求基础解通解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2022-05-23 11:27 标签： 求通解的方法总结

1．齐次方程组有非零解的条件

1）齐次方程组有非零解的充分必要条件是未知数的个数（即矩阵A的列数）.

2）n个未知数n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是.

3)设是阶矩阵.若，则齐次方程组必有非零解.(这是齐次方程组有非零解的充分条件但不必要)

例1．设为矩阵，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是（　　　）

测试点   齐次方程组有非零解与列向量组线性相关的关系.

测试点  1.齐次方程组只有零解的充分必要条件;2根据系数矩阵的阶数,确定方程的个数和未知数的个数.

解析  线性方程组的系数矩阵A的行数等于方程的个数，列数等于未知数的个数

因为A是4×3矩阵，故方程组的未知数的个数，故方程组只有零解

的充要条件是系数矩阵A的秩

2. 齐次方程组解的结构

1）齐次方程组解的性质

设都是的解，则也是的解(C1，C2为任意常数)

2）齐次方程组的基础解系的概念

设是齐次方程组的一组解.如果它满足：

（1）线性无关；（2）的任何一个解都可以表示为的线性组合，则称为该齐次方程组的基础解系.

如果齐次方程组有非零解（即），则它有基础解系.

重要结论:齐次方程组的基础解系含个线性无关的解；齐次方程组的任意个线性无关的解都构成该齐次方程组的基础解系；

3）齐次方程组的基础解系的求法

测试点   齐次方程组的基础解系 (定义;含几个解向量;求法)

解  因为齐次方程组的系数矩阵为的秩为,未知数的个数为,所以其基础解系含个解.

例5 已知是齐次方程组的一个基础解系,则此方程组的基础解系还可以选用

测试点  1.齐次方程组的基础解系  特别是若齐次方程组的一个基础解系含4个解,则它的任意4个线性无关的解都是它的基础解系;2.判断向量组线性无关的方法;3.等价的向量组有相等的秩;等价与等秩的区别4,齐次方程组解的性质.

解   因为是齐次方程组的一个基础解系,故都是齐次方程组的解,因为与等价,故能由线性表示,故也都是的解.又因为线性无关,所以该向量组的秩=4,又因为等价的向量组有相等的秩,所以的秩也等于4,所以也线性无关.故也是的基础解系. 所以 D正确.

例6 设m×n矩阵A的秩，是齐次

线性方程组的三个线性无关的解向量，则方程组

的基础解系为（　　　）

知识点   齐次线性方程组基础解系的概念及所含解向量的个数;向量组线性相关性的判别

解  显然A,B,C选项中的三个向量都是线性相关的,而齐次方程组的基础解系应由线性无关的向量组组成.

3）齐次方程组的通解公式  如果是基础解系，则它的通解

例6 求齐次线性方程组的基础解系及通解.

测试点  求齐次方程组的基础解系和通解的方法

取为约束未知数,为自由未知数,

取为该齐次方程组的基础解系,该齐次方程组的通解为

2．关于非齐次方程组解的讨论

定理 个未知数，个方程的线性方程组中，（系数矩阵A是阶矩阵）是增广矩阵.则

1）当且仅当（未知数的个数）时，方程组有惟一解；

2）当且仅当（未知数的个数）时，方程组有无穷多解；

3）当且仅当时，方程组无解.

1）线性方程组有解的充分必要条件是.

2）当线性方程组，方程的个数＝未知数的个数时，该方程组有惟一解的充分必要条件是系数行列式.

例9 已知某个3元非齐次线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为：，若方程组无解，则的取值为____________.

1.增广矩阵经初等行变换变成,则以为增广矩阵的线性方程组与原方程组通解;

2.非齐次方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相等的秩

解  非齐次线性方程组有惟一解的充分必要条件是未知数的个数，

而它恰是其导出组只有零解,没有非零解的充要条件.

3.非齐次方程组的通解的结构

其中是方程的一个特解，为系数矩阵的秩，为它的导出组（与它对应的）齐次方程组的基础解系.

例10 设3元非齐次线性方程组的两个解为，且系数矩阵A的秩，则对于任意常数 方程组的通解可表为（　　　）

1.非齐次线性方程组的通解的公式;

2.非齐次方程组解的性质

3.齐次方程组的基础解系的概念

解  因为都是非齐次方程组的解，故

是它的导出组的解，又因为为3元方程组，，故它的基础解系含一个解，即它的任何一个非零解都是它的基础解系，故就是它的基础解系，又是非齐次方程组的解，所以为的通解.

例11 设3元非齐次线性方程组

（1）试判定当为何值时,方程组有无穷多个解?

（2）当方程组有无穷多解时,求出其通解(要求用它的一个特解和它导出组的基础解系表示).

测试点  线性方程组的讨论

所以 当即时,方程组无解;

当 即 时方程组有惟一解;

当 即时,方程组有无穷多解.这时

取为约束未知数,为自由未知数,取为方程组的特解,

为其导出组的基础解系.故方程组的通解为

例12 设向量可以由向量组线性表示,则数应满足的条件是

解析  考察方程,其增广矩阵为

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