求不定积分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-25 15:32 标签： 求不定积分题目

★ 内容小结 ★ 课堂练习

分部积分法实质上就是求两函数乘积的导数(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被积函数常考虑应用分部积分法(其中m , n 都是正整数).

原函数与微积分基本定理

连续的函数一定有原函数，而一个函数的原函数有无穷多个，这一点可以由Langrange中值定理推出

最基础的积分法就是从原函数入手，求积分就相当于求原函数，也就是微积分基本定理/牛顿-莱布尼兹公式：

说起来这里还有一段有趣的数学史

初等数学中就是极为简单地利用微积分基本定理“看出来”结果

就跟四则运算法则差不多，基础的性质

关于一些基本的积分公式可以由微分公式逆向推出，即：

因此背好积分公式就是背好微分公式，背好微分公式就是背好求导公式……

以上的例子就是在积分公式的基础上的初等数学的内容

以下会给出高等数学中常用的拓展公式，望诸君记牢，证明过程的“法”也很重要，相印证前提下熟练运用不难吧

天知道熟练运用前六个要刷多少题

第一类换元法的正式名称就是凑微分法

或者说凑微分法对于被积函数的被积量来说是比较显而易见的

“凑”是本体，用语言表达就是：

将原本的被积函数分离成一个函数导数和以该函数为新自变量的新的被积函数，然后将该函数导数“凑”进微分符里面形成新的被积量微分

说起来，初等数学的积分就是例1例3的水平，凭借直观的“看出来”（你再骂！）

emm我觉得第二类换元法才是真正的换元法，第一类直接改名凑微分法就好了

从定义就可以看出这是正统的换元法嘛

反函数换元，语言表述就是：

对被积量换元，以新元为自变量的函数与旧元微分形成新的被积函数，被积量为新元，最后用反函数换回来

幂代换、三角代换、倒代换为其中的三大类换元形式，至于其他类型的换元都比较杂了

多用于对无理函数的积分，也就是一堆开方运算的函数

开方号太麻烦了，不想写

也不常用叭，还是利用三角变换来化简单的

（这题用分部积分更简单）

还是用得太少了，知道会用就好

见到分子分母整次且分母次方数比分子次方数多2以上无脑用就对了

其实挺常用的，才不是我懒地去出题呢[傲娇][傲娇]

很重要的积分法，或者说是最重要的积分也不为过（指基本积分）

至于怎么得出来的就很有意思——相乘函数先微分后积分再移个项就好了……

引入分部积分法后，就又解决了一大堆积分问题

当你遇到很复杂的被积函数时，尝试分离函数凑出用分部积分法来简化，很常用很常用很常用

不定积分的一大重点就是有理函数的积分，而有理函数：

以下会着重展示有理函数积分的方法，理解“法”而不是背结果（我不信有人去背这些积分的结论[骄傲]）

当m≠0时，即为分式型有理函数：

3.分式高次型（降次递推）：

1和2都是凑分母有理式导数的分子，不同就在于最后运用积分的形式

而3则是部分分式分解中求最后一类的高次积分，详情见书（书上主要讲的就是部分分式分解法叭）

当m=0时，即为整式型有理函数：

其中2是1的升级版，至于2最后的积分式则视情况而定

若按照以上结论，则得：

但是我们需要具体的解题过程对叭：

被我视为“经典”的题目

以上只是对有理函数单一方面发积分法，而若总体来看有理函数的积分，它则是从多项式除法和真分式部分分式分解开始，逐一展开

（1）多项式除法展开成整式与分式的积分

（2）整式积分单一且较易

（3）分式积分利用部分分式分解展开成4种类型

（4）分式变量为一次的前两种类型为简单凑微分法

（5）第三种类型为分式二次型，第四种类型为分式高次型

以上就是有理函数积分的总体综合

其实无理函数的积分在上面的幂代换中讲过，在有理函数的积分中的“开方型”也讲过，因为无理函数可以通过换元等方法变换成有理函数，真·有理函数，所以不提了

带三角函数的积分就是三角积分

一类是用三角变换，化困难为简单，什么诱导公式、三角恒等变换、和差化积、积化和差：

一类是万能代换，化为有理函数的积分：

其实说是万能代换，也不是万能的嘛，比如例2：

或者说三角变换里面的例5（试试就逝世）

我没有咕，只是放假太开心了

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