，为什么都对这种作用没有任何感觉呢?

　　具体计算：地面上两个50kg的质点，相距1m远时它们间的万有引力多大?已知地球的质量约为6.0×1024kg，地球半径为6.4×106m，则这个物体和地球之间的万有引力又是多大?(F1=1.N，F2=493N)

　　(学生计算后回答)

　　本题点评：由此可见通常物体间的万有引力极小，一般不易感觉到。而物体与天体间的万有引力(如人与地球)就不能忽略了。

　　2、要使两物体间万有引力减小到原来的1/4,可采用的方法是()

　　A.使两物体的质量各减少一半,距离保持不变

　　B.使两物体间距离增至原来的2倍,质量不变

　　C.使其中一个物体质量减为原来的1/4,距离不变

　　D.使两物体质量及它们之间的距离都减为原来的1/4

　　3.设地球表面重力加速度为，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则为()

　　提示：两处的加速度各由何力而产生?满足何规律?

　　三.引力恒量的测定

　　牛顿发现了万有引力定律，却没有给出引力恒量的数值。由于一般物体间的引力非常小，用实验测定极其困难。直到一百多年之后，才由英国的卡文迪许用精巧的扭秤测出。

　　(1)用扭秤测定引力恒量的方法

　　卡文迪许解决问题的思路是：将不易观察的微小变化量，转化为容易观察的显著变化量，再根据显著变化量与微小量的关系，算出微小变化量。

　　问：卡文迪许扭秤实验中如何实现这一转化?

　　测引力(极小)转化为测引力矩，再转化为测石英丝扭转角度，最后转化为光点在刻度尺上移动的距离(较大)。根据预先求出的石英丝扭转力矩跟扭转角度的关系，可以证明出扭转力矩，进而求得引力，确定引力恒量的值。

　　卡文迪许在测定引力恒量的同时，也证明了万有引力定律的正确性。

　　本节课重点学习了万有引力定律的内容、表达式、理解以及简单的应用重点理解定律的普遍性、普适性，对万有引力的性质有深层的认识

　　对万有引力定律的理解应注意以下几点：

　　(1)万有引力的普遍性。它存在于宇宙中任何有质量的物体之间，不管它们之间是否还有其他作用力。

　　(2)万有引力恒量的普适性。它是一个仅和m、r、F单位选择有关，而与物体性质无关的恒量。

　　(3)两物体间的引力，是一对作用力和反作用力。

　　(4)万有力定律只适用于质点和质量分布均匀球体间的相互作用。

　　课本71页：2、3

　　1、万有引力定律的推导：

　　①内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。

　　G是引力常量，r为它们间的距离

　　③各物理量的含义及单位：

　　④万有引力定律发现的重要意义：

　　3.引力恒量的测定

　　4.万有引力定律的理解

　　①万有引力F是因为相互作用的物体有质量而产生的引力，与初中学习的电荷间的引力、磁极间的引力不同。

　　A.万有引力的普遍性.万有引力不仅存在于星球间，任何客观存在的有质量的物体间都存在这种相互吸引的力.

　　B.万有引力的相互性.两个物体相互作用的引力是一对相互作用的作用力与反作用力，它们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上.

　　C.万有引力的宏观性.在通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义.

　　D.万有引力的独立性.两物体间的万有引力只与它们本身的质量有关，而与所在空间的性质无关，也与周围有无其他物体无关.

　　②r为两个物体间距离：

　　A、若物体可以视为质点，r是两个质点间的距离。

　　B、若是规则形状的均匀物体相距较近，则应把r理解为它们的几何中心的距离。

　　C、若物体不能视为质点，则可把每一个物体视为若干个质点的集合，然后按万有引力定律求出各质点间的引力，再按矢量法求它们的合力。

　　③G为万有引力常量，在数值上等于质量都是1kg的两物体相距1m时的相互作用的引力

万有引力的微积分推导第 4 篇

一、课题：万有引力定律

高中物理《万有引力定律》教案

　　二、课型：概念课（物理按教学内容课型分为：规律课、概念课、实验课、习题课、复习课）

　　1.理解万有引力定律的含义并会用万有引力定律公式解决简单的引力计算问题。

　　2.知道万有引力定律公式的适用范围。

　　（二）过程与方法：在万有引力定律建立过程的学习中，学习发现问题、提出问题、猜想假设与推理论证等方法。

　　（三）情感态度价值观

　　1.培养学生研究问题时，抓住主要矛盾，简化问题，建立理想模型的处理问题的能力。

　　2.通过牛顿在前人的基础上发现万有引力定律的思考过程，说明科学研究的长期性，连续性及艰巨性，提高学生科学价值观。

　　重点：万有引力定律的内容及表达公式。

　　难点：1.对万有引力定律的理解；2.学生能把地面上的物体所受重力与其他星球与地球之间存在的引力是同性质的力联系起来。

　　六、教学法：合作探究、启发式学习等

　　七、教具：多媒体、课本等

　　回顾以前对月-地检验部分的学习，明确既然太阳与行星之间，地球与月球之间、地球对地面物体之间具有与两个物体的质量成正比，跟它们的距离的二次方成反比的引力。这里进一步大胆假设：是否任何两个物体之间都存在这样的力？

　　引发学生思考：很可能有，只是因为我们身边的物体质量比天体的质量小得多，我们不易觉察罢了，于是我们可以把这一规律推广到自然界中任意两个物体间，即具有划时代意义的万有引力定律．然后在学生的兴趣中进行假设论证。

　　学生自主阅读教材第40页万有引力定律部分，思考以下问题：

　　1.什么是万有引力？并举出实例。

　　教师引导总结：万有引力是普遍存在于宇宙中任何有质量的物体之间的相互吸引力。日对地、地对月、地对地面上物体的引力都是其实例。

　　2.万有引力定律怎样反映物体之间相互作用的规律？其数学表达式如何？并注明每个符号的单位和物理意义。

　　教师引导总结：万有引力定律的内容是：宇宙间一切物体都是相互吸引的。两物体间的引力大小，跟它的质量的乘积成下比，跟它们间的距离平方成反比． 式中各物理量的含义及单位：F为两个物体间的引力，单位：N．m1、m2分别表示两个物体的质量，单位：kg，r为两个物体间的距离，单位：m。G为万有引力常量：G=6．67×10-11 N·m2/kg2，它在数值上等于质量是1Kg的物体相距米时的相互作用力，单位：N·m2/kg2．

　　3.万有引力定律的适用条件是什么？

　　教师引导总结：只适用于两个质点间的引力，当物体之间的距离远大于物体本身时，物体可看成质点；当两物体是质量分布均匀的球体时，它们间的引力也可直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。

　　4.你认为万有引力定律的发现有何深远意义？

　　教师引导总结：万有引力定律的发现有着重要的`物理意义：它对物理学、天文学的发展具有深远的影响；它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一起来；对科学文化发展起到了积极的推动作用，解放了人们的思想，给人们探索自然的奥秘建立了极大信心，人们有能力理解天地间的各种事物。

　　在完成上述问题后，小组讨论，学生在教师的引导下进一步深化对万有引力定律的理解，即：

　　1.普遍性：万有引力存在于任何两个物体之间，只不过一般物体的质量与星球相比太小了，他们之间的万有引力也非常小，完全可以忽略不计。

　　2.相互性：两个物体相互作用的引力是一对作用力与反作用力。

　　3.特殊性：两个物体间的万有引力和物体所在的空间及其他物体存在无关。

　　4.适用性：只适用于两个质点间的引力，当物体之间的距离远大于物体本身时，物体可看成质点；当两物体是质量分布均匀的球体时，它们间的引力也可直接用公式计算，但式中的r是指两球心间的距离。

　　请两名学生上讲台做个游戏：两人靠拢后离开三次以上。创设情境，加深学生对本节知识点的印象和运用，请一位同学上台展示计算结果，师生互评。

　　1．请估算这两位同学，相距1m远时它们间的万有引力多大？（可设他们的质量为50kg）

　　解：由万有引力定律得： 代入数据得：F1=1．7×10-7N

　　2.已知地球的质量约为6．0×1024kg，地球半径为6．4×106m，请估算其中一位同学和地球之间的万有引力又是多大？

　　解：由万有引力定律得：代入数据得：F2=493N

　　3.已知地球表面的重力加速度，则其中这位同学所受重力是多少？并比较万有引力和重力？

　　比较结果为万有引力比重力大，原因是因为在地球表面上的物体所受万有引力可分解为重力和自转所需的向心力。

　　小结：学生在教师引导下认真总结概括本节内容，完成多媒体呈现的知识网络框架图，并把自己这节课的体会写下来、比较黑板上的小结和自己的小结，进行生生互评。

　　作业：完成“问题与练习”

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