交错级数的通项带前面的（－1）的n次方吗？

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-28 11:14 标签： 通项趋于0级数一定收敛吗

对无穷序列 ，它们的和： （ ）称为无穷级数。（无穷级数是一个和）

如果 时 存在极限A： （A可以是有确定符号的无穷），那么就称 为级数的和。如果 为有限数则称 收敛，如果为 或极限不存在则称为发散。

  1. 如果级数收敛，则其任何一个余式也收敛（修改级数前面有限个项，不影响级数的收敛或发散）
  2. 如果级数收敛，余式 随 而趋于0

365.正向级数收敛条件：

如果 有上界则收敛，否则发散

PS 特殊的正项级数：调和级数

366.比较定理（只适用于正项级数）

  1. , 为有限数时级数同时收敛/发散

368.基于比较定理的判别法

作序列 ，将其极限与 1 比较（即是看其“公比q”是否小于 1）

作序列 ,其极限小于1则收敛，大于1则发散（与柯西判别法原理相同）

每个级数 都是一个序列中的项 自然可以应用序列的定理：柯西收敛原理：对 都有 使得 任取n, m > N, 都有

即只要足够靠后， (见 第二节基本定理 第2条）

377.绝对收敛：将一般级数 都转换为 正项级数收敛问题，架起一般与正项的桥梁

证明：假如n个项中有k个正项，m个负项，
把 中的正项 抽出作和： , 负项去掉负号抽出作和
是收敛的，所以有上界（即它的极限），所以P，Q都有上界。又因为P Q都是正项级数，单调有界必收敛，于是记它们的极限为P，Q

当 时，k m都 (如果不是这样，那么k，m中有一个为有限，那么请看PS）
两边同时取极限（上面已经证明了右边存在极限P-Q）：
也就是说：一般项级数如果绝对收敛，那么它 条件收敛 且 极限为P-Q
PS 前有限项不是正项级数的，因为修改前有限项不改变其收敛性和发散性，所以可以把它改成正项级数而不影响其敛散性。

381.交错级数 收敛性的判断

①交错级数的绝对值如果单调递减

PS 容易看出，满足以上条件的交错级数的每个余式符号都与 它的 第一项相同，并且绝对值比它的第一项小

384.相乘级数 收敛性的判断

无穷乘积有许多性质可以直接类比级数，并且可以通过级数来研究无穷乘积（把无穷乘积的问题转化为级数的问题）。

并且，研究乘积其实也是在研究序列，序列的方法也可以用在乘积上。

当序列 在 时有 有限的或 的 极限P：

则称这个极限P为无穷乘积的值：

如果P为非0的有限数，则称乘积收敛；在其他情况下称其为发散。

401（1）.基本定理

  1. 如果无穷乘积收敛，它的任何一个余式收敛；如果存在一个余式收敛，那么无穷乘积收敛。（修改前有限项不影响敛散性）
  2. 如果无穷乘积收敛，则其 余式 （ ）

401（2）.利用级数研究无穷乘积

由于 ，n充分大时，所有 大于 0. 因此我们修改其前几项，使其全体大于0方便研究。

  1. 无穷乘积 收敛 级数 收敛

由于ln的连续性，由海涅定理得 有极限 收敛

为了方便，把乘积因子 写成 （因为 )

1.当对于充分大的n来说，恒有 就有：

级数 与无穷乘积 同时收敛或发散

因为 的敛散性与 等价
（因为 等价无穷小，所以根据比较原理他们同时收敛或发散）
PS 那条件中 保持符号有什么用呢？因为比较原理只能对正项级数使用）

2.如果 同时收敛（这次不要求 符号），则 收敛

3.无穷乘积为0(所有 均大于0的情况下) ln级数为

4.定义无穷乘积的绝对收敛 ln级数绝对收敛

于是绝对收敛的无穷乘积具有可交换性（绝对收敛的 具有可交换性（不需要加绝对值））

级数的主线是：判断一个级数是否收敛

不同形式的级数有着不同的判断方法：

一般项级数：通用判别法是收敛原理，更常见的是 将其转化为正项级数判断，桥梁是绝对值。

特殊的级数：交错级数、乘积级数

判断级数收敛后，收敛的级数就有一定的性质，而这些性质又可以判断其他的相关级数收敛。

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