大家好！本文和大家分享一道2005年上海市的高考数学真题。这是一道新定义函数的题目，不少学生读完题后都是一脸懵，完全搞不懂题干是什么意思。其实这道题只要读懂了函数h(x)的定义，后面求解的难度就不大了，下面老师和大家分享一下本题的解法。

我们先来看一下新函数h(x)的定义。简单来说h(x)是一个分段函数，具体来说就是当x的取值范围为和g(x)的的交集内时，h(x)的就是f(x)与g(x)的乘积；当x在f(x)的定义域内并且没有在g(x)的定义域内时，h(x)的解析式就是f(x)；当x在g(x)的定义域内并且没有在f(x)的定义域内时，h(x)的解析式就是g(x)。搞明白了h(x)的定义，再来看第一小问：求h(x)的解析式。根据定义，要求h(x)的解析式，首先需要求出f(x)和g(x)的定义域。f(x)的定义域为x≠1，g(x)的定义域为R，所以h(x)可以分为两段，即当x≠1时，h(x)=f(x)·g(x)=x^2/(x-1)；当x=1时，h(x)=1。

再看第二小问：求h(x)的。由于当x=1时，h(x)=1，所以求h(x)的值域的关键是求出当x≠1时h(x)的取值范围。当x≠1时，h(x)的解析式是一个分式，所以可以用分离的方法求解。即h(x)=(x-1)+1/(x-1)+2，此时就可以用基本不等式或者对勾函数来求值域了。当然，这题求值域还可以用导数以及法，下面再简单介绍一下判别式法。由y=x^2/(x-1)得，x^2-yx+y=0。由于原函数有意义，所以这个关于x的一元二次方程有实数根，则判别式△=y^2-4y≥0，从而解得y≥4或y≤0。

这道题就和大家分享到这里，你觉得这道题难吗？

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