不定积分求解惑

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-28 11:14 标签： 不定积分和定积分哪个更难

1. 利用三角变化以及三角恒等式，比如 $\sin^2 x + \cos^2 x=1$ 以及二倍角公式，和差化积，积化和差。

2. $\sin^m x \cos^n x$ 的类型, 如果 $m,n$ 两项都是偶数的话，利用二倍角公式降阶；有一项是奇, 那么提一项出来凑微分，剩下的偶数项利用 $\sin^2 x+ \cos^2 x=1$ 化成同个函数的积分，如果高于 2 次的项就利用二倍角公式进行降阶。

(当然，某些情况下，分部积分在这个类型都是有帮助的)

5. 如果三角函数没有思路，把它写成 $\sin x $ 与 $\cos x$ 的形式总是有帮助的

1. 真分式，简单的分解即可

2. 不是真分式，即利用多项式除法. 比如：习题 4-4 的 1-(4)

比较适合万能变换的是，$\sin x$ 与 $\cos x$ 加减运算，同时因子前面有系数的；原因是其它方面处理这里问题往往特别麻烦，比如复习题四 3, 4-4 的 (11), (12), (15)

1. 简单的变换，比如分母有有理化，分子有理化

2. 配方写成标准的形式

说明：虽然使用三角变换会比较复杂，比如上面的例子中，几个问题都可以用其它方法较简单的解出，但是三角变换还是一个基本的手段，理论上这三种类型的问题一定可解，所以如果没办法掌握过多的技巧，那么老老实实用好这三种变换。事实上，它比很多方法来的好算，比如 4-2 的 3-(10) 比倒变换来的简单而且直接。

倒变换，适用范围是分母比分子次数高两阶以上，如果是分母是因子相乘，一般值得推荐

无理变换：比如根式变换，指数变换，对数变换

2. $\sqrt[a]{x}$ 的类型：做不同根式的最小公倍数的变换

3. 其它涉及复杂函数的类型，作去掉复杂结构的变换～

习题 4-2 1-(1) 至 1-(11) 都是基本积分表以及积分加法运算的简单结合

习题 4-2 1-(17) 至 1-(18) 分子分母直接乘以一个函数，使得可以凑微分

分部积分：多项式乘 $e^x$ 或者三角函数的情况

对指数函数或者三角函数的部分进行凑微分，然后利用分部积分对多项式降阶。比如 4-3 的 1-(1), (2), (6), (7); 比如 4-3 的 1-(11), (12), 则是换元法以及凑微分和分部积分的结合

分部积分：含有反三角函数以及对数函数

特别注意，反三角函数以及对数函数都没有基本积分表与之对应，所以他们的存在对我们都是困难，利用分部积分法首先去掉他们！！比如 4-3 的 1-(3), (4), (9), (13)

分部积分：同时有三角函数与指数函数

注意到，三角函数求导后还是三角函数；指数函数求导后还是指数函数，所以只能出现递归，然后把它求解出来。特别注意，如果一开始选择对三角函数凑微分，那么就每一步都对三角函数凑微分；反之亦然。

分部积分：把复杂形式转换为能处理的形式

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